最新高中数学北师大版选修2-1第二章3.3 《空间向量运算的坐标表示》ppt课件

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4．已知a＝(1，－5,6)，b＝(0,6,5)，则a与b ( )
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
解析：a·b＝0－30＋30＝0，∴a⊥b.
答案：A
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5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是DC的中点，求证： AD⊥D1F.
证明：建立空间直角坐标系如图，不妨设 正方体的棱长为 1，则有 D(0,0,0)，A(1,0,0)， D1(0,0,1)，F0，12，0. ∴ AD＝(－1,0,0)， D1F ＝0，12，－1. ∴ AD·D1F ＝(－1,0,0)·0，12，－1＝0. ∴AD⊥D1F.
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[一点通] 空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运 算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、 纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向 量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
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1．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－2,2)，c＝(－2,3，－1)，
那么向量a－b＋2c等于
2．利用空间向量的坐标可以解决向量的模、夹 角、向量的平行与垂直等问题．
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[例1] 已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,2,8)，求2a＋3b,3a－2b， a·b.
[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的 加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标 乘积的和．
[精解详析] 2a＋3b＝(6,10，－8)＋(6,6,24)＝(12,16,16)， 3a－2b＝(9,15，－12)－(4,4,16)＝(5,11，－28)， a·b＝3×2＋5×2－4×8＝－16.
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由 a∥b⇔1－1 x2＝－x3x＝x1＋－1x⇔1x1－＋－x1x2＝＝－－33，
⇔x＝2.
综上所述，当 x＝0 或 2 时，a∥b. (2)∵a⊥b⇔a·b＝0
⇔(1，x,1－x)·(1－x2，－3x，x＋1)＝0
⇔1－x2－3x2＋1－x2＝0，解得
x＝±
10 5.
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[例 3] (12 分)直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，CA＝CB＝1， ∠BCA＝90°，棱 AA1＝2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点．
2．空间向量的坐标运算，关键是要建立恰当的空间直 角坐标系，然后利用有关公式求解．要注意总结在长方体、 直三棱柱、正三棱柱、正四棱锥等特殊几何体中建立空间直 角坐标系的规律．
3．利用向量的坐标运算可证明向量的垂直与平行问题， 利用向量的夹角公式和距离公式可求解空间两条直线的夹角 和两点间距离的问题．
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(7)|a|＝ a·a＝ x12＋y12＋z21 ；
(8)cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2＋z1z2 x21＋y21＋z21 x22＋y22＋z22 ；
(9)若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则 AB＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
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1．空间向量的加、减、数乘的坐标运算仍是坐 标，数量积的运算是实数．
∴cos〈 BA1
，CB1
〉＝ BA1 ·CB1 | BA1 ||CB1
＝ |
1300.
(10 分)
(12 分)
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[一点通] 在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何 体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算， 可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
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7．已知空间三点，A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，求 AB与
(1)依题意，得 B(0,1,0)，N(1,0,1)， BN ＝(1，－1,1)，
(4 分)
∴|BN |＝ 3.
(6 分)
(2)依题意，得 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．
(8 分)
∴ BA1 ＝(1，－1,2)，CB1 ＝(0,1,2)，
(9 分)
∴ BA1 ·CB1 ＝3，|BA1 |＝ 6，|CB1 |＝ 5.
z＝2 5
x＝0， 或y＝－4 5，
z＝－2 5.
∴c＝(0,4 5，2 5)或(0，－4 5，－2 5).
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[例2] 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－ A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x， y，z轴建立空间直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求点 M的坐标．
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6．已知a＝(1，x,1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满 足下列条件时，实数x的值．
(1)a∥b；(2)a⊥b.
