初三复习讲义——数与式

辅导讲义
年 级： 初三 辅导科目： 数学
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课 题 数与式 授课时间： 备课时间：
教学目标
复习回顾有关代数式的知识点，练习之。

重点难点 分式、检验、因式分解。

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教学内容
因式分解：
知识点一 因式分解的定义
把一个多项式化成 的 的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式 .
注意： (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形. (2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验. 考核要求：(1)知道因式分解的意义和它与整式乘法的区别；(2)会鉴别一个式子的变形过程是因式分解还是整式乘法.
例1：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( ).
A 、2222)1(xy y x x xy -=-；
B 、)3)(3(92-+=-x x x ；
C 、2
2
2
)1)(1(1y x x y x ++-=+-； D 、c b a x c bx ax ++=++)(. 解析：根据因式分解的定义可知选择 B 选项 知识点二 因式分解的基本方法
提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系数为1的十字相乘法
考核要求：掌握提取公因式法、分组分解法和二次项系数为1时的十字相乘法等因式分解的基本方法. 知识点三
公因式：一个多项式各项都含有的 ,叫做这个多项式的公因式.[来源:学,科,提公因式法：把一个多项式中的 提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.
例2： (1)y x x 2
25-的公因式为 ； (2)分解因式： 24x x -= ．
解析：根据公因式的定义可知(1)的答案为：2x ，(2)的答案为：)4(-x x ． 知识点四 分组分解法
利用 来分解因式的方法叫做分组分解法.
常见形式为am ＋ an ＋ bm ＋ bn 可以分解为 .
注意：如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．
例3：把bc ac ab a -+-2分解因式．
解析：如果我们把前两项、后两项分成两组，这两组分别提取公因式a 和c 后，另一个因式正好都是(a －b)，它们就可以继续分解到底．
原式＝(a 2－ab)－(ac －bc) ＝a(a －b)－c(a －b) =(a －b) (a ＋c)． 同步测试：
1．把多项式bx by ay ax -+-5102分解因式为 .
2．把多项式m mn n m 552
--+分解因式为 .
知识点五 公式法
分解因式的平方差公式：2
2b a -= .
分解因式的完全平方公式：2
22b ab a +±= .
注意：运用公式法必须注意习题是否满足共识特征. 例4：(1)下列多项式，不能运用平方差公式分解的是( )
A 、42+-m ；
B 、22y x -- ；
C 、12
2-y x ； D 、()()2
2a m a m +--.
(2)下列各式可以用完全平方公式分解因式的是( )
A 、2
242b ab a +- ； B 、4
142+
-m m ； C 、269y y +- ； D 、222y xy x --. 解析：根据公式法中平方差和完全平方公式的特征，我们会发现答案选项分别为 (1)B(2)C . 同步测试：(对应作业1－2道、简单题为主)
3．分解因式：=-3
2a ab ． 4．分解因式：x 2－2x ＋1 = ．
知识点五 十字相乘法
042≥-ac b 时，ax 2＋bx ＋c= ．
注意：(1)正确的十字相乘分解思路为“看两端，凑中间．” (2)考察时更多是考察二次向系数为1的情况：
ab x b a x +++)(2=))((b x a x ++．
例4：分解因式3722
+-x x ．
解析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．
所以答案为3722
