初中数学竞赛专题：三角形

初中数学竞赛专题：三角形
§9. 1全等三角形
1. 1. 1★已知等腰直角三角形A8C,8C是斜边.々的角平分线交AC于。

，过C作CE与a）垂
直
且交8。

延长线于邑求证：BD = 2CE.
解析如图，延长CE、B4,设交于b・则NF3E = NAb,A8 = AC,得△AB£>gA4b,CF = 8O.
乂BE 1.CF, BE 平分/FBC,故BE 平分CF, E为CF 中点、，所以2CE = FC = BD .
9. 1. 2★在△ABC中，已知乙4 = 60。

,£、F、G分别为/W、AC、8C的中点,P、Q为AABC形
外两点，使总_14从尸£ = ¥，°尸_14。

,0尸=卓,若6尸=1,求尸0的长.
解析如图，连结EG、FG ,则EG//AC , FG//AB，故/PEG = 150。

= NQFG . 又
QF = -AC = EG , PE 4AB = FG , 故APEG 9AGFQ , 所以
2 2
PG = GQ , AEGP + ZFGQ = ZFQG + ZFGQ = 30°, 乂ZEGF = 60°,所以NPG0 = 9O。

，于是
PQ = 0PG = y/2 .
10.1. 3★在梯形A8C0的底边AD上有一点心若八钻石、ABCEx △（7£）七的周长相等，求竺L AD 解析作平行四边形EC8A,则△AB石口\。

£»,若H与A不重合，则H在£4 （或延长线）上，但由三角形不等式易知,A，在E4上时,AABE的周长〉/XAZE的周长；A，在E4延长线上时,AABE的周长<AA f BE周长,均与题设矛盾，故A与H重合,A£〃8C ,同理ED//BC ,£ = =.
= = AD 2
AA f E
11.1.4★★△ABC 内,44。

= 60。

,/4(78 = 40。

,。

、。

分别在边BC、C4 上，并且”、BQ 分别是ABAC. ZABC的角平分线.求证：BQ + AQ = AB + BP.
解析延长AB到D，使BD = BP，连结QP .易知ZABC = 80°,所以ZQBC = 400 = ZACB,AC = AQ + QC = AQ + QB .
因N 83P = ZBPO =」ZA 3 C = 40。

= ZA CB .所以AADP gAA CP, 2
AC=AD=AB+BD=AB+BP.
于是3Q + A0 = A5 + 8P.
12.1. 5★★设等腰直角三角形ABC中,。

是腰AC的中点,E在斜边8C上，并且AE_L3O.求证: ZBDA = ZEDC.
解析如图，作&AD的平分线AF,F在3D上.
由于NE4尸=45。

= /48,八8 =4€\/4防=/6£,故八钻尸乌小。

1石,故石。

=八尸.
乂NC = NE4O = 45。

，AO = C。

，于是△?1㈤刍△CED,于是NA£>3 = N£DC .
13.1. 6★★设△/$£、△ACF都是等腰直角三角形,AE、4；是各自的斜边,6是石尸的中点，求证：AGBC也是等腰直角三角形.
解析如图，作A。

、GP、EM . FN分别垂直于直线BC,垂足为0、P、M、N .
由 乙EBM = 90。

- ZABQ = /BAQ , AB = BE , AEMB 咨ABQA ，故 有 EM = BQ , BM = AQ . 同 理 FN = QC,CN = AQ,所以BM=CN,
EM + FN = BQ + QC = BC.
乂 EG = GF 得 BP = CP , 且 GP = ；(EM + FN) = ； BC ,故 GP = BP = CP . 乂由 GP_L3C,故
结论成立.
14. 1. 7★★已知A8_LAC,AB = AC,。

、七在3c 上(。

靠近6 ),求证：。

炉=5。

+C6的充要 条件是〃4£ = 45。

.
解析如图，作 FC±BC^FC = BDM Z4b = 45o = NB, 乂 A8 = AC,故△A3。

名△ACF,AD = A 厂,且 Z£>4F = ZE4C = 90° .
若 ZDAE = 45°，则 ZE4F = 45°，因 AD = AF,得 AADE ^Z^AFEM
DE 2 = EF 1 = EC 2 + FC 1 = EC 2 + BD 2.
反之，若 DE 2=EC 2+BD 2，由 EF 2=EC 2+FC 2 得 EF = DE . 乂 AD = A 尸，故 AADE / AAEF,又 /= 90°,于是 〃
4£ = 45。

.
15. 1. 8★★两三角形全等且关于一直线对称,求证：可以将其中一个划分成3块,每一块通过平 移、 旋转后拼成另一个三角形.
解析如图，设AABC 与八4£（7关于/对称,分别找到各自的内心/、/'分别向三边作垂线〃）、化、 IF 与「D'、IE 、厅,于是6个四边形AUE .......................... 均为轴对称的筝形，且四边形4V 七乡四边形
尸，所以两者可通过平移、旋转后重合；同理，另外两对筝形也可通过平移、旋转后重合
.A
G
□ _____
M __ □ -D_
B Q P
16. 1.9★★★已知：两个等底等高的锐角三角形，可以将每个三角形分别分成四个三角形，分别 涂上红色、蓝色、黄色和绿色，使得同色三角形全等.
解析如图，设= , A 至8c 距离等于至eC 距离，取各自的中位线FE 、尸£，则FE = FE f . ill △ABC 、AAEC 均为锐角三角形，可在BC 、&U 上各取一点。

