9年级 数学北师大版下 册教案第 3章《垂径定理》
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教学设计垂径定理
难点:垂径定理及其逆定理的证明,以及应用时如何添加辅助线.
教学策略:
类比引入,猜想探索,知识应用,归纳小结。
本节课的另一个难点是如何添加辅助线,这在最后的归纳反思中应该要有足够的时间让学生交流讨论,但是限于本节课的时间,这是一个客观限制,不应该勉强在课堂上完成,效果并不理想,应该留作课后作业,让学生能通过更充分的讨论才得出结论,这样才能起到更好地交流和反思的作用。
教学过程
教学环节教师活动学生活动设计意图
一、
类比引入
二、
猜想探索
活动内容:
1.等腰三角形是轴对称图形吗?
2.如果将一等腰三角形沿底
边上的高对折,可以发现什么结
论?
3.如果以这个等腰三角
形的顶角顶点为圆心,腰长为半径画圆,得
到的图形是否是轴对称图形呢?
1.如图,AB是⊙O的一
条弦,作直径CD,使CD
⊥AB,垂足为M。
(1)该图是轴对称图形
吗?如果是,其对称轴是什么?
(2)你能找出图中有哪些等量关系?说一说
你的理由.
条件:①CD是直径;②CD⊥AB
结论(等量关系):③AM=BM;
④⌒AC=⌒BC;⑤⌒AD=⌒BD。
学生思考并回答通过等腰三角
形的轴对称性向圆
的轴对称性过渡,引
导学生思考,培养学
生类比分析的能力。
证明:连接OA ,OB ,则OA =OB
在Rt △OAM 和Rt △OBM 中,
∵OA =OB ,
OM =OM ,
∴Rt △OAM ≌Rt △OBM . ∴AM =BM .
∴点A 和点B 关于CD 对称. ∵⊙O 关于直径CD 对称,
∴当圆沿着直径CD 对折时, 点A 与点B 重合,
⌒AC 和⌒BC 重合, ⌒AD 和⌒
BD 重合. ∴ ⌒AC =⌒BC ,⌒AD =⌒BD .
2.辨析:判断下列图形,能否使用垂径定理?
注意:定理中的两个条件缺一不可——直径(半径),垂直于弦。
通过以上辨析,让学生对垂径定理的两
证明完毕后,让学生自行用文字语言表述这一结论,最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
同伴交流
通过以上辨析,让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识。
让学生猜想、类比、探索和证明获得
O
C
D
B A
O C D
B
A
O
D
B
A
C
个条件的必要性有更充分的认识。
3.垂径定理逆定理的探索
如图,AB 是⊙O 的弦(不是直径),作一条平分AB 的直径CD ,交AB 于点M 。
(1)下图是轴对称图形吗?如果是,
其对称轴是什么?
(2)图中有哪些等量关系?说一说
你的理由。
条件:① CD 是直径;② AM =BM 结论(等量关系):③CD ⊥AB ;
④⌒AC =⌒BC ;⑤⌒AD =⌒BD .
让学生模仿垂径定理的证明过程,自行证明逆定理,并表述逆定理的内容
——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
4.辨析:“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.”如果该定理少了“不是直径”,是否也能成立?
反例:
让学生模仿垂径定理的证明过程,自行证明逆定理,并表述逆定理的内容。
新知,从而得到研究数学的多种方法的体会,获取经验;通过对定理表述反复的语言提炼,锻炼学生的归纳能力和严谨的表述能力,并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识;
三、
知识应用
1.例题:
如图,一条公路的转弯处是一段圆弧
(即图中⌒CD,点0是⌒CD所在圆的圆
心),其中CD=600m,E为⌒CD上的一
点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m.
求这段弯路的半径。
解:连接OC,设弯路的半径为R m,则
OF=(R-90)m.
∵OE⊥CD
300
600
2
1
2
1
=
⨯
=
=
∴CD
CF
根据勾股定理,得
OC²=CF² +OF²
即R²=300²+(R-90)².
解这个方程,得R=545.
所以,这段弯路的半径为545m.
2.随堂练习
T1.1400年前,我国隋朝建造的赵州石
拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的
弦长)为37.4米,拱高(即弧的中点到弦的
距离)为7.2米,求桥拱所在圆的半径(结
学生认真读
题、审题,思考解
题方法。
学习同伴合作
交流完成。
让学生应用新知
识构造直角三角形,
并通过方程的方法去
解决几何问题;
果精确到0.1米)。
T2.随堂练习
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?为什么?
有三种情况:
(1)圆心在平行弦外;
(2)圆心在其中一条弦上; (3)圆心在平行弦内。
教师引导学生认真审题、读图,合作交流,把生活中的数学问题抽象概括为数学模型,
再根据上例的启发添加辅助线,构造符合定理的条件。
让学生通过作垂线段构造符合定理使用的条件,从而运用定理解决问题,以及培养学生解题中的分类思想。
O
C
B
D
A
O
B C
D
A O
C
D B
A。