高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 对数函数及其性质课件 新人教A版必修1

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的单增区间为[－1,1)单减区间为(－3，－1]，值域为[－2， ＋∞)．
• 求函数y＝log2(3－2x－x2)的单调区间和值 域．
• [ 解 析 ] y ＝ log2t 在 (0,4] 上 为 增 函 数 ， ∴y≤2.
• 又当x∈(－3，－1]时，t＝3－2x－x2为增 函数，x∈[－1,1)时，t＝3－2x－x2为减函 数，
• [解析] (1)考查函数y＝log0.5x，因为它的 底数0<0.5<1，所以它在(0，＋∞)上是减函 数，于是：log0.52.7>log0.52.8.
• (2)考查对数函数y＝log2x和y＝log7x的图象， 如下图
• 当x>1时，y＝log2x的图象在y＝log7x图象 上方．
• ∴当x＝5时，∴log25>log75.(此题也可用换 底公式来解．)
• (3)已知0<a<1，logam<logan<0，则 ()
• A．1<n<m
B．1<m<n
• C．m<n<1
D．n<m<1
• [答案] A
• [解析] 由0<a<1知，函数y＝logax为减函 数．
• 又 由 logam<logan<loga1 ， 得 m>n>1 ， 故 应 选A.
(－∞，0)
故原函数的定义域是{x|34<x≤1}．
(5)由函数有意义知 xx＋ ＋11>≠01 16－4x>0
x>－1 ∴x≠0
x<2
即－1<x<2，且x≠0.
故原函数的定义域为{x|－1<x<0，或0<x<2}．
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
(3)m>1,0<n<1时，log5.4m>0，log5.4n<0，则
>log15.4n恒成立，∴m>n.
1 log5.4m
(4)0<m<1，n>1 时，∵log5.4m<0，而 log5.4n>0，而log15.4m >log15.4n不成立．
总之，m 与 n 的关系是：1<m<n 或 0<m<n<1 或 0<n<1<m.
• D．a>b>1>d>c
• [答案] B
• [解析] 方法1：对数函数的图象分布与底 数a的关系是第一象限内逆时针a值由大到 小，故b>a>d>c，∴选B.
• 方法2：在上图中画出直线y＝1，分别与 ① 、 ② 、 ③ 、 ④ 交 于 A(a,1) 、 B(b,1) 、 C(c,1)、D(d,1)，由图可知c<d<1<a<b.
• •
因 所由为 以2ml2mo－m>g1m>0>.－7m0(21－m得1)<>ml0>o1.g. 0.7(m－1)，
(2)由logm5.4>logn5.4，可得log15.4m>log15.4n，
∵y＝log5.4x是增函数，故有：
(1)m>1，n>1时，log5.4m>0，log5.4n>0， ∵log15.4m>log15.4n，∴log5.4m<log5.4n，∴m<n. (2)0<m<1,0<n<1时，log5.4m<0，log5.4n<0， 由log15.4m>log15.4n可得log5.4m<log5.4n，∴m<n.
(2)要使函数有意义，须11－－33xx>≠01，. ， ∴x<13且x≠0， ∴定义域为{x∈R|x<13且x≠0}.
• [例3] 比较下列各数的大小
• (1)log0.52.7与log0.52.8； • (2)log25与log75； • (3)log35与log64.
• [分析] 对于(1)，由于底数相同，可用对 数函数单调性比较．对于(2)可根据在同一 坐标系中y＝log2x与y＝log3x的图象比较大 小．对于(3)，由于底数、真数都不相等， 就不能利用函数的单调性和图象比较大小， 这时可化同底或同真，也可借助中间量比 较大小．
(5)y＝log(x＋1)(16－4x)．
[解析] (1)由x2>0知x≠0，故原函数的定义域是
{x∈R|x≠0} (2)由9－x2>0知9>x2，即－3<x<3，故原函数的定义
域是{x|－3<x<3}．
(3)由log2x≠0 得x≠1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x>0
x>0.
