自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验第5章习题解答

第5章频率特性法
频域分析法是一种图解分析法，可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能，并能较方便地分析系统参量对系统性能的影响，从而指出改善系统性能的途径，已经发展成为一种实用的工程方法，其主要内容是：
1）频率特性是线性定常系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入的复数之比对频率的函数关系。

频率特性是传递函数的一种特殊形式，也是频域中的数学模型。

频率特性既可以根据系统的工作原理，应用机理分析法建立起来，也可以由系统的其它数学模型（传递函数、微分方程等）转换得到，或用实验法来确定。

2）在工程分析和设计中，通常把频率特性画成一些曲线。

频率特性图形因其采用的坐标不同而分为幅相特性(Nyquist图)、对数频率特性(Bode图)和对数幅相特性(Nichols图)等形式。

各种形式之间是互通的，每种形式有其特定的适用场合。

开环幅相特性在分析闭环系统的稳定性时比较直观，理论分析时经常采用；波德图可用渐近线近似地绘制，计算简单，绘图容易，在分析典型环节参数变化对系统性能的影响时最方便；由开环频率特性获取闭环频率指标时，则用对数幅相特性最直接。

3）开环对数频率特性曲线(波德图)是控制系统分析和设计的主要工具。

开环对数幅频特性L(ω)低频段的斜率表征了系统的型别(v)，其高度则表征了开环传递系数的大小，因而低频段表征系统稳态性能；L(ω)中频段的斜率、宽度以及幅值穿越频率，表征着系统的动态性能；高频段则表征了系统抗高频干扰的能力。

对于最小相位系统，幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关系，根据对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数。

4）奈奎斯特稳定性判据是利用系统的开环幅相频率特性G(jω)H(jω)曲线，又称奈氏曲线，是否包围GH平面中的(－l，j0)点来判断闭环系统的稳定性。

利用奈奎斯特稳定判据，可根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性，并
可定量地反映系统的相对稳定性，即稳定裕度。

稳定裕度通常用相角裕量和幅值裕量来表示。

5）利用开环频率特性或闭环频率特性的某些特征量，均可对系统的时域性能指标作出间接的评估。

其中开环频域指标主要是相位裕量
、穿越频率。

闭环频域指标则主要是谐振峰值
、谐振频率
以及带宽频率
，这些特征量和时域指标
％、
之间有密切的关系。

这种关系对于二阶系统是确切的，而对于高阶系统则是近似的，然而在工程设计中精度完全可以满足要求。

教材习题同步解析
5.1 一放大器的传递函数为：
G(s)=
测得其频率响应，当
=1rad/s时，稳态输出与输入信号的幅值比为12/
，稳态输出与输入信号的相位差为－π/4。

求放大系数K及时间常数T。

解：系统稳态输出与输入信号的幅值比为
，即
稳态输出与输入信号的相位差
，即
当
=1rad/s时，联立以上方程得
T=1，K=12
放大器的传递函数为：
G(s)=
5.2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
根据频率特性的物理意义，求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。

（1）r（t）=sin（t+30°）；
（2）r（t）=2cos（2t－45°）；
（3）r（t）= sin（t+15°）－2cos（2t－45°）；
解：该系统的闭环传递函数为
闭环系统的幅频特性为
闭环系统的相频特性为
（1）输入信号的频率为
，因此有
，
系统的稳态输出
（2）输入信号的频率为
，因此有
，
系统的稳态输出
（3）由题（1）和题（2）有
对于输入分量1：sin（t+15°），系统的稳态输出如下
对于输入分量2：－2cos（2t－45°），系统的稳态输出为
根据线性系统的叠加定理，系统总的稳态输出为
5.3 绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性与对数频率特性。

（1）
（2） G(s)=10(0.1s1) （3）
（4)
（5）
（6）
（7）
解：
（1）
幅相频率特性
开环系统
是一个不稳定的惯性环节，频率特性为
相频特性为
相频特性从－180连续变化至－90。

