东兰县第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

东兰县第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，在长方形ABCD 中，AB=
，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在
面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 下列哪组中的两个函数是相等函数（ ）
A ．
B ．()()4
f x x =
g ()()24
=
,22
x f x g x x x -=-+
C ．
D ．()()1,0
1,1,0
x f x g x x >⎧==⎨
<⎩()()=f x x x =
，g 3． 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（
）
A ．54
B ．162
C ．54+18
D ．162+18
4． 在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的（
）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也非必要条件
5． 已知全集，，，则有（ ）
U R ={|239}x
A x =<≤{|02}
B y y =<≤A ．
B ．
C ．
D ．A ØB A B B = ()R A B ≠∅ ð()R A B R
= ð
6． 若a ＞0，b ＞0，a+b=1，则y=+的最小值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7． 若关于的不等式
的解集为或，则的取值为（ ）
2043
x a
x x +>++31x -<<-2x >A ． B ． C ．
D ．121
2
-2
-8． 已知函数y=f （x ）对任意实数x 都有f （1+x ）=f （1﹣x ），且函数f （x ）在[1，+∞）上为单调函数．若数
列{a n }是公差不为0的等差数列，且f （a 6）=f （a 23），则{a n }的前28项之和S 28=（ ）
A ．7
B ．14
C ．28
D ．56
9． 已知直线x ﹣y+a=0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2
x ﹣4
y+7=0相交于A ，B 两点，且
•
=4，则实数a 的
值为（ ）
A ．
或﹣
B ．
或3
C ．
或5
D ．3
或5
10．年月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取
20163名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为，，，按分
20350500150层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ）
A. B. C. D.56710【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.11．把函数y=cos （2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x ）的图象关于直线x=
对称，则φ的值为（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．
D ．
12．已知集合（ ）
{}
{
2
|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===A ． B ． C ． D ．[)1,+∞[]1,3(]3,5[]
3,5【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．
二、填空题
13．函数f （x ）=2a x+1﹣3（a ＞0，且a ≠1）的图象经过的定点坐标是 ．14．已知随机变量ξ﹣N （2，σ2），若P （ξ＞4）=0.4，则P （ξ＞0）= ．　
15．已知圆O ：x 2+y 2=1和双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）．若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O 外
），均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，则
﹣
= ．
　16．椭圆的两焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，则△PQF 2的周长为 ．
17．若x 、y 满足约束条件，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．
{
x －2y ＋1≤0
2x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0
)
18．定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f （x ）满足f （x+1）=﹣f （x ），且f （x ）在[﹣1，0]上是增函数，下面五个关于f （x ）的命题中：①f （x ）是周期函数；
②f （x ） 的图象关于x=1对称；③f （x ）在[0，1]上是增函数；④f （x ）在[1，2]上为减函数；⑤f （2）=f （0）．正确命题的个数是 ．　
三、解答题
19．(本小题满分10分）选修4­4：坐标系与参数方程．
在直角坐标系中，曲线C 1：（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
{x ＝1＋3cos α
y ＝2＋3sin α
)
标系，C 2的极坐标方程为ρ＝
.2
sin （θ＋π
4
）
（1）求C 1，C 2的普通方程；
（2）若直线C 3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R ），设C 3与C 1交于点M ，N ，P 是C 2上一点，求△PMN 的面
3π4
积．
20．24．（本小题满分10分）选修4­5：不等式选讲．已知函数f （x ）＝|x ＋1|＋2|x －a 2|（a ∈R ）．（1）若函数f （x ）的最小值为3，求a 的值；
（2）在（1）的条件下，若直线y ＝m 与函数y ＝f （x ）的图象围成一个三角形，求m 的范围，并求围成的三角形面积的最大值．
21．在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2csinA=a ．
（1）求角C 的大小；
（2）若c=2，a 2+b 2=6，求△ABC 的面积．
22．数列中，，，且满足.{}n a 18a =42a =*
2120()n n n a a a n N ++-+=∈（1）求数列的通项公式；
{}n a （2）设，求.
