高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系
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故 tan ������
1 sin2������
-1
=
tan
������
1-sin2������ sin2������
=
tan
������
cos������ sin������
=
sin������ cos������
·-scions������������
=
−1.
(2)证法一:sin2α+cos2α=1⇒1-cos2α=sin2α
sin������ 1 + cos������ ∴ 1-cos������ = sin������ .
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型四 已知 tan α 的值求其他代数式的值
【例4】 已知tan α=7,求下列各式的值.
(1)
sin������+cos������ 2sin������-cos������
则 sin α=−
1-cos2 ������
=
−
15 17
,
tan
������
=
sin������ cos������
=
185.
反思已知cos α(或sin α)求tan α时,先利用平方关系求出sin α(或 cos α),再利用商关系求出tan α.注意在求sin α(或cos α)时,往往需分 类讨论α所在的象限.
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统 一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的有以下几种:
(1)直接法——从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比 较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)综合法——由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到 所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.
−
1+cos������ sin������
sin2������-(1 + cos������)(1-cos������)
=
(1-cos������)sin������
sin2������-(1-cos2������) sin2������-sin2������ = (1-cos������)sin������ = (1-cos������)sin������ = 0,
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【变式训练 3】 (1)化简 tan ������
1 sin2
������
-1,
其中������是第二象限角;
(2)求证:
sin������ 1-cos������
=
1+sicno������s������.
(1)解:因为 α 是第二象限角,
所以 sin α>0,cos α<0.
.
答案:1
知识重难点
三角函数式的化简与证明方法 剖析:三角函数式的化简是将三角函数式化为最简单的形式,其
基本要求是,尽量减少角的种数,尽量减少三角函数的种数,尽量化 为同角且同名的三角函数等.三角函数式的化简实质上是一种不指 定答案的恒等变形,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它 不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式,而且还需要熟悉和灵活 运用这些公式的等价形式,同时这类问题还具有较强的综合性,对 其他非三角知识的运用也具有较高的要求.三角函数恒等式的证明 是一种指定答案的恒等变形,与三角函数式的化简相比要简单一些.
tan2������ + tan������ + 3 49 + 7 + 3 59 = tan2������ + 1 = 49 + 1 = 50.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
反思1.已知tan α=m,求关于sin α,cos α的齐次式的值的问题时,需注
意以下几点:
(1)一定是关于sin α,cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;
的分式,再将分母 1 变形为 sin2α+cos2α,转化为
������sin2������+������sin������cos������+������cos2������ sin2������+cos2������
,
再进行求解.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【变式训练 4】 设 tan α=2.求下列各式的值:
高中数学必修四
第一章 三角函数
1.2.2 同角三角函数的基本关系
教学目标
1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,
sin������ cos������
=
tan
x;
掌握这两个基本关系的推导.
2.会用以上两个基本关系进行化简、求值和证明.
知识梳理
同角三角函数的基本关系
(1)关系式:
sin2������ + cos2������ = 1,
解:由题意,得
sin������ cos������
=
3,
解得
sin������
=
3 10 10
,
或
sin������
=
-
3 10 10
,
cos������ =
10 10
cos������
=
-
10 10
.
反思已知 tan α 求 sin α 和 cos α 时,通常解方程组
①平方关系:sin2α+cos2α=1.
②商关系:
sin������ cos������
=
tan
������
������
≠
������π
+
π 2
,������∈Z
.
(2)文字叙述:同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1, 同一个
角 α 的正弦、余弦的商等于角 α 的正切.
名师点拨 1.对于同角三角函数的基本关系的理解,应注意两个
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【变式训练 1】
若
sin
α=−
4 5
,
求
cos
������,
tan
������的值.
解:∵sin
α=−
4 5
<
0,
∴α 是第三或第四象限角.
当 α 是第三象限角时,
cos α=−
1-sin2������ = −
1-
4
-5
2
= − 35,
tan
α=
sin������ cos������
⇒(1-cos α)(1+cos α)=sin αsin α ⇒1s-cino���s��������� = 1+sicno������s������.
cos2������ sin2������
=
sin������ cos������
·
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
证法二:
sin������ 1-cos������
������+������sin������cos������+������cos2������ ������+������sin������cos������+������cos2������
的分式,
直
接
将
分
子
、
分母同时除以 cos α 或 cos2α,将正弦、余弦转化为正切,从而求值.
3.形如 asin2α+bsin αcos α+ccos2α 的式子,可先将其看成分母为 1
(2)因为cos α≠0,所以可用cosnα(n∈N*)去除原式分子、分母的各项,
这样可以将原式化为关于tan α的表达式,再将tan α的值代入,从而求
值.