+-x x =)12)(3(--x x ．
随堂检测
1. 下列分解因式正确的是( )
A 、)1(222--=--m n n n nm n
B 、)32(322---=-+-a ab b b ab ab
C 、2)()()(y x y x y y x x -=---
D 、2)1(22--=--a a a a 2. 下列各式能用完全平方公式分解因式的是( ) A 、4x 2＋1
B 、4x 2－4x －1
C 、x 2＋xy ＋y 2
D 、x 2－4x ＋4
3. 因式分解：x x 2172- = ．
4. 因式分解：1-+-b a ab = ．
5. 因式分解：=-92x ．
6. 因式分解：=++442x x ．
7. 因式分解：=--542x x ．
8. 若正方形的面积是 )0,0(692
2>>++y x y xy x ，则它的边长是
9．已知46==+xy y x ，，则22xy y x +的值为_____________ 分式：
知识点一：分式的有关概念
①整式A 除以整式B (B ≠0)，可以表示成A A
B E A 的形式，如果除式B 中含有 ，那么 称为分式．
②在分式A A
B E A 中，当 时，分式无意义；当 时，分式有意义；当 时，分式的值为零．
例1：(1)(2009年清远)当x = 时，分式
1
2
x -无意义． 【解析】当分母为零时，分式无意义，由x －2＝0得x ＝2．
(2)(2009年天津市)若分式222
21
x x x x --++的值为0，则x 的值等于 ．
【解析】当分式的分子值为0，而分母不为0时，分式的值为0．
由2220210x x x x ⎧--=⎪⎨++≠⎪⎩
解得x ＝2．
同步测试：
1．(1)(2009年黔东南州)当x 时，
1
1
+x 有意义． (2)(2009湖北宜昌)当x = 时，分式23
x －没有意义．
2．(2009肇庆)若分式
3
3
x x -+的值为零，则x 的值是( ) A ．3 B ．3- C ．3± D ．0
知识点二：分式的基本性质
③ 分式的基本性质：分式的分子与分母都 同一个不等于零的 ，分式的值不变．
④ 约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的 约去，叫做分式的约分．约分的关键是确定分式的分子、分母的 ．
⑤ 一个分式的分子与分母没有 时，叫做最简分式． 例2：(2009年枣庄市)15．a 、b 为实数，且ab =1，设P =
11a b a b +++，Q =11
11
a b +++， 则P Q (填“＞”、“＜”或“＝”)． 【解析】利用ab =1，11
1111a b ab ab P Q a b ab b ab a b a
=
+=+=+=++++++． 例3：(2009年滨州)化简：22
22
444m mn n m n
-+-= ． 【解析】先将分式的分子与分母进行因式分解，然后约去它们的公因式．
22222
44(2)24(2)(2)2m mn n m n m n m n m n m n m n
-+--==-+-+． 【答案】22m n
m n -+． 同步测试：
1. (2009湖北省荆门市)计算2
2()ab a b
-的结果是( )
A ．a
B ．b
C ．1
D ．－b
2. (2009年淄博市)化简22
2a b a ab
-+的结果为( )
A ．b a -
B ．a b a -
C ．a b a
+
D ．b -
知识点三：分式的加减法 同步测试：
1．(2009年新疆乌鲁木齐市)化简：22
4442
x x x
x x ++-=-- ． 知识点四：分式的混合运算
⑨ 分式乘分式，用分子的积作为 的分子，分母的积作为积的 ． ⑩ 分式除以分式，把除式的 、 颠倒位置后与被除式相乘．
例4：(2009年上海市)19．计算：22221(1)121
a a a a a a +-÷+---+． 【解答】解：原式=
()()()()211111112--+-+⋅-+a a a a a a =1112-+--a a a =112---a a
=1- 【点评】进行分式的混合运算时，按照运算顺序分步计算，各部分的计算按各自相应的法则进行． 有时利用乘法分配律改变运算顺序，可使运算变得简便些，如：
(2009 年佛山市)化简：22
11xy
x y x y x y
⎛⎫+÷
⎪-+-⎝⎭． 解：原式＝221122
x y x y x y x y x y x x y x y xy xy xy xy xy y ⎛⎫-+-++-+⋅
