高数B1作业-吉林大学数学学院

高数B1作业-吉林大学数学学院
高等数学作业
BⅠ
吉林大学数学中心
2013年3月
第一次作业
学院班级姓名学号
一、单项选择题
1．以下各组中（）中()f x 与()g x 为同一函数．（A ）2()ln ,()2ln f x x g x x ==；（B ）22()sin ,()sin f x x g x x ==；（C ）2(),()f x x g x x ==；
（D ）3(),()f x x g x x x ==．
2．在)0,(-∞上，下列函数中无界的函数是( )．（A ）x y 2=；
（B ）x y arctan =；（C ）1
12+=
x y ；（D ）x y 1
=
． 3．下列函数中是奇函数的为( )．
（A ）x x |
|；
（B ）2
1010x
x -+；（C ）x x cos 3+；（D ）x x sin ．
4．函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( )．（A ）π；
（B ）π3
2
；
（C ）π2；（D ）π6．
5．设<≥=,
0,,
0,)(2
x x x x x f 45)(-=x x g ，则)]0([g f = ( )．（A ）0；（B ）4-；（C ）16；（D ）16-．
二、填空题
1．设}4|{},53|{>=<<=x x B x x A ，则B A \= ． 2．设32)(+=x x f ，则]3)([-x f f = ． 3．将复合函数1
sin
2+=x a y 分解成简单函数为．
4．函数12)(-=x x f 的反函数)(1
x f -= ．
5．已知)(x f 的定义域为[0, 1]，则)(ln x f 的定义域是．
三、计算题
1．设x x f cos 12sin +=??? ?
，求)(cos x f ．
2．讨论函数e e ()||e e x x
x x
f x x ---=+的奇偶性．
四、证明题
已知函数)()(R ∈x x f 的图形关于直线a x =与)(b a b x <=均对称，证明)(x f 是周期函数．
第二次作业
学院班级姓名学号
一、单项选择题
1．已知0)(>x f ，且k x f x =→)(lim γ
，则必有( )．
（A ）k ≥0；
（B ）0>k ；
（C ）0=k ；
（D ）0<="">
2．已知)]()([lim x g x f x +→γ
存在，则)(lim x f x γ
→与)(lim x g x γ
→( )．
（A ）均存在；（B ）均不存在；（C ）至少有一个存在；（D ）都存在或都不存在． 3．“)0(0-x f 与)0(0+x f 存在且相等”是“)(lim 0
x f x x →存在”的( )条件．
（A ）充分；（B ）必要；（C ）充分且必要；（D ）非充分且非必要．
4．当∞→x 时，x x y cos =是( )．
（A ）无穷大；（B ）无界函数但不是无穷大；（C ）有界函数；（D ）无穷小． 5．已知011lim 2=
--++∞→b ax x x x ，则( )．（A ）1==b a ；（B ）1-==b a ；（C ）1,1=-=b a ；（D ）1,1-==b a ．
6．0=x 是x y 1
arctan =的( )间断点．
（A ）可去；
（B ）跳跃；
（C ）无穷；
（D ）振荡．
7．0=x 是函数x
x x f )
1ln()(+=的( )．（A ）连续点；（B ）跳跃间断点；（C ）无穷间断点；（D ）可去间断点．
二、填空题
1．设21
e )1(lim =-→x
x kx ，则k = ．
2．
-++++∞→n
n n n n n n n n 11cos 1sin 1lim 23= ．
3．??? ?
-??? ??-??? ??
-∞→22
211311211lim n n = ．
4．=
+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim ． 5．??? ?
+++++++++∞→n n 2113211211lim = 6．当0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小．
7．1
42e sin lim ||1e x n x x x →∞??+ ?+= ? ?+??
