人教版高中数学必修五《1.2应用举例—海伦和秦九韶》

二、传统文化，增强自信
在我国历史上，1247年前后，南宋著名的数学家秦九韶（约1202—1261）在所著 的《数书九章》中给出了另一个用三边表达三角形面积的公式——三斜求积术，秦九 韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.三斜求积术就是： “以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之. 为实：一为从隅，开平方得积.”即：
求积”公式求△ ABC 的面积.
【解析】根据正弦定理：由 a sin C 4sin A 得 ac 4 ，
秦九韶的《数书九章》是一部划时代的巨著
《数书九章》 的主要内容偏重于数学的应用方面， 全书九章十八卷， 分为九类，每类 9 题，共计 81 题。该书内容丰富至极，上至天文、星 象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积， 钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到 现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。
1.2
应用举例—海伦和秦九韶
人教版普通高中课程标准实验教科书必修5
第一章 解三角形
一、问题引领，师生探究
问题 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作 《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目： “问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里， 中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲 知为田几何.” 讲的是有一个三角形沙田， 三边 分别为 13 里，14 里，15 里，则该沙田的面积 为多少？
1 S 底高 2
C b A h x c D a B
四、公式应用，体现价值
例题 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的 “三斜公式”， 设△ ABC 三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，面积为 S，则“三斜求积”公式 为
1 2 2 a 2 c 2 b2 2 2 2 2 S [a c ( ) ] ．若 a sin C 4sin A ， (a c) 12 b ，则用“三斜 4 2
S p( p a)( p b)( p c) ，其中 p
abc ，但现在人们常常以古希腊的数学家海 2
伦(Heron)命名这个公式，称此公式为海伦公式。
海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的 方法和思路， 在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海 伦公式可以更快更简便的求出面积， 比如说在测量土地的面积的 时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地 导出答案。
1 方法：利用余弦定理求出 cos B ，再根据 S ac sin B 进行证明. 2
a 2 c 2 b2 证明：由余弦定理： cos B 2ac
C b
2 2 2 2
a c B
a c b 1 1 1 2 S ac sin B ac 1 cos B ac 1 2 2 2 2 ac
海伦(Heron):古希腊的数学家, 著作《测地术》 、 《测量仪器》和《度量术》等。
古希腊数学文化
古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的应用性得到了很大的发展，其突 出的一点就是三角术的发展。三角术的发展是由于人们建立定量的天文学，以便用来 预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历，航海和研究地理而产生的 .在解 三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边 a、b、c 直接求出 三角形的面积。 据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的， 他得到了公式：
三、师生探究，公式证明
1 2 2 a 2 c 2 b2 2 S [a c ( ) ] 4 2
S p( p a)( p b)( p c)
古希腊数学家海伦运用平面几何知识，证明海伦面积公式．中国古代 数学家秦九韶只给出公式，用来解决一类问题的计算． 你能通过已学知识给出秦九韶(或海伦)面积公式的证明吗？
转化为数学语言为下列图形
你能用已学的知识 解决这个问题吗？
1 方法：余弦定理+面积公式 S ac sin B 2
abc 另解：利用公式 S p( p a)( p b)( p c) ，其中 p 2
介绍：在历史上，公式 S p( p a)( p b)( p c) 叫做海伦公式，形式漂亮，便 于记忆.
1 2 2 大2 小2 中2 2 S [小 大 ( ) ] 4 2
其中，大、中小分别表示三角形条边长，即a，b，c. 用现代公式表示即为：
1 2 2 a 2 c 2 b2 2 S [a c ( ) ] 4 2
我国古代传统数学文化
秦九韶（1208 年－1268 年） ，字道古，生于普州安岳（今四 川省安岳县） ，祖籍鲁郡（今河南范县） 。 南宋官员、数学家， 与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。 秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年（1231） ，秦九韶考中进士， 先后在湖北、浙江等地做官。他在政务之余，对数学进行潜心钻 研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分 析、研究。 宋淳祐四至七年（1244－1247） ，写成了闻名的巨著 《数书九章》 。
秦九韶的“大衍求一术”
比西方 1801 年著名数学家高斯建立的同余理论早 554 年，被西方 称为“中国剩余定理” 。
秦九韶的任意次方程的数值解
领先英国人霍纳 57在 1247 年独立提出了 “三斜求积术” ， 虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与 海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空 白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学 水平。
2 2 2 2
A
1 2 2 1 2 2 a c b 1 2 2 a 2 c 2 b2 2 a c a c [a c ( ) ] 4 4 2ac 4 2
1 2 2 a 2 c 2 b2 2 即S [a c ( ) ]. 4 2
1 思考：除了 S ac sin B ，我们还学习过哪些三角形面积公式？ 2