可以判断开环奈氏曲线起点为(－10，j0)点，随的增加，A1()逐渐减小至
0，而1()逐渐增加至－90°，绘制出系统开环频率特性G1(j)的轨迹，如图5.1(a)虚线所示，是一个直径为10的半圆。

而开环系统
则是一个典型的惯性环节，其幅相频率特性G2(j)如图5.1(a)实线所示。

对数频率特性
开环系统
与
的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图5.1(b)所示。

（2）G(s)=10(0.1s1)
幅相频率特性
开环系统G1(s)=10(0.1s－1)的频率特性为
，其相频特性为
相频特性从180连续变化至90。

其开环频率特性G1(j)的轨迹，如图5.2(a)虚线所示。

而开环系统G2(s)=10(0.1s+1) 则是一个典型的一阶微分环节，其幅相频率特性G2(j)如图5.2(a)实线所示。

对数频率特性
同题（1），二者的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图
5.2(b)所示。

（3）
系统开环传递函数的时间常数表达式为
幅相频率特性
1）系统为Ⅰ型系统，A(0)=∞，(0)=－90o，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。

低频渐近线如下确定：
将频率特性表达式分母有理化为
则低频渐近线为
同时可知，频率特性实部与虚部均<0，故曲线只在第三象限。

2）n－m=2，则()=－180，幅相特性沿负实轴进入坐标原点。

3）此系统无开环零点，因此在由0增大到过程中，特性的相位单调连续减小，从－90o连续变化到－180。

奈氏曲线是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。

系统的幅相频率特性G(j)见图5.3(a)。

对数频率特性
1）可知系统包含有放大、积分、一阶惯性环节，转折频率为T =2 rad·s－1。

低频段斜率为－20dB/dec，低频段表达式为L(ω)=20lg2－20lgω，并通过点L(2)= 0dB。

经过转折频率T后斜率为－40dB/dec。

2）系统的相频特性为积分环节（－90o）与惯性环节（0o ~－90o）相频特性的叠加，为
转折频率处相位为(2)=－135°，对数相频特性曲线对应于该点斜对称。

绘制开环伯德图L()、()，如图5.3（b）所示。

（4）
系统开环传递函数的时间常数表达式为
幅相频率特性
1）系统为0型系统，A(0)=2，(0)= 0o，开环奈氏曲线起点为(2，j0)点；n －m=2，则()=－180。

随的增加，A()逐渐单调连续减小至0，而()滞后逐渐增加至－180°，幅相特性沿负实轴进入坐标原点。

2）将频率特性表达式分母有理化为
频率特性虚部均<0，故曲线在第三、第四象限。

3）相位有()=－90，因此与虚轴的交点为
此系统无开环零点，因此在由0增大到过程中，奈氏曲线是平滑的曲线，G(j)见图5.4(a)。

对数频率特性
1）可知系统包含有放大、两个一阶惯性环节，转折频率分别为 1 =1 rad·s －1、 2 =2 rad·s－1。

系统为0型，低频段斜率为0dB/dec，低频段表达式为L(ω)=20lg2=6dB。

经过转折频率1、 2后斜率分别为－20、－40dB/dec。

2）系统的相频特性是两个惯性环节相频特性的叠加，为
两个转折频率处相位分别为(1)=－72°，(2)=－109°。

绘制开环伯德图L()、()，如图5.4（b）所示。

（5）
系统开环传递函数的时间常数表达式为
幅相频率特性
1）系统为Ⅰ型系统，A(0)=∞，(0)=－90o，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。