、沙,使图中标相同数字的角相 等，于是 AAEF 92EF, ZXDEF 9丛EF, /XFBD 冬/\FUB', AEOC 94ECD .
评注还有一种旋转而不是对称的构造法.
17. L 10★已知 AABC 与 AA'B'C'中，NA = NY, 3C = 3'C', S / ABC = S”宣1，AABC 与
△4EU 是否一定全等?
解析如图，让3与"重合，。

与C 重合,A 、A 在8C 同侧，若A 与H 重合，则△ABC 学△AEC;否则 由条件知四边形ABCA 1为梯形和圆内接四边形，于是它是一个等腰梯形，于是 ZABC = ZA f CB, AB = HC, AABC 名△/TCB . 综上，可知 zMBC 与 A/VB'U 全等.
评注本题也可以运用三角形面积公式、余弦定理结合韦达定理来证明.
18. 1. 11★★如图所示，已知△ABC 、△CED 均为正三角形,M 、N 、L 分别为4。

、AC 和CE 的 中点,求证：AA/NL 为正三角形.
1叔 2 5
B' D'
A
E E' A'
B D
解析如图，设3C、CO中点分别为S、7,，连结NS、SM、MT、72 .则四边形CSWT为平行四边形，设NBCD = 8,则Z^SM=60O+180°-^=240°-6»=ZL™ , 〃（工=360。

-120。

一6=240°-8 , 乂NC = SN = SC = MT、LC = LT = Cr = SM ,故丛NL会加NM^TML,
NL = NM=ML,于是AMNL为正三角形.
评注注意有时S在MN另一侧，此时为M = ZL7M =4（工=120。

+ 8,不影响最终结论.
19.1. ^★★★ZvlBC I+J,ZA = 90°,AB = c. AC = 6,3C = 〃,M 是8C 中点,P、Q 分别在4?、AC 上（可落在端点），满足MPLWO,求8尸+CQ?的最小值（用°、/八c表示）.
解析如图梃长QM至N,使QM=MN,连结PN、BN、PQ、AM由于M是8C、NQ的中点，故BN = CQ, BN 〃 AC, BN 上BP, 乂PM 垂直平分NQ,故BP^ + CQ? = BP? + BN2 = PN2 = PQ?.
取尸。

中点K （图中未画出），则尸。

=从8+解，4〃，,于是3尸+。

02的最小值为工,取到等号2
4
仅当PQ = A〃即四边形APMQ为矩形时.
20.1. 13***已知0为AABC内一点,NE4C = 55C,由。

作8C、G4的垂线，垂足分别是L、M.
设。

为4?中点,求证：DM=DL.
解析如图所示，取AP中点邑初中点八连ME、ED、DF、出.显然四边形。

曰少是平行四边
形，所以EP = DF,FP = DE. NDEP = /DFP.
乂由PM J_ AC,所以EM = EA = EP = DF . 4EM = 24AC；同理FL = DE , "FL = 24BC .由
"4C = ZP3C ,所以ZDEM = ZDEP+"EM = 4FP+ "FL = ADFL ,从而4DFM dLFD，所以DM = DL.
9 . 1 . 14 ★★在AABC中，已知NCW = 60° , Q、E分别是边AB、AC上的点，且ZAE£> = 60°, E。

+ 03 = CE, NCQ3 = 2 N COE,求ZDC8 的度数.
解析如图，延长4?到八使“ =EO，连B、EF .
因为Z£4B = NA£0 = 6O0,所以4如=60。

，4。

3 = NCED = 120。

，
AD = AE = ED = BF.
CE=ED+DB = DB + BF = DF .
于是，AC = A/，Z4CF = Z4/C = 60。

.
乂因为ZEDB = 120° , ZCDB = 24CDE,
所以
ZCDE = 40°, ZCDB = 80。

，
/ECD = T 80。

一/CED - /EDC = 20。

.
在△Cft4 和△CB/中,C4 = CF , NC4D = N CM = 60。

，AO = 3/"所以△CYM 刍△C87"故
ZFCB = ZACD = 20° .
于是，NDCfi = 600 — NCOE - NFC8 = 200 .
21.1. 15★★在"BC中,4、NO为锐角,M、N、。

分别为边AB、AC . BC上的点，满足AM=AN、BD = DC,且ABDM = NCDN ,求证：AB = AC.
解析若OM>ON,则在QM上取一点心使£W = OE.连结鸵并延长交AC于尸，连结EV .在ABED与
△CM）中，BD = DC , ZBDE = ZCDN , DE = DN，故/\BDE ^ACDN .于是有ZEBD = ZNCD, BE = NC,所以FB = FC .乂易知EN 〃友;，因此N£A户= NAC3 .
但另一方面，由DM > DN，知ZABC > ZFBC = ZACB，所以
ZAW =1(180°-ZBAC) 2
= i(ZABC + ZACB)
> 1(ZACB + ZACB) = ZACB .
从而ZEV~>ZMV4>ZACB .矛盾，故假设DM >ON不成立.
若ZW < DV ,同法可证此假设不成立.
综上所述DM = DN,于是由2DM £MDN
知ZD3M = ZDGV,从而A3 = AC.
9. 1. 16★★如图,八4%为边长是1的等边三角形,△8。