=+== ⎪-+⎝⎭
=． 同步测试：
1．(2009年南充)化简：22
1211
241
x x x x x x --+÷++--．
2．(2009年清远)化简：2226926
93x x x x x x
-+-÷-+．
知识点五：分式的化简求值 例5：(2009泰安)先化简、再求值：
33)22
5
(423-=---÷--a a a a a ，其中．
【解析】括号内分式的加减法要注意整体通分，并注意符号的处理． 解：原式=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-÷--)2()2)(2(5)2(23
a a a a a =2
92)2(23a
a a a --∙-- =)3)(3(2)2(23a a a a a -+-∙-- =)3(21+-a 当6
3
)
333(2133-
=+--
=-=
时，原式a ． 【点评】这类题一般来说都是先化简，再代入字母的数值计算．也有一些需要对条件进行化简，再代入求值的(如随堂检测5)，或者整体代入，如：
(2009年崇左)已知2
20x -=，求代数式22
2(1)11
x x x x -+-+的值． 解： 原式=22(1)(1)(1)1x x x x x -+
-++=2111
x x x x -+++=211x x x +-+， 220x -= ，2
2x ∴=，∴原式211x x +-=+＝1． 同步测试：
1.(2009年桂林市、百色市)(本题满分6分)先化简，再求值：
2211()22x y
x y x x y x
+--++，其中23x y ==，． 2. (2009年牡丹江市)先化简：121a a a a a --⎛⎫
÷- ⎪⎝⎭
，
并任选一个你喜欢的数a 代入求值． 随堂检测
1. (2009年广西梧州)在函数2
1
-=x y 中，自变量x 的取值范围是( ) A ．2-≠x
B ．2≠x
C ．x ≤2
D ．x ≥2
2. (2009临沂)化简22
422b a a b b a
+--的结果是( ) A ．2a b --
B ．2b a -
C ．2a b -
D ．2b a +
3. (2009年包头)化简22424422
x x x
x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪
-++-⎝⎭，其结果是( ) A ．82
x -
- B ．
82
x -
C ．82
x -
+ D ．
82
x + 4. (2009年温州)某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树口棵．实际每小时植树的棵数是原计划的1．2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务(用含口的代数式表示)．
5. (2009烟台市)设0a b >>，22
60a b ab +-=，则
a b
b a
+-的值等于 ． 6. (2009年江苏省)计算：2121a a a a a -+⎛
⎫-÷ ⎪⎝⎭
．
7. (2009年常德市)化简：35
(2)482
y y y y -÷+---．
8. (2009年日照)化简：y
x y
y xy x y x y x y x +-
++-÷+-29632222．
9. (2009恩施市)求代数式的值：22224242x x x x x x --⎛⎫
÷-- ⎪-+⎝⎭
，其中22x =+．
10．(09湖南怀化)先化简，再求值：
20()tan 60a ab
a b b a b
-⨯--⋅- ，其中1,3a b ==．
数的开方及二次根式 一、中考题型例析
知识点一：．平方根和立方根的考点平方根与算术平方根 例1．(09年哈尔滨)36的算术平方根是( )．
(A)6 (B)±6 (C)6 (D)±6
【答案】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即是这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，而36的平方根为±6，所以算术平方根为6，选择A 例1．(09年内蒙古包头)27的立方根是( ) A ．3
B ．3-
C ．9
D ．9-
【答案】A
【解析】本题考查立方根的定义，求27的立方根就是求一个数，这个数的立方是27；而3
327=，所以27的立方
根是3。