12||||||n n S a a a =++ n S
23．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1
（Ⅰ）求f（x）在区间[0，]上的最大值；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，a+c=2，求b的取值范围．
24．设p：关于x的不等式a x＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数的定义域为R．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．
东兰县第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，
则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，
如图当E与C重合时，AK==，
取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．
故∠K0A=，∴∠K0D'=，
其所对的弧长为=，
故选：D．
2．【答案】D111]
【解析】
考点：相等函数的概念.
3．【答案】D
【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥得到的组合体，
其表面有三个边长为6的正方形，三个直角边长为6的等腰直角三角形，和一个边长为6的等边三角形组成，
故表面积S=3×6×6+3××6×6+×=162+18，
故选：D
4． 【答案】A
【解析】解：∵sinB+sin （A ﹣B ）=sinC=sin （A+B ），∴sinB+sinAcosB ﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB ，∴sinB=2cosAsinB ，∵sinB ≠0，∴cosA=，
∴A=，
∴sinA=，当sinA=，
∴A=
或A=
，
故在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的充分非必要条件，
故选：A
5． 【答案】A
【解析】解析：本题考查集合的关系与运算，，，∵，∴，选A ．3(log 2,2]A =(0,2]B =3log 20>A ØB 6． 【答案】C
【解析】解：∵a ＞0，b ＞0，a+b=1，
∴y=+=（a+b ）=2+
=4，当且仅当a=b=时取等号．
∴y=+的最小值是4．故选：C ．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．　
7． 【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得，根据不等式与方程的关系可知，不等式解集的端点就是对应的方程的根，可得方程
，解得，其对应的根分别为，所以，故选
2043
x a
x x +=++3,1,x x x a =-=-=-3,1,2x x x =-=-=2a =-D.
考点：不等式与方程的关系.8． 【答案】C
【解析】解：∵函数y=f （x ）对任意实数x 都有f （1+x ）=f （1﹣x ），且函数f （x ）在[1，+∞）上为单调函数．∴函数f （x ）关于直线x=1对称，
∵数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f （a 6）=f （a 23），∴a 6+a 23=2．
则{a n }的前28项之和S 28==14（a 6+a 23）=28．
故选：C ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n 项和公式、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
9． 【答案】C 【解析】解：圆x 2+y 2+2x ﹣4
y+7=0，可化为（x+
）2+（y ﹣2
）2=8．
∵
•
=4，∴2
•2
cos ∠ACB=4
∴cos ∠ACB=，∴∠ACB=60°
∴圆心到直线的距离为，∴=
，∴a=
或5
．
故选：C ．　
10．【答案】C
11．【答案】B
【解析】解：把函数y=cos （2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移
个单位，
得到函数y=f （x ）=cos[2（x+
）+φ]=cos （2x+φ+）的图象关于直线x=
对称，
则2×+φ+=k π，求得φ=k π﹣，k ∈Z ，故φ=﹣，
故选：B ．　
12．【答案】D
【解析】，故选D.
{}{
{}|5,||3,A y y B x y x x =≤==
=≥[]3,5A B ∴= 二、填空题
13．【答案】　（﹣1，﹣1）　．
【解析】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f （﹣1）=2﹣3=﹣1，即函数f （x ）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．　
14．【答案】　0.6　．
【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），∴曲线关于x=2对称，
∴P （ξ＞0）=P （ξ＜4）=1﹣P （ξ＞4）=0.6，故答案为：0.6．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．　
15．【答案】　1　．
【解析】解：若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O 外），均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，可通过特殊点，取A （﹣1，t ），
则B （﹣1，﹣t ），C （1，﹣t ），D （1，t ），由直线和圆相切的条件可得，t=1．
将A （﹣1，1）代入双曲线方程，可得﹣
=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．　
16．【答案】　20　．
【解析】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF 2的周长=4a ．∴△PQF 2的周长=20．，故答案为20．
【点评】作出草图，结合图形求解事半功倍．　
17．【答案】
【解析】解析：可行域如图，当直线y ＝－3x ＋z ＋m 与直线y ＝－3x 平行，且在y 轴上的截距最小时，z 才能取最小值，此时l 经过直线2x －y ＋2＝0与x －2y ＋1＝0的交点A （－1，0），z min ＝3×（－1）＋0＋m ＝－3＋m ＝1，∴m ＝4.