低频渐近线如下确定：
低频渐近线为
同时可知，频率特性实部、虚部均<0，故曲线只在第三象限。

2）n－m=1，则()=－90，幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。

3）此系统有开环零点，因此在由0增大到过程中，特性曲线有凹凸，最后终于原点。

系统的幅相频率特性G(j)见图5.5(a)。

对数频率特性
1）系统转折频率分别为 1 =0.02 rad·s－1、 2=0.2 rad·s－1。

系统为
型，低频段斜率为－20dB/dec，低频段表达式为L(ω)=20lg10－20lgω，因此
L(0.02)=54dB。

经过转折频率1、 2后斜率分别为－40 dB/dec、－60dB/dec。

2）系统的相频特性为两个惯性环节相频特性的叠加，为
两个转折频率处相位分别为，(0.02)=(0.2)=－129°。

系统的对数频率特性L()、()见图5.5(b)。

（6）
幅相频率特性
1）系统为0型系统，A(0)=10，(0)= 0o，开环奈氏曲线起点为(10，j0)点；n－m=3，则()=－270，幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。

2）同上，频率特性表达式分母有理化为
3）相位有()=－90，因此与虚轴的交点为
相位有()=－180，因此与实轴的交点为
此系统无开环零点，因此在由0增大到过程中，奈氏曲线是平滑的曲线，G(j)见图5.6(a)。

对数频率特性
1）系统惯性环节、二阶振荡环节的转折频率均为T =1 rad·s－1。

系统为0型，低频段斜率为0dB/dec，低频段表达式为L(ω)=20lg10=20dB，经过转折频率T后斜率为－60 dB/dec。

渐近线上各点坐标可以通过坐标系直接读出，也可根据简单的计算求出。

例如，点L(2)与L(1)=20dB位于同一条斜线，斜率为－60dB/dec，则L(2)的纵坐标值满足
求出L(2)=2dB。

2）系统的相频特性为惯性环节与二阶振荡环节相频特性的叠加，为
转折频率处相位为(1)=－136°，并有(2)=－209°。

系统的对数频率特性L()、()见图5.6(b)。

（7）
幅相频率特性
1）延迟环节与其他典型环节相结合不影响幅频特性，但使相频特性的最大滞后为无穷大。

系统频率特性为
2）随的增大，此系统幅频特性A()单调减小，而相位滞后单调增加，相频特性()从0°一直变化到负无穷大。

故该系统的奈氏图是螺旋状曲线，绕原点顺时针旋转次，最后终止于原点，与实轴、虚轴有无数个交点，如图5.7（a）所示。

3）与虚轴的第一个交点为
4）与实轴的第一个交点为
对数频率特性
系统的对数幅频特性与典型惯性环节的对数幅频特性完全一致，但相频特性滞后无限增加。

系统的对数频率特性L()、()见图5.7(b)。

5.4 求图5.8所示的电网络的频率特性表达式，以及幅频特性与相频特性表达式，并绘制出对数频率特性曲线。

图5.8 题5.4图
解：
（a）电网络的传递函数为
频率特性为
幅频特性
相频特性
伯德图见图5.9（a），此电网络是系统校正中常用的超前校正装置（见第六章），呈现以下特点：
1）转折频率
与
之间渐近线斜率为20dB/dec，起微分作用；
2）()在整个频率范围内都>0，具有相位超前作用，故名超前校正装置；
3）()有超前最大值m。

（b）电网络的传递函数为
频率特性为
幅频特性
相频特性
伯德图见图5.9（a），此电网络是系统校正中常用的滞后校正装置（见第六章），呈现以下特点：
1）转折频率
与
之间渐近线斜率为－20dB/dec，起积分作用；
2）()在整个频率范围内都<0，具有相位滞后作用，故名滞后校正装置；
3）()有滞后最大值m。

5.5 由实验测得某最小相位系统幅频特性如下，试确定系统的传递函数
表5.1 最小相位系统的实验数据
/(rad·s－1) 0.3 0.5 1.25 2 2.5 5 6.25 10 12.5 20 25 50 100 A 9.978 9.79 9.64 9 8.78 6.3 5.3 3.24 2.3 0.9 0.6 0.1 0.01
解：
1）根据表5.1，求出与每个频率对应的稳态输出与输入幅值比的分贝值
20lgA，见表5.2。