故原函数的定义域是{x|x>0且x≠1}．
(4)由函数定义知：l4oxg－0.53(4>x0－3)≥0 ∴44xx－ －33≤ >01， 即34<x≤1.
• (1)已知log0.7(2m)<log0.7(m－1)，则m的取 值范围是________．
• (2)已知logm5.4>logn5.4，则m与n的大小关 系是________．
• [ 答 案 ] (1)m>1 (2)1<m<n 或 0<m<n<1 或
0<n<1<m
• [解析] (1)考察函数y＝log0.7x，它在(0，＋ ∞)上是减函数．
• 2．已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－ x)的图象只能是 ()
• [答案] B • [解析] 由y＝loga(－x)的定义域为(－∞，
0)否定A、C，又由B、D中对数函数图象
3．函数 y＝log1x，x∈(0,8]的值域是( )
2
A．[－3，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．(－∞，－3]
表达式为
.
• 二、阅y读＝l教oga材x(a>P07且0a～≠17，1x，>0回) 答下列问题： • 1．对数函数
• 形如 函数．
的函数叫做对数
4．当a>1时，y＝logax的图象是上升的，即函数为增函 数．
当0<a<1时，y＝logax的图象是下降的，即函数为减函 数．
[解析] 由条件知0<a2－1<1.∴1<a2<2， ∴－ 2<a<－1或1<a< 2.
故所求的函数的定义域为(－1,7)∪(7，＋∞)．
3x－2>0， (2)要使函数有意义，则有2x－1>0，
2x－1≠1，
解得 x>23且x≠1. 故所求的定义域为(23，1)∪(1，＋∞)．
• 求(下2)y＝ 列函数的定.义域： • (1)y＝log2(x－1)2；
[解析] (1)要使函数有意义，须(x－1)2>0， ∴x≠1，∴定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
• 本节难点：理解和掌握对数函数的概念， 图象特征，区分0<a<1和a>1不同条件下的 性质．
• 1．要牢记对数函数定义域的限制． • 2．有关对数型数值的大小比较问题： • ①②同真底数相时同(时如，lo(如g35lo与g32lo与g3lo4g)23用2)可单利调用图性象．比
较，或先判断符号．由正负区分大小，同号的再利用 logab 与 logba 互为倒数转化为同底的进行比较．
(0，＋∞)
• 5(0．,1)若a>1，则当x∈(1，(0＋,1∞))时，y∈ ，当x∈(1，＋∞)时，y∈
．若
0<a<1，则当x∈ 时，y>0，当x∈
• (1)答l指o案g时2出3：，l下ologyg2列3<212、0值l.olog的3g1315符5、l号ologg31：141314、lnln55为正lg0，.0其3 余为负
2．2.2 对数函数及其性质
• 一、某种细胞分裂时，每分裂一次，由一
个细胞分裂为2个，分裂x次后，得到的细
胞个数y是分裂次数y＝x的2x 函数，这个函数表
达式为
.反过来，如果要求这种细胞
经过多少次分裂，大约可以得到1万个，
1要0得万到个的…细…胞细x个胞＝l数，og2y那y的么函，数分，裂这次个数函x数就的是
• [例1] 若指数函数y＝ax当x<0时有0<y<1， 那么在同一坐标系中，函数y＝a－x与函数y ＝logax的图象是 ( )
• 如右图是对数函数①y＝logax，②y＝logbx， ③y＝logcx，④y＝logdx的图象，则a、b、 c、d与1的大小关系是 ()
• A．a>b>1>c>d • B．b>a>1>d>c • C．1>a>b>c>d
• 6．函数f(x)＝logax(0<a≠1)对于任意正实数 x、y都有 ()
• A．f(xy)＝f(x)f(y) • B．f(xy)＝f(x)＋f(y) • C．f(x＋y)＝f(x)f(y) • D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y) • [答案] B
• 二、填空题
• 7．求下列各式中a的取值范围：
• [解析] 由对数函数图象知c1>c2>1>c3，故 选A.