． 8．设函数
>+=<=,0,23,0,
,0,2sin )(x x x a x x x
x f 在0=x 点连续，则=a ． 9．函数x
x x x x x f sin )1()
23(||)(22-++=的无穷间断点是．
三、计算与解答题
1．已知0→x 时，
><+-=0
,sin 0,)e 1(1
e )(/1x x ax x x
x f x x 有极限，求??? ??2πf ．
2．求n
n
n n 1)321(lim ++∞
四、证明题
1．设 ,2,1,6,611=+==+n x x x n n ，证明n x x ∞
→lim 存在，并求之．
2．设)(x f 在]2,0[a 上连续，且)2()0(a f f =，证明方程)()(x f a x f =+在],0[a 上至少有一个实根．
第三次作业
学院班级姓名学号
一、单项选择题
1．设2
2t x =，t y 2=，则==2
22d d t x y
( )．
（A ）
4
1；
（B ）8
1
；
（C ）64
1-
；（D ）16
1-
．2．设方程e e =+xy y 确定了y 是x 的函数，则='=0x y ( )．（A ）1；
（B ）e
1
-；
（C ）1-；
（D ）e
3．已知)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则)()4(x f 为( )．（A ）5)]([!4x f ；（B ）6)]([!4x f ；（C ）5)]([4x f ；
（D ）5)]([x f ．
4．设|1|ln x y -=，则='y ( )．（A ）
|
1|1
x -；（B ）|
1|1
x --
；（C ）
x
-11
；
（D ）x
--
11
． 5．函数??
=≠=,0,0,
0,1arctan )(x x x
x x f 则)(x f 在0=x 处( )．（A ）不连续；（B ）连续但不可导；（C ）可导但导数不连续；
（D ）可导且导数连续．
6．()()()f x x a x ?=-，且lim ()0,()1x a
x a ??→==，则()f a '= ( )．（A ）0；
（B ）a ；
（C ）1；
（D ）不存在．
7．设)(x ?在a x =连续，)(||)(x a x x f ?-=，若)(x f 在a x =可导，
则)(x ?应满足
( )．
（A ）0)(>a ?；（B ）0)(
（D ）0)(=a ?．
8．若)(x f 在a x =处左，右导数)(),(a f a f +-''都存在，但)()(a f a f +-'≠'，则)(x f 在
a x =处( )．
（A ）不连续；
（B ）连续但不可导；
（C ）可导；
（D ）以上都不对．
二、填空题
1．曲线x x y e +=在0=x 处的切线方程是． 2．设)
(2
e x f
y =，其中)(x f 可微，则=y d ．
3．若)(x f 在0x x =处可导，并且3)(0='x f ，则
=--→)
()(lim
000
x f h x f h
h ．
4．设x a y -=，则=)(n y ．
5．设3)(x x f =，则=')2(f ，[]=')2(f ． 6．已知
x x f x 11d d =????????? ??，则=??
'21f ． 7．≤>=0,
00
,1sin )(x x x
x x f α
)0(>α，则当α 时，)(x f 在0=x 连续；当α 时，)(x f 在0=x 可导；当α 时，)(x f '在0=x 连续．
8．设函数()y f x =在点0x 可导，且则0()0f x '≠，则0d lim x y y
x
→?-=? ．
三、计算题
1．设)ln(22a x x xa y x +++=，)1,0(≠>a a ，求0='x y ．
2．设241ln 2arctan 2x x x y +-=，求y ''．
3．设x x y x
sin e 1=，求y '．
4．设)(x f ''存在，)(ln x f y =，求22d d x
y
．
5．设()y f x =由方程e 1y
y x -=所确定，求22
d d x y
x
=．
6．已知)(x f 在1=x 处具有连续的导数，且2)1(='f ，求)(cos d d lim
0x f x
x +
→．
四、证明题
设函数)(x f 对任何实数b a ,有)()()(b f a f b a f ?=+，且1)0(='f ，试证：)()(x f x f ='．
第四次作业
学院班级姓名学号
一、单项选择题
1．下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( )．（A ）]1,1[|,|-=x y ；（B ）],0[,sin πx y =；（C ）]e ,1[,ln x y =；（D ）]1,0[,arctan x y =． 2．)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f <，则( )．
（A ）必存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξf ；（B ）不存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξf ；（C ）必存在),(b a ∈ξ，使0)(>'ξf ；（D ）必存在),(b a ∈ξ，使0)(<'ξf ．
3．设2)
e 1()21ln()
cos 1(tan lim 2
=-+--+-→x x d x c x b x a ，其中022≠+c a ，则必有( )．（A ）d b 4=；（B ）d b 4-=；（C ）c a 4=；（D ）c a 4-=．
4．=??