表5.2 最小相位系统的实验数据
/(rad·s
0.3 0.5 1.25 2 2.5 5 6.25 10 12.5 20 25 50 100 －1)
A 9.978 9.79 9.64 9 8.78 6.3 5.3 3.24 2.3 0.9 0.6 0.1 0.01
20lgA 19.98 19.82 19.68 19.08 18.87 15.99 14.49 10.21 7.23 －0.92 －4.43 －
20
－40
2）已知该系统为最小相位系统，可直接由幅频特性曲线求出传递函数，根据表5.12绘出系统的对数幅频性曲线L()，如图5.10虚线所示。

3）根据求得的L()，由0、±20、±40、±0dB/dec 斜率的线段近似，求出其渐近线，如图5.10实线所示。

4）由低频段确定系统积分环节的个数v 与开环传递系数K
低频渐近线的表达式为L()=20lgK=20dB ，系统为0型，K=10。

5）由渐近线的每个转折点确定各典型环节的转折频率；并由渐近线在转折点斜率的变化量确定串联的各典型环节。

在转折频率
处，斜率减小20dB/dec ，则必有惯性环节
；
在转折频率
处，斜率减去40dB/dec，则有振荡环节
，阻尼比ζ可由谐振峰值的大小查表求取。

由图5.10，
处L()的误差约为－6dB，查教材表5.7（振荡环节对数幅频特性最大误差修正表）可得，ζ1。

因此，。

6）综上，系统的传递函数为
5.6 各系统开环传递函数如下，用奈氏稳定判据判断下列反馈系统的稳定性
（1)
（2）
解：（1)
令s=j，得开环系统频率特性
1）系统为Ⅰ型系统，A(0)=∞，(0)=－90o，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。

低频渐近线如下确定：
将频率特性表达式分母有理化为
则低频渐近线为
同时可知，频率特性实部≤0，故曲线只在第二与第三象限。

2）n－m=3，则()=－270，幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。

3）此系统无开环零点，因此在由0增大到过程中，特性的相位单调连续减小，从－90o连续变化到－270。

奈氏曲线是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。

4）()有－180相位角，故曲线与负实轴有交点，交点坐标可以由下式确定
Im[G(j)]=I()=
解之得交点处频率=10，代入实部I()，即可得曲线与负实轴交点的坐标为
该系统开环奈氏曲线见图5.11(1)。

5）曲线始于虚轴的无穷远处，与负实轴的交点为（－5，j0）。

故当由0变到+ 时，开环频率特性曲线顺时针包围（－1，j0）点的次数为1/2，N’－=1/2。

由于开环右极点数为P=0，故
Z = 2N’ + P=2
闭环系统有两个右极点，闭环不稳定。

解：（2）
令s=j，得系统开环频率特性
该系统为非最小相位系统，P=1，开环系统的相频特性为
1）系统为Ⅰ型系统，A(0)=∞，(0)=－270o，低频特性始于平行于正虚轴的无穷远处。

低频渐近线如下确定：
将频率特性表达式分母有理化为
则低频渐近线为
同时可知，频率特性实部≤0，故曲线只在第二与第三象限。

2）()=－90，幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。

3）此系统有开环零点
，因此在=100附近曲线有凹凸。

4）()有－180相位角，故曲线与负实轴有交点，交点坐标可以由下式确定Im[G(j)]=I()=
解之得交点处频率=10，代入实部I()，即可得曲线与负实轴交点的坐标为
5）该系统开环奈氏曲线见图5.11(2)，与负实轴的交点为（－1，j0），说明闭环系统临界稳定，有位于虚轴上的共轭虚根。