练习
1．(09年潍坊)一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是( ) A ．1a +
B ．2
1a +
C ．
21a +
D ．1a +
2．(2009年中山市)4的算术平方根是( )
A ．2±
B ．2
C ．2±
D ．2 【答案】B
2．(2009年包头)27的立方根是( ) A ．3
B ．3-
C ．9
D ．9-
【答案】B B A
知识点二：重点：掌握二次根式的概念 难点：二次根式有意义的条件 式子a (a ≥0)叫做二次根式 例1．(2009年内蒙古包头)函数2y x =+中，自变量x 的取值范围是( )
A ．2x >-
B ．2x -≥
C ．2x ≠-
D ．2x -≤
【答案】B
【解析】本题考查含二次根式的函数中中自变量的取值范围，由于二次根式a 中a 的范围是0a ≥；∴2
y x =+中x 的范围由20x +≥得2x ≥-。

例2．(2009年湖北省荆门市)若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
解析：本题考查二次根式的意义，由题意可知1x =，1y =-，∴x －y=2，故选C ． 练习 1．(2009年武汉)函数21y x =-中自变量x 的取值范围是( )
A ．
12x -
≥
B ．
12x ≥
C ．
12x -
≤
D ．
12x ≤
2．(2009年甘肃庆阳)使1
1x -在实数范围内有意义的x 应满足的条件是 ． 3．(09湖南怀化)若()2
2340a b c -+-+-=，则=
+-c b a ．
4．(08牡丹江市)函数31x
y x -=
-中，自变量x 的取值范围是 ．
【答案】B
x ＞1 3 3x ≤且1x ≠
知识点三：最简二次根式 重点：掌握最简二次根式的条件 难点：正确分清是否为最简二次根式
例1．(2009贺州)下列根式中不是最简二次根式的是( )．
A ．2
B ．6
C ．8
D ．10
分析 同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不含根号)；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．【答案】C
练习1．(2009年黄石市)下列根式中，不是最简二次根式的是( )
A ．7
B ．3
C ．1
2
D ．2
2.在根式1)
222;2)
;3);4)275x
a b x xy abc +-，最简二次根式是( )
A ．1) 2)
B ．3) 4)
C ．1) 3)
D ．1) 4) 【答案】C C
知识点四：二次根式的性质 重点：掌握二次根式的性质
难点：理解和熟练运用二次根式的性质
①(a )2=a(a ≥0)；0(0)a a ≥≥ ②2
a =│a │=
(0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪
=⎨⎪-<⎩
；
例1．(2009山西太原市)计算
()2
2
的结果等于 ．
解析：本题考查
()2
a 的化简，()
()
2
0a a a =≥，所以
()
2
22
=，故填2.
例2．(2009年长沙)已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2
|1|a a -+的结果为( )
A ．1
B ．1-
C ．12a -
D ．21a -
答案：A
练习1．(2009年济宁市)已知a 为实数，那么2
a -等于( ) A.
a B. a - C. － 1 D. 0
2．(2009山西太原市)计算
()2
2的结果等于 ．
3．(2009年上海市)8．方程11x -=的根是 ． 【答案】 D 2 2=x 知识点五：二次根式的运算 重点：掌握二次根式的运算法则 难点：熟练进行二次根式的运算
(1)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
(2)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
ab =a ·b (a ≥0，b ≥0)；
b b
a a =(
b ≥0，a>0)．
(3)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适
用于二次根式的运算．
例1．(2009襄樊市)计算：
118232+
-= ． 解析：本题考查二次根式的运算，118232+
-=1122322333+-=+，故填1
233+。

随堂检测
1．(2009 年佛山市)8化简的结果是( )
Ａ．2 Ｂ．22 C ．22- D ．22±
1-
1
0 a
2．(2009年株洲市)若使二次根式2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 A ．2x ≥ B ．2x > C ．2x <
D ．2x ≤
3．(2009年凉山州)已知一个正数的平方根是32x -和56x +，则这个数是 ． 4．(2009年崇左)当x ≤0时，化简
2
1x x --的结果是 ．
5．(2009年上海市)7．分母有理化：15=
．
6．(2009年黄冈市)9．当x=________时，二次根式4x -有意义． 7．(2009年上海市)8．方程11x -=的根是 ．
8．(2009 黑龙江大兴安岭)计算：=-2712 ．
9．(2009年肇庆市)计算：1
1|2|sin 45(2009)2-⎛⎫
-+-+ ⎪⎝⎭°
10．(2009年湖北荆州)先化简，在求值：2232
11
21a a a a a a -+÷-+-，其中3a =
【答案】1．B 2．A 3．12 4．1 5．55
6．4≤x 7．2=x 8．3- 9．1 10．3
随堂检测
1．(2009年莆田)要使代数式x 有意义，则x 的取值范围是( )
A ．x ≥0
B ．0x <
C ．0x ≠
D ．0x >] 2．(2009年黄冈市)1．8的立方根为( ) A ．2
B ．±2
C ．4
D ．±4
3．(2009年贵州省黔东南州)2x =___________
4．(2009威海)计算10
(23)(21)----的结果是_________．
5．(2009年嘉兴市)当2-=x 时，代数式1352
--x x 的值是 ．
6．已知实数x ，y 满足x2＋y2－4x －2y ＋5=0，则32x y
y x
+-的值为______
7．(2009龙岩)计算：
9(2009)|2|2sin 30π--+-+︒
8.计算：
1
21
-＋3(3－6)＋8。

【答案】1．A 2．A 3．|x| 4．－2 5．5 6．3＋227．5 8．4
专题体例：一.理解二次根式的概念和性质
例1. (2009年梅州市) 如果，则=_______.
解题思路：根据二次根式的概念，在a中，必须是非负数，即≥0，可以是单项式，也可以是多项式.所以由已知条件，得≥0且≥0.
解：由题意得≥0且≥0，∴x=3
2，=2，∴=5.
练习1. (2009年铁岭市)若互为相反数，则_______。