为顶角(NBDC)是120。

的等腰三角形, 以。

为顶点作一个60。

角，角的两边分别交回、AC于M、N,连结MN,形成一个AAMV.
求△AWV的周长.
解析延长AC到E,使CE = BM，连结DE .易知在/\BMD与MED中有BD = DC, ZMBD = ZECD = 90°, BM = CE,从而AMBD也AECD .所以MD =。

石，ZMDB = ZEDC . 于是在与△DEN 中有DN = DN、MD = DE, ZMQV = 60° = ZMDB + 4CDN = ZEDC + ZCDN = ZEDN .从而AVON q4EDN，故NE = MN . 所以y4M+A^V + /W = AM + AE + /W = AM+NC+CE + A/V = AM + Mfi + NC + /W =
AB+AC=2.
9.1.为等腰直角三角形,NC = 90。

,点M、N分别为边AC和8C的中点，点。

在射线BM上，且8。

= 2BM ,点E在射线NA上，旦NE = 2NA，求证：BD±DE.
解析取AD中点连痔.
在/\BMC与△ZMM 中，, BM =[BD = MD , ZBMC = NOM4,故AAMDgACMB .于是有2
AADM =』CBM、AD = BC,AD〃BC.
同样易知ABMC9△A/VC，于是有/CBM = ZCAN .
在△/WC 与^,NA = -NE = AE y AF=-AD = ^BC = NC AD//BC知ZEAF = ZANC，所以
2 2 2
△MF ^AANC.于是有ZAEF = ZNAC "FA = ZACN = 90P = ZEFD .
从而在ZkEA/与△EDb 中有AF = FD, EF = EF A板AFAF 且AEDF .于是有ZEDF = ZEAI^
"ED = /FEA.
总、之,ZEDF + ZMDA = ZEDF + ZNAC = ZEDF + ZAEF = ZEDF + ZFED = 9(f ,即
BD±DE.
9. 1. 18★★★已知口ABC£>,延长DC至P,使。

P = A，连结PA与8C交于Q,O为△2℃的外心,
则4、O、C、。

共圆.
解析如图连好辅助线，由于ZDE4 = ZBAP = ZPAD = NCQP，故CQ = CP，设
ZOCP = ZOCQ = ZOQC = 0MZ£QO = \SO Q-O = ZDCO,y.BQ = AB = CD.QO = CO^
△BQO经△DCO,于是NQO3 = NCO£>,于是ZBOO = NQOC = 2N0PC = N8C。

,因此3、O、C.。

共
圆.
9. 1. ★已知△ABC和八4万0，/4 = /4<且8C = "C\。

和。

分别是8C、9U的中
点,AP = A7A问两个三角形是否必定全等？
解析如图作出ZXABC外心O （△48U及相应的0，、。

图中未画出）.
若O在3c上，则ZA =90。

= Z/V,此时ZkABC与未必全等.
若O不与。

重合，则
月。

=品黑…
OD = BO|cos A| = AO|cos A| = A'O[cosA[ = O7)',
AD = A!iy.
当A、O、。

共线，则人。

1.8。

,4。

，丛7,所以八4皮）乌八4%'£）\&18空\40£>',从而
△ABC 且AAB'U.
当A、。

、。

不共线，则八4。

£）名乙¥077,/84 = /07/4,于是"）。

=/4。

（7 （或NYQTT ）, 于是由三角形全等可得AC = AC（或A7T）,AB = Ab （或AC）,故有△ABC四4归77 （或ZVTC7T ）.
评注此题亦可用中线长公式证明.
9. 1. 20★★如果两个三角形满足“ASS”，它们不一定全等，此时称它们是相近的，现在有一三角形△「作△?与之“相近”，……一般有△，.与△.相近，问是否存在一个上,使与△人相做且不全等？
解析这是不可能的.因为由正弦定理,A与△?有等大的外接圆（它们有一对内角相等或互补）, 从而
推出A与xA有等大的外接圆,它们不可能只相似不全等.
9. 1. ★是否存在两个全等的三角形△与△，,△可划分为两个三角形与△?,△，可
划分成两个三角形△；与△；,使X0Z4 与△；却不全等？
解析这样的两个三角形是存在的，如图（a）、（b）,设不等边三角形△ABCgAABC,其中BC2 =AB AC = AF ACC^,不妨设AC = AC是各自的最长边，则AB、A f ff为各自的最短边.在AC、上分别找。

、O',使CZ）= A8,447y = NC,则由于3C2=A3.AC = C0.AC,故AABC^ABDC ,所以ZBDC = ZABC = ZA!B'C，又因为ZC = ZB r A f D r , CD = A f B r ,因此△BDC学而△/$£>显然不与△AZ7X全等.（若4 = 4, =90。

,还可避免相似.）
9. 1.★已知八4必中,ZA = 60。

,/是△ABC内心,4的垂直平分线分别交4?、AC于M、ME、F在BC 上,3E = EF = FC,求证：ME 〃 NF .
解析如图，连结M/、BI、CI、NI .易消与△/肠V为全等之正三角形,N8/C = 120。

，
NM/+ N/WC = 180°.
两端延长"N至S与r,使SM=MV = NT,则々^ = 加的=々〃/=60°,于是/\5用5g/\川必,同理△MFC g&WC,因此NS + NT = NM73 +NMC = 180°, S3 〃 7r.
而M、N将ST三等分，石、尸将3c三等分，于是由平行线分线段成比例，知ME〃N〃（〃S8）. 评注读者可以考虑：如果ME〃N『是否有㈤。

