2015年福建省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

专题：
图表型；算法和程序框图.
分析：
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i,S的值，当i=6时满足条件
i>5，退出循环，输出S的值为0.
解答：
解：模拟执行程序框图，可得
i=1,S=0
c兀•c
S=cos,i=2
2
jr
不满足条件i>5,S=cos——+cosn,i=3
2
jr<?jr
不满足条件i>5,S=cos +cosn+cos,i=4
••• |PF2|=9.
故选：B.
点评：
本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题.
4.（5分）（2015?福建）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社 区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万兀）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y（万兀）
6.2
7.5
8.0
2 2
不满足条件i>5,S=cos1+cosn+cos+cos2n,i=5
22
不满足条件i>5,S=cos1+cosn+cos ' +cos2n+cos ' =0-1+0+1+0=0,i=6
222
满足条件i>5，退出循环，输出S的值为0,
故选：C.
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i,S的
偶函数.
B.f（-x）=|sin（-x）|=|sinx|=f（x）,贝Uf（x）为偶函数.
C.y=cosx为偶函数.
D.f(-x)=e-e =-(e-e)=-f(x)，贝Vf(x)为奇函数，故选：D
点评：
本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键.
22
3.（5分）（2015?福建）若双曲线E:: =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲
平面向量及应用.
建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化1'—f1；=-(丄-1)-4(t-4)=17
t
-(_!+4t),由基本不等式可得.
可得A(0,0),B(丄，0),C(0,t),
t-4),
-'=-(-1)-4(t-4)=17-(+4t),
由基本不等式可得：+4t丝］—.-；=4,
17-(丄+4t)勻7—4=13,
解：I,m是两条不同的直线，m垂直于平面a,贝U“'丄m”可能“a也可能I?a,反
之，I“//a一定有“丄m”，
所以I,m是两条不同的直线，m垂直于平面a,则1'丄m"是l'// a'的必要而不充分
条件.
故选：B.
本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考 查.
2
&（5分）（2015?福建）若a,b是函数f（x）=x-px+q（p>0,q>0）的两个不同的零点， 且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值
（2）随机变量X的取值为：1,2,3,别求出对应的概率，即可求出分布列和期 望.
解答：解：（1）设 当天小王的该银行卡被锁定 ”的事件为A,
可看作是两个数差的绝对值运算，知道了这一点，验证就不是难事了.
三、解答题
16.（13分）（2015?福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该
银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行
卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若
2015
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试
（福建卷）数学（理工类）
234
1.（5分）（2015?福建）若集合A={i,i,i,i }（i是虚数单位），B={1，-1}，则A AB等于（）
A
{-1}
B
{1}
C
{1, -1}
D
考
占：
八、、♦
从而由校验方程组，得X2®X3®X6®X7=1，故k老；
7若k=6，贝y X1=1,X2=1,X3=0,X4=1,X5=1,X6=0,X7=0,
从而由校验方程组，得X2®X3®X6®X7=1，故k幻；
综上，k等于5.
故答案为：5.
点评：本题属新定义题，关键是弄懂新定义的含义或规则，事实上，本题中的运算符号 筑；
t
当且仅当=4t即t=叩寸取等号，
t2
点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题.
f' (x)>k>1,
.f (s)-f(O)
即>k>1,
)+1 >—!—*=—-—
k-1k-1k-1
故f(-)>一-—
k_1k1
所以f(')<•，一定出错,
k-1k-1
故选：C.
本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换 问题.
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11.（4分）（2015?福建）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于80.（用数字作答）
考点：二项式定理.
专题：计算题；二项式定理.
分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幕指数等于2,求得r的值，即可求
得展开式中的x2项的系数.
解答： 解：（x+2）5的展开式的通项公式为Tr+1= h?x5^r?2r,
其中xk（k=1,2,…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有 时会发生码元错误（即码元由0变为1,或者由1变为0）
已知某种二元码X1X2-X7的码元满足如下校验方程组：
IA1其中运算®定义为：0®0=0,0®1=1,1®0=1,1®1=0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用
虚数单位i及其性质；交集及其运算.
专
题：
集合；数系的扩充和复数.
分
析：
利用虚数单位i的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案.
解
答：
解：•••A={i,i2,i3,i4}={i，-1,-i,1},B={1，-1},••• A QB={i,-1,-i,1} A{1,-1}={1,-1}.
故选：C.
占
八、、
值是解题的关键，属于基础题.
7.（5分）（2015?福建）若I,m是两条不同的直线，m垂直于平面a,贝U“丄m”是f'// a'的
（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
必要条件、充分条件与充要条件的判断.
简易逻辑.
利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可.
评：
本题考查了交集及其运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题.
2. （5分）（2015?福建）下列函数为奇函数的是（）
A
y=Vx
B
y=|si nx|
C
y=cosx
D
x-x
y=e-e
考点：
函数奇偶性的判断；余弦函数的奇偶性.
专题：
函数的性质及应用.
分析：
根据函数奇偶性的定义进行判断即可.
解答：
解：A•函数的定义域为［0,+8）,定义域关于原点不对称，故A为非奇非
解答：
解：由已知，矩形的面积为4X（2-1）=4,
阴影部分的面积为J- /）妒（4x-专J）|送，
由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；;
故答案为：启.