答案：4
18．【答案】　3个　．
【解析】解：∵定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f （x ），∴f （x ）=f （﹣x ）；
∵f （x+1）=﹣f （x ），∴f （x+1）=﹣f （x ），∴f （x+2）=﹣f （x+1）=f （x ），f （﹣x+1）=﹣f （x ）即f （x+2）=f （x ），f （﹣x+1）=f （x+1），周期为2，对称轴为x=1所以①②⑤正确，故答案为：3个　
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：（α为参数）
{x ＝1＋3cos α
y ＝2＋3sin α)
得（x －1）2＋（y －2）2＝9（cos 2α＋sin 2α）＝9.即C 1的普通方程为（x －1）2＋（y －2）2＝9，由C 2：ρ＝
得2
sin （θ＋π
4
）
ρ（sin θ＋cos θ）＝2，
即x ＋y －2＝0，
即C 2的普通方程为x ＋y －2＝0.
（2）由C 1：（x －1）2＋（y －2）2＝9得
x 2＋y 2－2x －4y －4＝0，
其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0，
将θ＝代入上式得3π4ρ2－ρ－4＝0，
2ρ1＋ρ2＝，ρ1ρ2＝－4，
2∴|MN |＝|ρ1－ρ2|＝＝3.
（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ22C 3：θ＝π（ρ∈R ）的直角坐标方程为x ＋y ＝0，34
∴C 2与C 3是两平行直线，其距离d ＝＝.222∴△PMN 的面积为S ＝|MN |×d ＝×3×＝3.121222即△PMN 的面积为3.
20．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）＝|x ＋1|＋2|x －a 2|
＝{－3x ＋2a 2－1，x ≤－1，－x ＋2a 2＋1，－1＜x ＜a 2，3x －2a 2＋1，x ≥a 2，)
当x ≤－1时，f （x ）≥f （－1）＝2a 2＋2，
－1＜x ＜a 2，f （a 2）＜f （x ）＜f （－1），
即a 2＋1＜f （x ）＜2a 2＋2，
当x ≥a 2，f （x ）≥f （a 2）＝a 2＋1，
所以当x ＝a 2时，f （x ）min ＝a 2＋1，由题意得a 2＋1＝3，∴a ＝±.
2（2）当a ＝±时，由（1）知f （x ）＝
2{－3x ＋3，x ≤－1，－x ＋5，－1＜x ＜2，3x －3，x ≥2，)
由y ＝f （x ）与y ＝m 的图象知，当它们围成三角形时，m 的范围为（3，6]，当m ＝6时，围成的三角形面积最大，此时面积为×|3－（－1）|×|6－3|＝6.12
21．【答案】
【解析】（本小题满分10分）
解：（1）∵
，
∴
，…2分在锐角△ABC 中，
，…3分
故sinA ≠0，
∴，．…5分（2）∵
，…6分
∴
，即ab=2，…8分∴．…10分【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
22．【答案】（1）；（2）．102n a n =-229(5)940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩【解析】
试题分析：（1）由，所以是等差数列且，，即可求解数列的通2120n n n a a a ++-+={}n a 18a =42a ={}n a 项公式；（2）由（1）令，得，当时，；当时，；当时，，0n a =5n =5n >0n a <5n =0n a =5n <0n a >即可分类讨论求解数列．
n S
当时，5n ≤12||||||n n S a a a =++ 2
129n a a a n n
=+++=- ∴.1229(5)940(5)n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩考点：等差数列的通项公式；数列的求和．
23．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）f （x ）=2cosx （sinx+cosx ）﹣1=2sinxcosx+2cos 2x ﹣1
=sin2x+2×
﹣1=sin2x+cos2x =sin （2x+
），∵x ∈[0，]，
∴2x+∈[，
]，
∴当2x+=，即x=时，f （x ）min =
…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f （B ）=
sin （+）=1，∴sin （+）=，
∴+=，
∴B=，
由正弦定理可得：b==∈[1，2）…12分
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：∵关于x的不等式a x＞1的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1；
故命题p为真时，0＜a＜1；
∵函数的定义域为R，
∴⇒a≥，
由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则命题p、q一真一假，
当p真q假时，则⇒0＜a＜；
当q真p假时，则⇒a≥1，
综上实数a的取值范围是（0，）∪[1，+∞）．。