= 60。

.
9. 1. 23★★★已知锐角三角形ABC,ZR4C = 6O°,A8>AC,A/1BC的垂心和外心分别为M和O,QW分别与AB、AC交于X、丫,证明：AAAT的周长为A5 + AC,QW = AB-AC.
解析如图，连结AO、BO、CO、AM .由A8>AC可知。

在AB一侧,用在4。

一侧.
因4OC = 120°,故AO ="，而4W= -------------- --- ="，于是AO = AW.NAQW = NAMO .
V3 tan ZBAC 万
乂N04 3 = 90° - NC = N KW ,故NAXY = ZA KY, △AYT 为正三角形.
乂ZXOB + ZYOC = 60° = ZYOC+ZOCY，故ZXOB = ZYCO , ZBXO = \200 = ZCYO ,又BO = CO，故
AXBO^AYOC,XY = XO + YO = BX + YC. ^^AX + XY + YA = AB + AC.
又XO = My = NC,做OM = XY-2YC4A8 + 4。

)-2 AC-^(AB + AC) = AB-AC .
§9. 2特殊三角形
9. 2. 1★在直角三角形ABC中,BC是斜边,AC = 5,。

是8c中点，七是AC上一点，。

七= A£ = 2,求AB.
解析如图，连结4? .设AO = C£)= x,因。

£ = 2,A£ = 2,CE = 3,则
x2-22=2x3,x = V10 .故A3 =《BC? - A C? = J40 - 25 =尼.
9. 2, 2★已知△ABC中,AB = 14,3C = 16,C4 = 28,P为4在NA平分线上的射影,M为3c中点、，求PM .解析延长8P交AC于。

.FJj ZBAP = ZQAP . AP_L3Q知BP = QP 48 = AQ . 乂8W=CM,故
PM《，CQ=L(AC-AQ)= GX(28-14)=7.
2 2 2 9
9 2- 3★等腰三角形ABC中,A3 = AC,O为直线3c上一点，则
AB2-AD2=BD CD（。

在8c上），
AD2-AB2 =BD CD（O 在8c夕卜）.
解析如图，设。

在3c上且较靠近3 .作AEL8C于七，则£为3c中点，于是
A
BD CD = (BE-DE) (CE + DE)
= BE2-DE2=AB2-AD2.
当。

在8c外时的结论同理可证.
评注这是斯图沃特定理在等腰三角形的特殊情形，具有十分广泛的用途(例如题9. 2. 1),亦
可用相
交弦定理证明.
9. 2. 4★★已知锐角三角形ABC中,AD、CE是高，〃为垂心,A£)= 3C,尸是8C的中点，求证：
FH + DH = -BC .
2
解析如图，连结。

，则EF=CF=1B C.于是FH2 = EF? -EH CH = EF2 -AH HD = EF2 -
2
AH HD- HD，袱=EF2 - HD AD+ HD2 = EF2 - HD BC + HD2 = EF2 - 2HD
EF + HD? =(EF-HDf .
由于EF>FH>HD,故
FH = EF-DH =L BC-DH .
2
9. 2. 5★已知斜边为AC的直角三角形ABC中,3在AC上的投影为〃.若以AB、BC、BH为三边可以构成一个直角三角形，求得的所有可能值.
解析显然由AB 、BC 、8〃构成的直角三角形中,4〃不是斜边，且
若AB>BC,则钻为斜边.设AB = c , BC = a ,
=力，则由AABC 的面积知h^Ja 2+b 2=ac ,又 A4 _/ + 1 CH = 2
同理，若皿-可得黑二牛1 所以篝的可能值为
9. 2- 6★★已知△ABC 中,AD 为高,O 在上,
以下哪些条件能判定A3 = AC ：
(1)AB + CD = AC + BD:
(2) AB CD = AC BD:
⑶L
AB CD AC BD
解析设 BD = x,CD = y,AD = h ，则 AB = Qh 2 +丁 , AC = Qh 2 +. 先看条件(1): \jh 2 +x 2 + y = yjh 2 + y 2 + x. 若x = y ，则 AB = AC;否则不妨设 x>y ,则 x — y =
- Qh 2 + y? =， ,. . , J/」+x 2 +W +y 2
得 y/h 2+x 2 + y]h 2+y 2 = X + y,于是〃 =0,矛盾.
故A3 = AC.
再看见条件(2)： )，"工了 =八「寸.则/Jy2+Yy2=〃y+Vy2,于是X=y,故A8 = AC.
最后条件(3)： 1 + _= 于是
h = yjc 2 - a 2，故 c 4 — t/4 = a 2c 2 .易知
备冷”，则由前式知I”得公竽，故
B
y yjh Z + x2 X J.2 +产
士"=」—r - -r = T-J=—X 二J =. 若X = y,贝|J
町Jh2 + y2 +丁 (yjh2 + x2 + yjlr + y: j^(h2 +x2)(/r +y2)
^(h2 +x2)(h2 + y2) (V/r +A-2 + J" + V ) = xy (x + y ),仍有力=0,矛盾，故AB = A C .
所以三个条件都能判定AB = AC.
9. 2. 7★已知夕是等腰直角三角形ABC的斜边3c上任意一点，求"fl.
AP2
解析如图，作4) _L 5C于。