若直接采用劳斯判据，系统的闭环特征方程为
闭环极点为
与奈氏判据的分析一致。

5.7 设系统的开环幅相频率特性如图5.12所示，判断闭环系统是否稳定。

图中P为开环传递函数在右半s平面的极点数，v为系统的型别。

解：
（a）
，
，
，
，故闭环系统稳定。

（b）
，
，
，
，
，故闭环系统稳定。

（c）
，
，
，
，故闭环系统不稳定。

（d）
，在→0附近，曲线以为半径，逆时针补画= 2·90°=180°的圆弧与正实轴相交。

，
，
，故闭环系统稳定。

（e）
，在→0附近，曲线以为半径，逆时针补画= 90°的圆弧与正实轴相交。

，
，
，故闭环系统稳定。

（f）
，在→0附近，曲线以为半径，逆时针补画= 2·90°=180°的圆弧与正实轴相交。

，
，
，故闭环系统不稳定。

（g）
，
，
，
，故闭环系统稳定。

（h）
，
，
，
，故闭环系统不稳定。

5.8 已知最小相位系统开环对数幅频特性如图5.13所示。

（1）写出其传递函数；
（2）绘出近似的对数相频特性。

解：（a）
1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K
由于低频段的斜率为0dB/dec，该系统为0型系统。

由
，求出K=1000。

2）确定串联的各典型环节
第一个转折频率1=1rad·s－1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节；
第二个转折频率2=10rad·s－1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节
；
第三个转折频率3=300 rad·s－1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节。

3）综上所述，该系统的开环传递函数为
4）绘出近似的对数相频特性
对于最小相位系统，对数频率特性的低频渐近线斜率为－20vdB/dec，相频特性()|→0=－90v°，均与积分环节的个数v有关；当→ 时，若n＞m，高频渐近线斜率为－20（n－m）dB/dec的斜线，()|→∞=－90（n－m）°。

因此，本开环系统相频特性有，(0)=0°，(∞)=－270°。

最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同，即若L()的斜率减小（或增大），则()的相位也相应地减小（或增大）；如果在某一频率范围内，对数幅频特性L()的斜率保持不变，则在这些范围内，相位也几乎保持不变。

因此，系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化，并可直接求取几个典型频率处（如转折频率）的相位，以提高曲线的准确性。

如果系统有开环零点，则在相关转折频率处特性曲线出现凹凸。

转折频率处相位为：(1)=－51.7°，(10)=－131°，(300)=－223°。

本系统近似的对数相频特性见图5.14(a)。

解：（b）
1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K
低频段的斜率为－20dB/dec，该系统为
型系统，v=1。

将低频渐近线延长线上的点L(100)=0，代入低频渐近线的表达式L()=20lgK－20lg，可以求出K=100。

2）确定串联的各典型环节
第一个转折频率1=1rad·s－1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节
；
第二个转折频率2=100rad·s－1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节；
3）综上所述，该系统的开环传递函数为
4）绘出近似的对数相频特性
与题（a）的分析相同，本开环系统相频特性满足，(0)=－90°，(∞)=－270°。

转折频率处相位为：(1)=－135°，(10)=－180°，(100)=－225°。

系统
的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化。

本系统近似的对数相频特性见图5.14(b)。

解：(c)
1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K
低频段的斜率为0dB/dec，该系统为0型系统。

由
，求出K=10。

2）确定串联的各典型环节
第一个转折频率1=5rad·s－1，且斜率减小40dB/dec，有一个二阶振荡环节，其时间常数为
，由
，此振荡环节为
；
第二个转折频率1=80rad·s－1，且斜率增加40dB/dec，所以有一个二阶微分环节，其时间常数为
，由
，此二阶微分为。

3）综上所述，该系统的开环传递函数为
4）绘出近似的对数相频特性
同上，本开环系统相频特性满足，(0)=0°，(∞)= 0°，转折频率处相位为(5)=(80)=－91°。

系统的相频特性在每个二阶振荡环节的转折频率处有相应的变化。

本系统近似的对数相频特性见图5.15(c)。

解：(d)
1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K
由于低频段的斜率为+20dB/dec，该系统有一个纯微分环节。

低频渐近线表达式为L()=20lgK+20lg，将点L(10)=0代入，可求出K=0.1。

2）确定串联的各典型环节
转折频率=100rad·s－1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节。