• 5．已知f(x)＝lg(x2－4)的定义域是集合M， g(x)＝lg(x＋2)＋lg(x－2)的定义域为集合N， 则M、N关系为 ( )
• [答案] B • [解析] M＝{x|x2－4>0}＝{x|x>2或x<－2} • N＝{x|x>2且x>－2}＝{x|x>2} • 故N M，选B.
• 总结评述：(1)是利用对数函数的单调 性比较两个数的大小，底数范围未明确指 定时，要对底数进行讨论来比较两个对数 的大小，例如比较loga3和loga2的大小，要 讨论a>1和0<a<1两种情况．
• 对于(3)就不能直接利用对数函数的单调性 比较大小，这时可在两个数中间插入一个 已知数(如1或0等)间接比较两个对数的大 小．
点评：利用换底公式变形的目的在于化为同底，讨论中应 注意 m、n 的范围，故分 4 种情况．
[例 4] 求函数 y＝log1(3－2x－x2)的值域和单调区间
2
[分析] 这是由对数函数与二次函数构成的复合函数性 质的讨论，解答这类问题，首先应求出函数的定义域，一切 讨论都在定义域的限制下进行；然后利用复合函数的单调性 判定方法和值域求法来求值域与单调区间，如果要求证明单
∴log12x≥1，∴0<x≤12.
∴定义域为0，12.
• 一、选择题 • 1．下列函数是对数函数的是
() • A．y＝logax2(a>0，a≠1，a为常数)
• C．y＝loga2x(a>0，a≠1，a为常数) • D．y＝loga|x|(a>0，a≠1，a为常数) • [答案] C • [解析] 由对数函数定义知选C.
• [点评] 两个单调性相同的对数函数，它 们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是 “底大图低”.
• [例2y]＝lo求g2(x下＋1 1列)－函3；数的定义域：
(2)y＝log(2x－1)(3x－2)．
[解析] (1)要使函数有意义，则有
x＋1>0， log2(x＋1)－3≠0，
即x>－1且x≠7.
• ∴函数y＝log2(3－2x－x2)的增区间为(－3， －1]，减区间为[－1,1)；
• 值域为(－∞，2]．
[例 5] 求函数 y＝
的定义域．
[错解] 要使函数有意义，应有 log1x－1≥0，
2
∴log1x≥1，
2
∵y＝log1x
2
为减函数，∴x≤12，
∴函数的定义域为(－∞，12]．
• [辨析] 解决有关对数式的问题时，一定要 牢 制[记 条正解真件] 数，要大本使于题函数中0，有，意底若义数，lo大须gxl于o有g210x意－且1义不≥应0等，有于x1>的0.限
D．(－∞，3]
[答案] A
[解析] ∵0<x≤8，∴log1x≥－3，故选 A.
2
• 4．如是对数函数y＝logax的图象，已知a取 值分别为c1、c2和c3，则以下正确的是 ()
• A．c1>c2>c3 • B．c2>c1>c3 • C．c3>c2>c1 • D．c1>c3>c2 • [答案] A
• (1)loga3<logaπ，则a∈________； • (2)log5π<log5a，则a∈________. • [答案] (1)(1，＋∞) (2)(π，＋∞)
• 三、解答题
• 8．求下列函数的定义域．
• •
((12))((yy34＝ ＝))yy＝ ＝lloologgl1goaa2gxx(0；92.5；－(4x－x23))；.
调性时，一般用定义证明．
[解析] 由 3－2x－x2>0 得－3<x<1. 令 t＝3－2x－x2＝－(x＋1)2＋4∈(0,4]．
(1)y＝log1t 在(0,4]上为减函数，∴y≥－2，
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又当 x∈(－3，－1]时，t＝3－2x－x2 为增函数，x∈[－
1,1)时，t＝3－2x－x2 为减函数，∴函数 y＝log1(3－2x－x2)
• (2)比较下列各组值的大小，用“<”或“>” 号填空．<
• ①log20.1> log20.3 • ②log0.32< log0.33 • ③lg > lg
• ④ln1.2 > lg
• ⑤log23 log43
• 本节重点：对数函数的图象和性质，结合 函数图象认识、理解、记忆和运用对数函 数的性质．