.
不妨设AD = BD = CD=\ .「在CO 上，PD = a，贝lj BP = BD + PD=T + a , CP = CD-PD = 1-a，于是BP-+CP2 =(l + o)2+(\-a)2 =2 + 2a2. V. AP2 = AD2 + PD2 =1+a2.故丝+=： = 2.
Ar'
评注请读者考虑，若对BC上任一点P，有竺芋生为定值，是否可认为AABC为等腰直角三角
AP-
形.
9. 2. 8★★在AABC 中,A8 = 19,3C = 17,C4 = 18,。

是内一点，过点P 向△ABC 的
三边BC、C4、回分别垂线电)、PE、。

尸,垂足分别为。

、E、F ,3. BD+CE+AF = 27^ BD+BF
的长.
解析如图，由于BD? — CD2 + CE2- A炉+ A尸一5尸=0,于是
A
BD2 -(17-BD)2+CE2-(18-C£)2+AF2-(19-AF)2 = 0,litB|J 17BD +18CE +19AF =487 •
而188O + 18CE + 18AF = 486,故Ab一4。

= 1 . 所以BD + 3/= 30 +AB-A尸=AB-1 = 18 .
9. 2. 9★★已知八旬。

中,4? = 4。

,/1£是3。

的中垂线,AE = 8C,40C = 3NA4C,
求喘
解析如图，不妨设BE = CE=1 ,则AE = 2 , AB = 45 .作ZABD的平分线板，由于
ZBDE = 35AE = ZABD + ZBAE,故ZABF = ZDBF = ZBAE.因此A/； = 8凡△ABO S A B/D,
任=〃=丝，从而BO、。

9 = 所以0T -(8O + A3).
BF BD DF AB + DB
设DE = x, 则BD2=X2+\ , DA = 2-x ,因此(2-A)2=A-2+1+^5(A-2+1) ,(3-4.v)2 =5x2+5 , 1 1A2-24x4-4 = 0 ,入=5(x = 2 舍).于是
陋=型，叱=10. \\ DE
9.2.10★★正三角形A3C内有一点P,夕关于"、AC的对称点分别为Q、R,作平行四边形QPRS,求证：AS//BC.
解析如图，设QS 与交于M ，连结MPM NQ = 60。

，4?垂直平分PQ, QM = PM , △MP 。

为正三角形,MP = PQ = SH,于是四边形MPHS 为等腰梯形，心的中垂线即MS 的中垂线. 于是 QC = ZM4C = 60 = NCAS 〃3C.
9. 2. “★★心与00相切于点8,人。

与0。

相交于。

、。

，若/。

= 45。

，々04 = 60°,。

=四,求 AB.
解析如图，山题意可得ZAB£> = 45。

，作8K_LAC 于K,则3K = CK, 乂 CK = CO + OK = 故 BK=)＜娓 +吗、BD = ?^ + «. 2
再作 Ar_L4Q 于T,设 87 = Ar = x,则。

r =
于是 AB = >/2x = 6 ♦ 9. 2. 12★已知大小相等的等边△ABC 与等边有三组边分别平行，一个指向上方,一个指 向 下方，相交部分是一个六边形，则这个六边形的主对角线共点.
/r BK 巫+而 耳 =3鼻+瓜，x = 3
解析如图，设两个三角形的边的交点依次为。

、E 、F 、G 、H 、K .设AABC 、△PQR 的高为 /?,则正△A0K 的高=/?（HQ 与8C 的距离）=正4/79的高,于是。

K"G,QG 、Kr 互相平分, 同理。

G 、£〃互相平分,于是。

G 、EH 、Kr 的中点为同一点，结论成立.
9. 2. ★★求证：过正三角形反。

的中心O 任作一条直线/,则A 、B 、C 三点至/的距 离平方和为常数.
解析如图，不妨设/与4?、AC 相交，且与延长线交于P （平行容易计算）.由中位线及重心性 质，知 BB f + CC = AA f .故 B f B 2+ CC 2 + A f A 2 = 2（B® + CC 2 + B'B CC ）.
连结05、OC,作OQ 工BC,易知AB ，BP S ^QOP s^cCP ；故丑=色,竺=也
0Q OP OQ OP
对于等腰三角形。

8C,有O 产-"2=" BP.因此
3<72+36炉-3。

0 =笫°2（定值）,这里用到了8。

=廊。

.
于是A 、B 、。

三点至/的距离平方和为W=gg,结论得证
.
B 9B 2 + C
C 2 + B'B 2 CC 2
第(CP? + BP 2 + CP BP)=%( BC 2 + 3cp BP)= A
Q
§9. 3三角形中的巧合点
1. 3. 1★已知：〃是△ABC内一点,A〃、BH、CH延长后分别交对边于。

、E、F ,若AH HD = BH HE = CH HF,则H 是AABC的垂心，
解析如图，由条件知AAHE^^HD，故ZAEH = ZBDH，同理，ZAFH = ZCDH，故ZAFH + ZAEH = \SOP.
乂△/W/sAEC/y，故ZB"7 = NCEH,这样可得ZA"/ = ZAE〃=90°,故〃为八45。

