2020年高考数学(理)一轮复习讲练测：专题1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(讲)

专题1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在
量词
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。

2.理解全称量词和存在量词的意义。

3.能正确地对含一个量词的命题进行否定。

知识点一简单的逻辑联结词
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p q p且q p或q 非p
真真真真假
真假假真假
假真假真真
假假假假真
知识点二全称量词和存在量词
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
知识点三全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称语言表示符号表示命题的否定
对M中任意一个
∀x∈M，p(x)∃x0∈M，┐p(x0) 全称命题
x，有p(x)成立
存在M中的一个
∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，┐p(x) 特称命题
x0，使p(x0)成立
考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断
【典例1】(2019·河北石家庄一中模拟)设a，b，c是非零向量.已知命题p: 若a·b＝0，b·c＝0，则a·c ＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()
A.p∨q
B.p∧q
C.(┐p)∧(┐q)
D.p∧(┐q)
【答案】B
【解析】取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题.
又a，b，c是非零向量，
由a∥b知a＝xb(x∈R)，由b∥c知b＝yc(y∈R)，
∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题.
综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题.
┐p为真命题，┐q为假命题.
∴(┐p)∧(┐q)，p∧(┐q)都是假命题.
【规律方法】
1.“p∨q”、“p∧q”、“┐p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“┐p”形式命题的真假.
2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，┐p则是“与p的真假相反”.
【变式1】(2017·山东卷)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是()
A.p∧q
B.p∧┐q
C.┐p∧q
D.┐p∧┐q
【答案】B
【解析】∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，
∴p是真命题，┐p为假命题.
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q为假命题，┐q为真命题.
∴p∧┐q为真命题，p∧q，┐p∧q，┐p∧┐q为假命题.
考点二全称(特称)命题的真假判断
【典例2】(2019·江西师大附中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命
题的是( )
A.∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )
B.∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )
C.∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)
D.∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 【答案】C
【解析】∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题.
【规律方法】
1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立.
【变式2】 (2019·山东潍坊一中模拟)已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x <x ，则下列命题为真命题的是( )
A.p ∧q
B.p ∧(┐q )
C.(┐p )∧q
D.(┐p )∧(┐q )
【答案】C
【解析】因为当x <0时，⎝⎛⎭⎫23x
>1，即2x >3x
，所以命题p 为假命题，从而┐p 为真命题；因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，x >sin x ，所以命题q 为真命题，所以(┐p )∧q 为真命题.
考点三 由命题的真假求参数的取值范围
【典例3】 (2019·湖南长沙一中模拟)已知命题p ：∀x ∈R ，log 2(x 2＋x ＋a )>0恒成立，命题q ：∃x 0∈[－2，2]，2a ≤2x 0，若命题p ∧q 为真命题，则实数a 的取值范围为________.
【答案】⎝⎛⎦⎤54，2
【解析】由题知，命题p ：∀x ∈R ，log 2(x 2＋x ＋a )>0恒成立，即x 2＋x ＋a －1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a －1)<0，解得a >5
4
；命题q ：∃x 0∈[－2，2]，使得2a ≤2x 0，则a ≤2.当p ∧q 为真命题时，须满足⎩⎪⎨⎪⎧a >54，a ≤2，
故实数
a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤
54，2.
【规律方法】
1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.
2.全称命题可转化为恒成立问题.
含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.
【变式3】 (2019·河北衡水中学调研)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫
12x
－m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________.
【答案】⎣⎡⎭⎫14，＋∞
【解析】当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝1
4－m ，对∀x 1∈[0，3]，∃x 2
∈[1，2]使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥1
4
.。