-→x x x x 1sin 1
cot lim 0
( )．（A ）3
1
；（B ）61；（C ）121；（D ）0．
5．下列各极限都存在，能用洛必达法则求的是( )．
（A ）x
x x x sin 1
sin
lim
20
→；
（B ）x
x x
x x sin cos lim
+++∞→；
（C ）x
x x arccot 2arctan lim π
-
+∞
→；
（D ）x
x x
x x --+∞→+-e e e e lim ．
二、填空题
1．设)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则方程0)(='x f 的实根个数为个，它们分别在区间．
2．()x
x x 11lim ++∞
→= ．
3．已知111e lim
2
=----→x
b ax x x ，则=a ，=b ．
4．当1≥x 时，≡+-x
x 1
arcsin
1arctan
2 ． 5．2()ln(1)f x x x =+，则()(0)n f = ，(2)n >．
三、计算题
1．利用泰勒公式求极限 6
2
02c o s 2e e lim x x x x x x --+-→．
2．求)
cos 1(sin e e e e 2e lim 2230x x x x x
x x x x x -++--→．
3．求lim n
n n
→∞
．
四、证明题
1．证明：|
||
arctan
arctan
|a
b
a
b-
≤
-．
2．)(x f 为],[b a 上正值连续函数，在),(b a 内可导，则至少存在一点),(b a c ∈，使得)()
()
()()(ln
a b c f c f a f b f -'=．
3．)(x f 在[0,3]上连续，在(0, 3)内可导，(0)1,(1)(2)(3)3f f f f =++=．证明至少存在一点(0,3)ξ∈，使得()0f ξ'=．
第五次作业
学院班级姓名学号
一、单项选择题
1．设))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点，则在该点处( )．（A ）0)(0=''x f ；（B ）曲线)(x f y =必有切线；（C ）0)(0='x f ；（D ）曲线)(x f y =可能没有切线． 2．曲线
≠>-≤<<=2,1,2
ln 10,
e 0
,e 1x x x x
x x y x x 的垂直渐近线是( )．（A ）0,2==x x ；（B ）2=x ；（C ）1,2==x x ；（D ）1,0==x x ． 3．设)(x f 在[0, 1]上有二阶导数，且0)(>''x f ，则下列不等式中正确的是( )．（A ）)0()1()0()1(f f f f ->'>'；（B ）)0()0()1()1(f f f f '>->'；（C ）)0()1()0()1(f f f f '>'>-；（D ）)0()1()0()1(f f f f '>->'．
4．)(x f 二阶可导 0)(>'x f ，()0f x ''<，则在点0x 处，当0x ?>时，有（）．
（A ）d 0y y ?<<；（B ）0y y >?>d ；（C ）d 0y y ?>>；（D ）d 0y y
5．设)(x f 有二阶连续的导数，且0)0(='f ，1)
(lim 0=''→x
x f x ，则( )．
（A ）)0(f 是)(x f 的极大值；（B ）)0(f 是)(x f 的极小值；（C ）))0(,0(f 是)(x f y =的拐点；（D ）C B A ,,都不对．6．)(x f 在a x =的某邻域内连续，且1)()
()(lim
2
0-=--→a x a f x f x ，则)(x f 在a x =处( )．
（A ）不可导；（B ）可导，且0)(≠'a f ；（C ）取得极小值；（D ）取得极大值．二、填空题
1．x x x f -+=1)(的单调减少区间是．
2．0)(0='x f 是可微函数)(x f 在0x 取得极值的条件．
3．函数|e |x x y -=的极小值点为，极小值为，极大值
4．函数c bx ax x y +++=23的图形上有一拐点)1,1(-，且在点0=x 处取极大值1，则=a ，=b ，=c ．
5．曲线)
1)(1()
1sin(-+-=x x x y 的水平渐近线为，铅直渐近线为．
-=-=)cos 1()
sin (t a y t t a x )0(>a 在π=t 处的曲率为．
三、计算题
1．求函数23