之垂心.
9. 3. 2★★求证：到三角形三顶点的距离平方和最小的点是三角形的重心.
解析设△ABC中,4K BE、是中线,G是重心,M是任一点.由斯图沃特定理，并考虑到结论成立. DG：GA：AD = \：2：3,
得MG? =1AM234+-DM2--AD23 3 9
2 o _
= ^AM2+^DM2-2GD2 .①
4 3
乂由中线长公式，有
MD2 = ； (8W 2 + CM ?)- ，
GD2 =1(BG2+CG2)-^BC2 .
代入式①，得
3MG2 =(MA2 +MB2 +MC2)-(G42+GB2 +0(^)20・
结论成立.
9. 3. ★已知,H是锐角△/$(7的垂心,O是3c中点，过H作。

”的垂线，交AB、AC于M、N,求证：”是MN中点.
A
解析设△ABC两条高为AP、CQ.乂不妨设。

在4。

上.由于ZH4M = ZDCH,
加泌=90。

-""尸="£「故人44回//^加＞,于是也=辿同理也=任，HD CD HD BD
又CD = BD,故MH = NH .
9. 3.4★★★△ABC的边5C、CA. 4?上分别有点。

、E、/，且迫=延=些,求证：AABC DC EA FB 的重心与△口“•的重心是同一点.
解析在加上取一点M,使MO〃AC,则丝=丝=生，所以MQ = CE,四边形版“为平行四边形, AC BC AC 设与。

E交于N, 乂设BC的中点为,P连结"V、AP、四,曾与网交于6,于是由
生=也=££ =竺得/诩=4 于是尸%〃，氏于是竺=里="=_1,所以G为AABC
AB BC AC AB=2 =2 GA FG AF 2
与△。

斯之重心.
9. 3. 5★★★已知△ABC,ZA = 60o,G 是AABC重心,4GC = 120。

,求证：AABC 是正三角形.
解析设△ABC三条中线分别为AD、BE、CF .连即为中位线.于是由条件知A、F、G、E
共圆，故ZGBD = ZFEG = ZBAD，于是BD2 =GD DA .由于BD = -BC , GD = ^AD，代入，得2 3
AD = — BC.
2
在AABC外作等腰△BCP,使3P = CP，々尸C = 120。

,连结8c .由圆心角与圆周角的关
9 1 1
系,GP = 8尸=十二士AO = -AO + -AO = GO + PZ),故G 、
#3 3 3 乂 44 C = 60°,故 八旬。

为正三角形.
9. 3. 6★★★已知。

是8c 上一点,AAB 。

、/\ECD 、ABCF 都是正三角形,A 、石在3c 同侧，/ 在另一侧,求证：以这三个正三角形的中心为顶点的三角形是正三角形,且它的中心在3c 上.乂 问此题如何推广？
解析如图，设P 、Q 、A 分别为zXBb 、△OCE 和△ABO 的中心，则由题11. 2. 25知△PQR 为正 三角形.
故根' + QQ' = PP. 乂设RQ 中点为S (图中未画出)，SS 」3C 于S<则SS ，〃。

尸，且 SS ，= ；(RR + QQ) = gpP.设SP 与8c 交于G,则需=舒总所以G 为PQH 的中点.
评注此题不难推广，只需AB 〃 OE 〃 B , 4) 〃 CE 〃 3尸，此时AABD ^>ADC s&CB, P 、Q 、R 为各自对应的重心，则必有△PQR 之重心位于BC 上.
9. 3.7***A 旬。

内有一点P,连结小、BP 、CP 并延长，分别与对边相交，把△/$(7分成六 个小三角形，若这六个小三角形中有三个面积相等，则点夕是否必为人钻。

之重心? 解析如图，设4A BE. b 交于P .由对称性,可分四种情况讨论. 。

、。

三点共线，故A£)J_8C,于是
A8 = AC,
过A Q 、R 分别作3c 的垂线0夕、QQ\ R 昭，则 RR ，_ QQ ，_ PP'
BD CD BC ，乂 BD + CD = BC 、
（1）S ABPD=S NDP =S MP1于是30 = 8,9 = 2,由梅氏定理（或添平行线），得AP = 8以P为中PF 心.
（2） S ：=S MDP =S4APF ・此时田〃AC,故。

、F 分别为5C 、AB 中点,P 为重心.
（3）S △哂=S △皿=S MPE •此时有。

石〃AB,由塞瓦定理,” =8凡于是=S M ",回至『情形（1 ）-
综上所知，答案是肯定的.
9. 3. 8★★★设有一个三角形三角之比为1：2：4,作两较大角的平分线，分别交对边于何、N.求 证：这个三角形的重心在MN 上.
解析如图（a ）,设ZA 为最小角，作中线4?,交MN 于G ,于是只要证明AG = 2GD .分别作 EB//AD//CF.E. F 在直线MN 上，则2GD = EB + CF,故问题变成竺+t=1,或
AG AG
生+些=也+变=式+些=L
AB AC AM AN AG AG 不妨设/4 = 8,/。

= 28,々=4夕,78=180。

,在从。

上找一点。

,使/>3「= 8,乂作「。

〃3。

，0在加
上，则各角大小如图（b ）所示.于是8c = 5P = AP = 8Q,故
BC AP CP RQ A BC = =1 - = 1 - = 1 - AC AC AC AB AB
9. 3.9★★★不等边锐角AABC 中,〃、G 分别是其垂心和重心，求证：若十L+ , AHAB AG1.HG .
(4) S
△APF q ABPD =s«.见题
15.1. 58. 2
S^HBC
解析设八45。