3）综上所述，该系统的开环传递函数为
4）绘出近似的对数相频特性
同上，本开环系统相频特性满足，(0)= 90°，(∞)=0°。

系统的相频特性在惯性环节的转折频率处为(100)=45°。

本系统近似的对数相频特性见图5.15(d)。

5.9 系统开环传递函数如下，求系统的相角裕量，并判断闭环稳定性。

（1）
（2）
解：（1）
可知系统包含有放大、积分、两个二阶振荡环节，二阶振荡环节的参数为
因此，转折频率分别为1=1rad·s－1、2=2 rad·s－1。

绘制开环伯德图如图5.16所示。

低频段斜率为－20dB/dec，并通过点
L(1)=20dB。

经过转折频率1后斜率为－60dB/dec，经过转折频率2后最终斜率为－100dB/dec。

并有
L(2)= L(1)－60lg2=2dB
开环传递函数中两个振荡环节的阻尼比分别为ζ1=0.5，ζ2=0.4。

由教材表5.7可知，对数幅频特性的修正值分别为0dB和2dB，误差很小，可不必修正，对分析闭环系统的稳定性与相对稳定性几乎没有影响。

系统的幅值穿越频率可以直接从半对数坐标系上读取，也可根据渐近线求取，方法如下：
求得系统的幅值穿越频率c=2.2 rad·s－1，代入系统的相频特性有
直接求解三角函数
，可以求出系统的相角穿越频率g，但计算十分复杂。

实际上g也可以从半对数坐标系上读取，有g=0.8 rad·s－1。

将g代入低频渐近线表达式，可求得L(g)=20－20lgg =21.9dB，系统的幅值裕量为
Lh=－L(g)=－21.9dB<0
因此，闭环系统不稳定。

解：（2）
可知系统包含有放大、积分、两个惯性环节，转折频率分别为1=0.1 rad·s －1、2=1 rad·s－1。

绘制开环伯德图如图5.17所示。

低频段斜率为－20dB/dec，并通过点
L(0.1)=20lgK－20lg0.1=60dB。

经过转折频率1后斜率为－40dB/dec，经过转折频率2后最终斜率为－60dB/dec。

可以求得L(1)= L(0.1)－40lg1/0.1=20dB，并有
系统的幅值穿越频率c=2.1 rad·s－1，代入系统的相频特性有
相角穿越频率g=0.32（rad/s）。

将g代入中频渐近线表达式，可求得L(g)= L(0.1)－40lgg /0.1=40dB
系统的幅值裕量为
Lh=－L(g)=－40dB<0
因此，闭环系统不稳定。

5.10 已知系统的开环传递函数如下
（1）当K=1时，求系统的相位裕量；
（2）当K=10时，求系统的相位裕量；
（3）分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。

解：（1）当K=1时，求系统的相位裕量；
绘制开环伯德图如图5.18对数频率特性(a)所示。

低频段斜率为－
20dB/dec，并通过点L(1)=20lgK－20lg1=0dB。

经过转折频率1=1rad·s－1后斜率为－40dB/dec，经过转折频率2=10rad·s－1后最终斜率为－60dB/dec。

系统的幅值穿越频率c=1 rad·s－1，代入系统的相频特性有
相角穿越频率g=3.16 rad·s－1，可求得系统的幅值裕量为
Lh=－L(g)=20dB>0
因此，闭环系统稳定，并具有较好的稳定裕量。

（2）当K=10时，求系统的相位裕量；
绘制开环伯德图如图5.18对数频率特性(b)所示。

相对于对数频率特性(a)，开环传递系数增加10倍， L()曲线上升20dB，相频特性保持不变。

系统的幅值穿越频率c=3.16 rad·s－1，也是系统的相角穿越频率，代入系统的相频特性有
系统的幅值裕量为
Lh=－L(g)=－L(c)=0dB
因此，稳定裕量为零，闭环系统处于临界稳定状态。

（3）分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。

由以上分析可见，对一结构、参数给定的最小相位系统，当开环传递系数增加时，由于L()曲线上升，导致幅值穿越频率c右移，从而使得相位裕量与幅值裕量都下降，甚至使系统不稳定。