、
2.若
()2
2340
a b c
-+-+-=，
则=
+
-c
b
a．
3.化简：
2
1(3)
a a
-+-
的结果为( )
A、4—2a
B、0
C、2a—4
D、4
4．若
230
x y
++-=
，则
xy的值为( )
A．8-B．6-C．5D．6
5宁波市08若实数x y
，满足2
2(3)0
x y
++-=，则xy的值是
【答案】32004
3 C B 23
-
二.无理数大小比较
例1. (2009贺州)的整数部分是_________，小数部分是________。

解题思路：因为是无理数，即无限不循环小数，所以把分成整数部分a和小数部分b，其中a是小于且最靠近的整数，而，这样就可以从中先求出a，再求出b。

联系1．(2009年邵阳市)3最接近的整数是()
A．0 B．2 C．4 D．5
2．(2009年眉山)估算272
-的值( )
A．在1到2之间B．在2到3之间C．在3到4之间D．在4到5之间
3．(2009年济南)估计20的算术平方根的大小在( ) A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 【答案】B C D 三.二次根式的化简与计算
例1(2009威海)先化简，再求值：22
()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =--=-，．
分析 直接带入，其计算过程比较麻烦，可考虑将求值式子进行变形化简后，再对已知条件变形整体代入。

=
2222222
()()(2)3223a b a b a b a a ab b a ab b a ++-+-=+++---ab =． 当23a =--，32b =-时，
原式
22
(23)(32)(2)(3)1=---=--= 练习1．(2009年广州市)先化简，再求值：)6()3)(3(--+-a a a a ，其中
21
5+
=a
2．(2009辽宁朝阳)先化简，再求值：
2112x x x x x ⎛⎫
++÷- ⎪⎝⎭
，其中21x =+．
3(2008年南安市)
x x x x x x 1
)113(2-∙+--，其中x=22-. 【答案】65. 2 22
过关测试 一、选择题：
1.(2009年河北)在实数范围内，x 有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≥0 B ．x ≤0 C ．x ＞0 D ．x ＜0
2. 若
=3，则x 的取值范围是( )。

A. x=0
B. －1≤x ≤2
C. x ≥2
D. x ≤－1 3. (2009年广东省)4的算术平方根是( ) A ．2±
B ．2
C ．2±
D ．2
4.．(2009年安顺)下列计算正确的是：
A ．822-=
B ．321-=
C ．325+=
D ．236=
5. 使等式成立的实数a 的取值范围是( )。

A. a ≠3
B. a ≥，且a ≠3
C. a>3
D. a ≥
6. 下列各组二次根式(a>0)中，属于同类二次根式的是( )。

A. C.
7.(2009年长沙)已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2
|1|a a -+的结果为( )
A ．1
B ．1-
C ．12a -
D ．21a -
8. (2009临沂)计算1
2718123-
-的结果是( )
A ．1
B ．1-
C ．32-
D ．23-
9 ．下列运算正确的是(
)
A ．3
273-=
B ．0
(π 3.14)1-= C ．1
122-⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
D ．93=±
10．(2009年台湾)对于5678的值，下列关系式何者正确
(A) 55<5678<60 (B) 65<5678<70 (C) 75<5678<80 (D) 85<5678<90 。

二、填空题：
1. 已知a 、b 在数轴上的位置如图所示，
－│b －a │的化简结果是______。

2 (2009山西太原市)计算
()2
2的结果等于 ．
3. 已知m 是小于10的正整数，且可化为同类二次根式，m 可取的值有_______。

4. 如果xy=，x －y=5
－1，那么(x ＋1)(x －1)的值为________。

三、解答题
1. 2009年铁岭市)计算：0
12|32|(2π)+-+-．
1-
1
0 a
2.计算：(2009年新疆乌鲁木齐市)计算：131224823
3⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝⎭．
．
3(.如图所示，实数a ，b 在数轴上的位置，化简
222
()a b a b ---．
1
-1
b a O
4. (2009年广州市)先化简，再求值：)6()3)(3(--+-a a a a ，其中21
5+
=a。