2.
形
如
������sin������+������cos������ ������sin������+������cos������
或
������sin2 ������sin2
解:由
tan
α=
4 3
,
得sin
α=
4 3
cos
α.
∵sin2α+cos2α=1,
∴
16 9
cos2������
+
cos2������
=
1, 即cos2α=
295.
又
α
是第三象限角,∴cos
α=−
3 5
,
sin
������
=
4 3
cos
α=−
45.
题型一
题型二 题型三
题型三
题型四 题型五
证明三角恒等式
sin������+cos������ 2sin������-cos������
=
sin������+cos������ cos������
2sin������-cos������
=
tan������+1 2tan������-1
=
7+1 2×7-1
=
183.
cos������
(2)sin2α+sin αcos α+3cos2α
第三象限,再分象限讨论.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
解:由
cos
α=−
8 17
<
0,
知α
是第二或第三象限角.
若 α 是第二象限角,
则 sin α=
1-cos2������ =
1-
-
8 17
2
= 1157,
tan
α=
sin������ cos������
=
15 17
-187
=
−
15 8
;
若 α 是第三象限角,
(3)中间量法——证明等式左右两边都等于同一个式子,其依据是 等于同一个量的两个量相等,即“若a=c,b=c,则a=b”,它可由等量关 系的传递性推出.
(4)分析法——即从结论出发,逐步推向已知条件,其证明过程的 书写格式为“要证明……,只需……”,只要所需的条件都已经具备, 则结论就成立.
典型例题
=
sin2������
+ sin������cos������ + 3cos2������ sin2������ + cos2������
=
sin2������
+ sin������cos������ + 3cos2������
cos2������ sin2������ + cos2������
cos2������
【例3】 求证:2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α+cos α)2. 证法一:左边=2-2sin α+2cos α-2sin αcos α =1+sin2α+cos2α-2sin αcos α+2(cos α-sin α) =1+2(cos α-sin α)+(cos α-sin α)2 =(1-sin α+cos α)2=右边. 证法二:左边=2-2sin α+2cos α-2sin αcos α, 右边=1+sin2α+cos2α-2sin α+2cos α-2sin αcos α=2-2sin α+2cos α-
2sin αcos α. 故左边=右边. 证法三:令1-sin α=x,cos α=y, 则(x-1)2+y2=1,即x2+y2=2x. 故左边=2x(1+y)=2x+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2=右边.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
反思证明三角恒等式时,若左烦右简,选择从左向右推证;若左简 右烦,选择从右向左推证;若两边都很烦琐,则选择两边同时化简,得 到同一个式子.
方面:一是“角相同”,如
π 3
与
π 3
,
4������与4α,5β+
π 7
与5β+
π 数有意义的前提下)关系式都成立.
2.根据问题的需要,应注意同角三角函数基本关系式的变形和
逆用.如基本关系式有如下的变形形式:sin2α=1-cos2α,cos2α=1-
sin2α,1=sin2α+cos2α;sin
sin������ cos������
=
tan������,
得sin α 和 cos α 的值.
sin2������ + cos2������ = 1
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【变式训练 2】
已知
tan
α=
4 3
,
且������是第三象限角,
求 sin ������, cos ������的值.
=
−
4 5
×
-
5 3
=
4 3
;
当 α 是第四象限角时,
cos
α=
3 5
,
tan
α=−
43.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型二 已知 tan α,求 sin α 和 cos α
【例 2】 已知 tan α=3,求 sin α 和 cos α 的值.
分析:利用平方关系和商关系,列方程组解得 sin α 和 cos α 的值.
;
(2)sin2α+sin αcos α+3cos2α.
分析:对于(1),可以将分子和分母同时除以cos α,则分子和分母中
都只含有tan α,再将tan α=7代入;对于(2),可将分母看成是
sin2α+cos2α,将分子和分母同时除以cos2α.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
解:(1)
题型一 已知 cos α(或 sin α),求 tan α 和 sin α(cos α)
【例 1】
已知
cos
α=−
8 17
,
求
sin
������
,
tan
������的值.
分析:先利用平方关系求出 sin α 的值,再利用商的关系求出 tan
α 的值.在求 sin α 的值时,先由余弦值为负确定角 α 的终边在第二或
α=tan
α·cos
α,cos
α=
sin������ tan������
;
1
±
2sin
αcos
α=(sin α±cos α)2.
【做一做
1】
已知
sin
α=
7 8
,
cos
������
=
15 8
,
则
tan
������等于(
)
A.
7 8
B.
15 8
C.
15 7
D.
7 15 15
答案:D
【做一做 2】 sin22 017°+cos22 017°=