12
点评：
本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的 面积，利用几何概型公式解答.
-x+6,
14（4分）（2015?福建）若函数（X）=]3+S
916
线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）
A11|B9C5D3
考点：
双曲线的简单性质.
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论.
解答：
2 2
解：由题意，双曲线E：- =1中a=3.
916
-|PF1|=3，二P在双曲线的左支上,
•••由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=6,
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程丁…十；，其中.,|| /「二：一.，据此估计，该社区一户
收入为15万元家庭年支出为（）
A 11.4万元B 11.8万元C 12.0万元D 12.2万元
考点：
线性回归方程.
专题：
概率与统计.
分析：
由题意可得，和•，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可.
解答：
占：
八、、♦
专计算题；解三角形.
题:
分
析:
解
答:
利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC•
占
八、、
评:
解：因为锐角△ABC的面积为：二，且AB=5,AC=8,
所以丄1•：,
所以sinA=—',
2
所以A=60°
所以cosA=,
2
所以BC=I［「-丁：•；：「•=7•
故答案为：7•
本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础.
5.（5分）（2015?福建）若变量x,y满足约束条件则z=2x-y的最小值等于
s-2y+2^0
A __5
考点：
简单线性规划.
专题：
不等式的解法及应用.
分析：
由约束条件作出可行域， 由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案.
解答：
解：由约束条件“
x-y<Ci作出可行域如图，
X-2y^2>0
L
解：由题意可得.=(8.2+8.6+10.0+11.3+11.9)=10,
5
_1
=(6.2+7.5+8.0+8.5+9.8)=8,
5
代入回归方程可得；=8-0.76 X10=0.4,
•回归方程为・=0.76x+0.4,
把x=15代入方程可得y=0.76 X15+0.4=11.8,
故选：B.
点评：
本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题.
等于（）
A
6
B
7
C
8D9ຫໍສະໝຸດ 等比数列的性质；等差数列的性质. 等差数列与等比数列.
ji,IIjI]IjI
9. （5分）（2015?福建）已知■:'■-|'■|■,若P点是△ABC所在平面
内一点，且 丄儿■1：,则三-云的最大值等于（）
|AB| |AC|
A13B 15C 19D 21
平面向量数量积的运算.
13.（4分）（2015?福建）如图，点A的坐标为（1,0）,点C的坐标为（2,4）,函数
*若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_,；_•
(x)
VJ
1
Lf
y
!
c
0
A B
X
考点：
定积分的简单应用；几何概型.
专题：
导数的综合应用；概率与统计.
分析：
分别求出矩形和阴影部分的面积，禾U用几何概型公式，解答.
3+lo
a
故当x<2时，满足f（x）羽.
当X>2时，由f（X）=3+logax绍，•••logax》，...Ioga2》，
•••1 v a^2,
故答案为：（1,2].
点评：
本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题.
15. （4分）（2015?福建）一个二元码是由0和1组成的数字串
上述校验方程组可判定k等于5.
通讯安全中的基本问题.
创新题型；新定义.
根据二元码X1X2-X7的码元满足的方程组，及的运算规则，将k的值从1至7
逐个验证即可.
解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,
1若k=1，则x1=0,
从而由校验方程组，得
2若k=2，则x1=1, 从而由校验方程组，得
由图可知，最优解为A,
联立严尸°，解得A（-1,丄）.
x-2y+2=02
••• z=2x-y的最小值为2X（-1）-丄=
22
点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.
6.（5分）（2015?福建）阅读如图所示的程序框图， 运行相应的程序，则输出的结果为（）
考点：
循环结构.
则实数a的取值范围是（1,2]
考点：
对数函数的单调性与特殊点.
专题：
函数的性质及应用.
分析：
当x<2时，满足f（X）绍.当X>2时，由f（x）=3+log aXS4,即logaX昌,故有Ioga2》, 由此求得a的范围.
解答：
r-x+6i
解：由于函数f（x）=、©（a>0且a詞）的值域是[4,+8）,
密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2） 设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望.
考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式. 专题：概率与统计.
分析：（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
3若k=3，则x1=1, 从而由校验方程组，得
4若k=4，则X1=1, 从而由校验方程组，得
5若k=5,则x1=1,
从而由校验方程组，得X4®X5®X6®X7=0,X2®X3®X6®X7=0,x1®X3®X5®X7=0,
故k=5符合题意；
6若k=6，贝y x1=1,x2=1,x3=0,x4=1,x5=1,X6=1,X7=1,
本题主要考查绝对值不等式柯西不等式等基础知识考查运算能力属于中档2015年福建省高考数学试卷理科一选择题共10小题每小题5分共50分2015年普通高等学校招生全国统一考试福建卷数学理工类ab等于的左右焦点分别为f1f2点p16线e上且pf13则pf2等于收入x万元3286100113119支出y万元6275808598根据上表可得回归直线方程
u
令5-r=2，求得r=3，可得展开式中x2项的系数为二-.-；=80,
故答案为：80.
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公
式，求展开式中某项的系数，属于基础题.
12.（4分）（2015?福建）若锐角△ABC的面积为： 烏且AB=5,AC=8,则BC等于7
考余弦定理的应用.