()(2)(2)f x x x =-+的单调区间和极值．
2．求函数2
2e )(x x x f -=)40(≤≤x 的最大值，最小值，凹凸区间和拐点．
3．从南到北的铁路干线经过甲，乙两城，两个城市相距15(km)，位于乙城正西2(km)处有一工厂，现要把货物从甲城运往工厂，铁路运费为3元/km ，公路运费为5元/km ．为使货物从甲城运往工厂的运费最省，应该从铁路干线的何处修建一条公路到工厂？
四、证明题
证明：当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++．
阶段测试题
学院班级姓名学号
一、单项选择题（每小题3分，共24分）1．以下计算（）正确．（A ）sin lim
1x x
x
→∞=
（B ）sin lim
1x x
x
π→=
（C ）1
lim sin
1x x x
→∞
=
lim sin
0x x x
→∞
= 2．设0
lim (),lim (),lim ()x x x x x x f x g x h x A →→→=+∞=+∞=，则下列命题不正确的是（）
（A ）[]0
lim ()()x x f x g x →+=+∞
（B ）[]0
lim ()()x x f x h x →?=∞
（C ）[]0
lim ()()x x f x h x →+=+∞
（D ）0
lim ()()x x f x g x →?=+∞
3．0x +→时，（）中两个函数为等价无穷小（A ）1cos x -与2x
（B ）x x +与4x （C ）2e 1x -与ln(1)x +
（D ）2x x +与2arctan x
4．0x =为（）中函数的可去间断点
（A ）31arctan ,0
()0,0x x f x x
x ?
≠?=??=? （B ）31()arctan
f x x = （C ）()||
x f x x =
（D ）1||
1()1e
x f x =
+
5．下列命题正确的是（）
（A ）若()f x 在0x 连续，则|()|f x 在0x 连续．（B ）若|()|f x 在0x 连续，则()f x 在0x 连续．（C ）若()f x 在0x 不连续，则|()|f x 在0x 不连续．（D ）若|()|f x 在0x 不连续，则()f x 在0x 可能连续． 6．设(ln )y xf x =，()f u 可微，则d y =（）
（A ）[(ln )(ln )]d f x xf x x + （B ）
1
(ln )d f x x x
' （C ）[(ln )(ln )]dln xf x xf x x '+ （D ）[(ln )(ln )]d(ln )f x f x x '+
7．下列命题正确的是（）
（A ）如()f x '在0x 连续，则必有00lim ()lim ()x x x x f x f x →→''=
（B ）如()f x 可导，则0
0()lim ()x x f x f x →''=
（C ）如0()f x '不存在，则曲线()y f x =在0x x =必无切线（D ）如0()f x '不存在，则曲线()y f x =在0x x =可能有切线 8．设()f x 处处可导，则（）（A ）当-∞=-∞
→)(lim x f x 时，必有
-∞='-∞
→)(lim x f x
（B ）当-∞='-∞
→)(lim x f x 时，必有
-∞=-∞
→)(lim x f x
（C ）当+∞=+∞
→)(lim x f x 时，必有
+∞='+∞
→)(lim x f x
（D ）当+∞='+∞
→)(lim x f x 时，必有
+∞=+∞
→)(lim x f x
二、填空题（每小题3分，共21分） 1．201
3sin cos
lim
(1cos )ln(1)
x x x x x x →+=++ ． 2．设)2
0(e
2sin π
<
<=x y x
，则=y d x 2sin d ．
3．函数23()(2)||f x x x x x =---不可导点的个数是． 4．()f x 在0x =可导，则
=--→x
x f x f x )
()(lim
__________．
5．若00()()f x x f x +?-与21x ?-为当0x ?→时的等价无穷小，则0()f x '=______．
6．3214
lim 1
x x ax x x →---++有极限l ，则a =________，l =_________．
7．()lim sin 1sin x x +-=________________．。