5.11 某延迟系统的开环传递函数为
试确定系统稳定时所允许的最大延迟时间max。

解：
绘制最小相位系统
的对数幅频特性，如图5.19所示，系统的幅值穿越频率c=1 rad·s－1。

延迟环节
不影响系统的对数幅频特性，但使相频特性随ω增加而滞后无限增加，延迟环节导致的相位滞后对闭环系统的稳定性不利。

考虑到延迟环节
的滞后作用，系统在c=1 rad·s－1处的相位裕量为
当系统临界稳定时，有
因此，系统稳定时所允许的最大延迟时间max为
注：在MATLAB中，可建立滞后系统的数学模型sys，并直接利用bode(sys)和nyquist(sys)绘制滞后系统的伯德图和奈氏图。

指令如下：
sys=tf(num,den,'inputdelay',a)
其中，num定义为系统连续部分的分子多项式，den为系统连续部分的分母多项式，a定义为延迟环节
的滞后时间。

也可建立系统的零极点模型：
sys=zpk(z,p,k, ’inputdelay’,a)
z、p、k分别为系统的开环零点、开环极点与开环传递系数。

5.12 某系统结构如图5.20所示，试按照开环频域指标γ和c之值估算闭环系统的时域指标σ%和ts。

图5.20 题5.12图
解
系统开环传递函数为
绘制开环伯德图如图5.21所示。

低频段斜率为－20dB/dec，并通过点
L(0.1)=52dB。

经过转折频率1=0.125 rad·s－1后斜率为－40dB/dec，经过转折频率2=1rad·s－1后斜率为－20dB/dec，经过转折频率3=20rad·s－1后斜率为－40dB/dec。

L(1)= L(0.1)－40lg1/0.1=12dB
并有
可求得系统的幅值穿越频率c=4 rad·s－1，代入系统的相频特性有
高阶系统的开环频域指标（γ、c）与时域指标（σ%，ts）之间的对应关系比较复杂，通常采用经验公式来近似。

1）高阶系统的超调量与相位裕量的关系通常用下述近似公式估算：
2）高阶系统的调节时间与相位裕量的关系通常用下述近似公式估算
以上估算公式是在比较严格的情况下推导的，实际值往往更理想。

通过MATLAB仿真可得，此系统准确的动态性能指标为：
，。

可见，利用开环频域指标γ和c估算闭环高阶系统的时域指标σ%和ts，是完全满足工程实际的。

5.13 已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制系统的闭环频率特性，计算系统的谐振频率及谐振峰值，并估算闭环系统的时域指标σ%和ts。

（1）
（2）
解：（1）
方法一：可以先画出开环对数频率特性L()及()，再利用尼柯尔斯图线绘制系统闭环对数频率特性。

方法二：由于是二阶系统，可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。

1）系统的闭环传递函数为
根据伯德图的绘制规律，求出系统的闭环频率特性，见图5.22(1)。

对于振荡环节，以渐近线代替实际对数幅频特性时，要特别注意误差修正。

如果在
0.47~0.7范围内，误差不大；而当很小时，要有一个尖峰纠正。

对于ζ=0.25，查教材表5.6修正表，可得转折频率T=4rad·s－1处最大误差为6dB。

在转折频率附近的修正曲线见图5.37虚线，可以明显地看出振荡环节出现了谐振。

而且ζ越小，谐振峰值Mr越大，谐振角频率ωr越接近于转折频率T（无阻尼自然振荡频率n）。

已知二阶系统谐振频率r和谐振峰值Mr(r)与系统特征量之间的关系为
2）闭环系统的时域指标σ%和ts计算如下
二阶系统的时域指标与频域指标之间有一一对应的关系，根据
或由教材图5.70二阶系统σ%、Mr、γ与ζ的关系曲线，可直接查得
解：（2）
同理，由于是二阶系统，可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。

系统的闭环传递函数为
一阶微分环节的转折频率1=2rad·s－1处，渐近线斜率在此增加
20dB/dec。

二阶振荡环节的参数为。