的一条中线与高分别为AD 、则欲证结论等价于AGAO = A//A 石.熟知
AH = BC cotA.AG = -AD .于是结论变为
3
2
二 AD 2 =BC AE cot A = AB AC cos A .
3
设A8 = J 3C = 4,C4 = 〃,则由中线长及余弦定理,知欲证式左端
右端= ，整理，得6+C 2 =2/，于是剩下的任务是证明这个等价条件. S = —■ BH BC cos C
= — AC BC cot B cos C 2
=S △皿 cot 3 cot C,
同理有另两式，于是条件变为cot C + col 3 = 2 cot A,
由正弦及余弦定理，知上式即a 〃8sC + “ccosB= 2/MCOS A,或
+62 -c 2) + (</2 +c 2 -b 2) = 2(b 2 +1 -/)，化简即得〃2 +c 2 =2ci 2 .
9. 3. 10★★已知凸四边形 A8C£>中,ZE4C = 2ZBDC,NC4D = 2NC3£>, A 是否一定为△3C£)之外 心？
解析当△BC 。

固定.由题设ZBAC 、NG4O 固定，于是△E4C 、△AC 。

外接圆固定，它们的交点 。

、A ，固定，乂若A 为△88外心时，确为△明C 的外接圆和△力8的外接圆之异于C 的交点，因 此从=从结论成立.
9. 3. ”★★★已知锐角八钻。

的外接圆与内切圆的半径分别为R 、是外心,O 至三边距离 之和为L,试用R 、，•表示L.
解析易知 L = 7?（cosA + cos5 + cosC ）.
设△ABC 三边分别为。

、/?、C ，由于"858 + /兀084 = 0等,则（"+ % +。

）（8$人 + 85 8 + 85。

）= “+〃+(? +“cos A+〃cos3+ccosC,于是
cos A + cos 5+cos C -1
2 2C + 2 仍
1 -6
a cos A + bcosB + ccos C ① a +
b + c
乂！&cosA = S"等,可得■!■/?(acosA + 〃cos8 + ccosC) = S△A腕=L•(a + 〃 + c),故式①的右端 = L.
2 2 2 R
于是L = A + 〃.
9.3.□★★★★：已知AABC,。

、E分别在AC、4?上,或＞、CE交于八瓦)〃3C,求证：AAEF、
△ADF、AEFB、△£)/＜的外心四点共圆.
解析如图，设ZiBEF、的外心分别为。

、为的外心，于是。

1垂直平分EF. 002 垂直平分。

b.
设ZEM = ZDnC = 8,则由垂径定理知0«加夕=!8。

,如d=!。

上,于是竺\也=”.
2 - 2 OO2 CE EF
易知转过⑷中点（由塞瓦定理或面积比），作AD〃£F,K在4：上，则KO = EE乂
乙KDF = 180。

- 4EFD = NOQQ，故△OQO? s &DK .
乂设尸的外心分别为Q、O,（图中未画出），于是Q、0,分别在直线。

与0“上, 且qO4，AE,于是/0.。

3=/长/。

=/。

02，于是。

1、。

2、0、。

,四点共圆.
9.4.13★★★已知：AABC中,45 = AC,。

是4?中点，”为△ADC重心为人针。

外心,求证: FOLCD.
解析1如图,延长“'交47于邑则AE = CE,QP = 2£F.连结AO并延长，分别交CQ、BC于G、H,
则G 为AABC重心，8H=CH,OF=2O七=3B〃，易见丝二也=1—=—.
3 3 AD AH 2AH AG
3
D E
乂OD1.A5,/。

/=90。

- = 尸sAAMG,对应边垂直,所以尸
解析20 为AABC外心，故3 一DO2 = AO2 - DO2 = AD2；
而由中线公式，
CF=-yl2AC2+2CD2-AD2 = । J1AD2 + 2CD2 ,DF = - yjlAD2+2CD2 - AC2 = - y]2CD2-2AD2 , 3 3 3 3 于是C产-。

尸=A£>2 =。

2于是FO_LC£).
9. 3. ★★设/和O分别是△ABC的内心和外心，求证：NA/OW900的充分必要条件是2BC^AB + AC.
解析延长4与外接圆交于点。

，连结班）、CD、ODM
Z/UOW900
c - AD
=2W——DI
AD BC = AB CD + AC BD
=AB DI + AC DI.
所以奈AB + AC
BC
所以N4/OW90o = 2W 任上£ BC
故ZA/O W900的充要条件是23C W A8 +AC.
评注本题的关键是先把NA/OW90。

转换为42/0,然后再用托勒密定理.托勒密定理是：圆内 接四边形的对角线的乘积等于对边乘积的和.
9.3. 15★★★设0。

是八钻。

的外接圆,G 是三角形重心，延长AG 、BG 、CG,分别交O 。

于。

、E 、八则凝翳条3.
解析设8C 、C4、4?的中点分别为P 、。

、K,则由中线长公式及相交弦定理，有(此处八钻。

三 边分别设为八〃、c)
GD GP + PD up + BP CP AP
2AP 5 6
A
ABEI = AI FC = 90° + - ZA = ABIC .又 /EBI+ /EIB = 90。

一 LzA = NEIB +NFIC J 故 ZEBI = ZFIC ,于是 2 2
DJ
RF △EB/sAHC, — ====,而 ZBEI = ZBIC,故 ABE/ sg/c, ZAB/ = Z/BC,所以/ 为 AABC 内 IC IF EI
心.
9. 3. 17★★已知：△ABC 中,23C = A3 + AC,O 是内心，。