解：(1)①当x＝0时，a＝(1,0,1)，b＝(1,0,1)，a＝b，
∴x＝0，满足a∥b；
②当x＝1时，a＝(1,1,0)，b＝(0，－3,2)， 此时a不平行b，∴x≠1. ③当x≠0且x≠1时，
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[思路点拨] 写出A，B，C1的坐标，设出M的坐标， 利用条件BM⊥AC1及M在AC1上建立方程组，求解．
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[精解详析] 法一：设 M(x，y，z)，由图可知：A(a,0,0)，
B(a，a,0)，C1(0，a，a)，则 AC1 ＝(－a，a，a)， AM ＝(x－a，y，z)， BM ＝
(x－a，y－a，z)．
()
A．(0,1,2)
B．(4，－5,5)
C．(－4,8，－5)
D．(2，－5,4)
解析：a－b＋2c＝(1－1－2×2,0＋2＋6，－1－2－2)＝
(－4,8，－5)．
答案：C
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2．已知 A，B，C 三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)， (－2,2,3)，求 P 点坐标，使(1) OP ＝12( AB－ AC )； (2) AP＝12( AB－ AC )．
即 P 点坐标为(5，12，0)．
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3．已知向量a＝(1，－2,4)，求同时满足以下三个条件的 向量c：①a·c＝0；②|c|＝10；③c与向量b＝(1,0,0)垂直．
解：设 c＝(x，y，z)，
由三个条件得xx－2＋2yy2＋＋4zz2＝＝100，0， x＝0，
x＝0， 解得y＝4 5，
法二：设 AM ＝λ AC1 ＝(－aλ，aλ，aλ)， ∴ BM ＝ BA＋ AM ＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ)＝ (－aλ，aλ－a，aλ)．∵BM⊥AC1， ∴ BM ·AC1 ＝0 即 a2λ＋a2λ－a2＋a2λ＝0，解得 λ＝13， ∴ AM ＝－a3，a3，a3， DM ＝ DA＋ AM ＝23a，a3，a3. ∴M 点坐标(23a，a3，a3)．
理解 教材新知
§3
第
把握
二 3.3 热点考向
章
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
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3．3 空间向量运算的坐标表示
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2012 年 3 月，济青高速临沂段发生交通事故，一辆中型车严 重变形，驾驶员被困车内，消防官兵紧急破拆施救．为防止救援 造成的二次伤害，现从 3 个方向用力拉动驾驶室门，这 3 个力两 两垂直，其大小分别为|F1|＝300 N，|F2|＝200 N，|F3|＝200 3 N.
CA的夹角． 解： AB＝(－2，－1,3)，CA＝(－1,3，－2)，
| AB|＝ 4＋1＋9＝ 14，|CA|＝ 1＋9＋4＝ 14，
AB ·CA＝2－3－6＝－7，
∴cos〈 AB，CA〉＝|
AB·CA ＝ AB ||CA|
－7 14×
Байду номын сангаас
14＝－12.
∵〈 AB，CA〉∈[0，π]，∴〈 AB，CA〉＝23π.
cos〈
AB
，
AC
〉＝ |
AB ·AC AB|·| AC |
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＝
－14 14×2
－ ＝ 17 2
14， 17
sin〈 AB， AC 〉＝
1－1648＝
27 34.
∴S△ABC＝12| AB|·| AC |·sin〈 AB， AC 〉
＝12× 14×2 17× 2374＝3 21.
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1．空间向量加法、减法、数乘、数量积、平行、垂直、 夹角的坐标表示都类似于平面向量，要类比记忆与理解．
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[一点通] 用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题， 要注意以下两个等价关系的应用：
(1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，(b为非零向量)， 则a∥b⇔x1＝λx2，且y1＝λy2且z1＝λz2(λ∈R)．若b＝0时，必
有a∥b，必要时应对b是否为0进行讨论． (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
(1)求 BN 的长； (2)求 cos〈 BA1 ，CB1 〉的值． [思路点拨] CA，CB，CC1 两两垂直，可由此建立空间直 角坐标系，利用坐标运算求解向量的模及夹角．
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[精解详析] 以 C 为原点，以CA、CB、CC1 为 x
轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系． (2 分)
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8．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1， 5)，C(3,2，－5)．求△ABC的面积．
解：由已知得＝(1，－3,2)， AC ＝(2,0，－8)，
∴| AB|＝ 1＋9＋4＝ 14，
| AC |＝ 4＋0＋64＝2 17，
AB·AC ＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
解： AB＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)． (1) OP ＝12(6,3，－4)＝3，32，－2，则 P 点坐标为3，32，－2； (2)设 P 为(x，y，z)，则 AP ＝(x－2，y＋1，z－2) ＝12( AB－)＝(3，32，－2)，所以 x＝5，y＝12，z＝0，
∵ BM ⊥ AC1 ，∴ BM ·AC1 ＝0，
∴－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，即 x－y－z＝0.
①
又∵ AC1 ∥ AM ，∴x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa，
即 x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.
②
由①②得 x＝23a，y＝a3，z＝a3.∴M23a，a3，a3.
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问题 1：若以 F1、F2、F3 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的 正半轴建立空间直角坐标系，驾驶室门受到的力的坐标是什么？
提示：(300,200,200 3)． 问题2：驾驶室门受到的合力有多大？ 提示：|F|＝500 N.
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空间向量的坐标运算： 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)则： (1)a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) ； (2)a－b＝ (x1－x2，y1－y2，z1－z2) ； (3)λa＝ (λx1，λy1，λz1) ； (4)a·b＝ x1x2＋y1y2＋z1z2 ； (5)a∥b⇔a＝λb⇔ x1＝λx2 ， y1＝λy2 ， z1＝λz2 (λ∈R)； (6)a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 ；