后与3C 垂直于E,求—空—的值. BE CE 1 AP + BP <P AP 2+ 3BP CP
67 AP
AG AG AG
b 1 2 +
c 2
2 2b 2 + 2c 2-a 2
解析设△ABC三边长分别为。

、％、c,则24 = 〃 + c.
易知若设DE = r. p = -(a + b + c)，则BE= p-b ,CE = 〃一c .
2
ga)(pi)(P-c)
V p ，
于11 DE2 _ P - a _ b + c - a _ a _]
‘£ BE CE p a+ b + c 3a 3
9.3. 18★★设ZVWC中,4;最长，在其上分别找两点M、N,使/W = AC,BW = 3C,乂设/为△ABC 内心，求ZM/N （用ZA、4、NC及其组合表示）.
解析如图，连结CM、CN、CI. AI .
易知ZVIC/也△AM ,CI = NI，同理CI =MI ,1为△CMN的外心，因此
ZMCN = ZACN + ZBCM - NC
=90O-1Z A+90°--!-ZB-ZC
2 2
= 90。

-1", 2
AMIN = 2ZMC7V = 180°-ZC.
9. 3. 19****Z\ABC 的边BC 上有一点。

,八4%）与△ACO 的内心与4、。

四点共圆,求证: AD + BD _AB AD + CD = AC *
解析如图，设AAB0与AACD 的内心分别为《与人.
连结弘、AI 2、研、CI 2、/,/,，两端延长/工2，分别交相、AC 于七、F ,则由条件知 ZAEF = ZAB/,+ ZEI,B = ；（ZABC + ZACB ）,同理 ZAFE 也是出:值，于是 AE = AF.
△网及直线数截△呵）,得修器（此处心N 分别为。

小朋延长后与eAC 之 交点），又由角平分线性质，知绰=生竺，吴=竺*于是结论成立.
IM AB I 、N AC 1 X
9. 3. ★已知A4BC 中,A3 = AC,O 、/分别为其外心与内心，。

在AC 上,。

/〃A3,求证: ODLCI .
解析如图,不妨设。

在AABC 内,且在/ “之上”（O 在形外、/之下类似处理），连结A 。

、OC, 则 ZZ" = Zi%C = Z/£）C,故。

、/、C 、。

共圆，于是 NQOC + Z/C£）= NO/K + ZZCD.这里 K 为。

、 C7直线之交点.
A
又设毡与仞交于P,则由角平分线性质知步条竿噜
，故由梅氏定理（直线加截
由于AQ/J_5C,故/0火 + 48 = 90°-々67 + 48 = 90°,于是〃长。

=90°.
9. 3. 21★★设G为△ABC的重心，已知GA = 2W，GB = 20k且宓=2,求AABC的面积.
解析1由题意可画出图(a),令。

为中点,GE_LA3,垂足为点£因G为重心，可知GQ = gGC = l.
GE2 = GB2 - EB2(l) 由勾股定理可知G6=GA?—EV②，
GE2 = GD2 - DE2③
令AO = 3£> = c.由①与②可得
(2 亦『—(c + DE)2 =(2点『—(c - DE)2,
化简后可得“OE = 1,即。

七='代入③得GE=l-1,再代入①式可得C 1
T = 8-(T)2,
解方程可得C =3,GE=2,故
3
△ABC 的面积=6x4G5O的面积= 6x,x3x在=6点. 2 3
解析2由题意可画出图⑹,令。

为4?中点，在GO的延长线上取七点使得G£)= O邑因此△G3。

之面积为A4EG之面积的一半.此时因4?与GE互相平分，可知四边形AE8G为平行四边形，也因此可知AE = G3 = 2&,即ZV1EG的三边长为2、2无、2力,故可知AAEG为直角三角形，故△GM 的面积为:x；x2夜、2 =夜，所以ZXABC的面积= 6xZ\G3O的面积= 6".
9.3. ★已知ZAM = ZBFC = NCE4 = 120°,尸为异于F的任一点,求证：
PA + PB + PC>FA + FB + FC.
解析如图，在AABC外作正三角形ABD，由于ZABC^BAC<\20°，故四边形DBCA的内角均小于180。

,是凸四边形.
对于AABC中任一异于F的点P,将△ABP、AABF均以点A为中心顺时针旋转60°，至/\ADP f
和AADk，则4AFF与八4尸尸均为正三角形.
由全等矢口AP+BP+CP = PP f + DP f + CP>CD = DF f + F r F + FC = AF + BF + CF DPPC是一条折线，而皿"=/4尸。

=120。

,/4尸尸=/4尸产= 60。

，。

、F1、F、C四点共线且仅对于F满足四点共线.
评注当AABC内角均小于120。

时,满足条件的点F称为ZVIBC的费马点（当Z^ABC有内角比如
ZA21200时，到A、B、C距离之和最小的点正是点A ）.
l/r+ic2-l<r+^r
2 2 4 4
同理，有
BG _ 2c2 + 2a2 -b2 GE- a2+b2+c2
CG _ 2a2 +2b? -c
GF= a2+b2+c2三式相加，即得结论.
9. 3. 16**/在ZXABC 内,加平分44。

,/8/。

= 90。

+ 144,求证：/是八45。

内心.
2
解析如图，作日产七在AB上，〃在AC上，则A£ = AELE = //,。