高一上学期第一次月考数学试卷(含答案解析)

高一上学期第一次月考数学试卷（含答案解析）
考试时间：120分钟；总分：150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I 卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若集合A ={x|x >2}，B ={x|−2⩽x ⩽3}，则A ∩B =( )
A. (2,3)
B. (2,3]
C. [2,3]
D. [−2,3]
2. 如图所示的Venn 图中，
已知A ，B 是非空集合，定义A ∗B 表示阴影部分的集合.若A ={x |0≤x <3}，B ={y |y >2}，则A ∗B =( )
A. {x |x >3}
B. {x |2≤x ≤3}
C. {x |2<x <3}
D. {x |x ≥3}
3. 中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做“函数”，沿用至今.为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数.”这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式.已知函数f(x)由如表给出，则f(f(−2)+1)的值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 命题“∀x >1，x −1>lnx ”的否定为( )
A. ∀x ≤1，x −1≤lnx
B. ∀x >1，x −1≤lnx
C. ∃x ≤1，x −1≤lnx
D. ∃x >1，x −1≤lnx
5. 设M =2a(a −2)+7，N =(a −2)(a −3)，则M 与N 的大小关系是( )
A. M >N
B. M =N
C. M <N
D. 无法确定
6. f(2x −1)的定义域为[0,1)，则f(1−3x)的定义域为( )
A. (−2,4]
B. (−2,12]
C. (0,23]
D. (0,1
6] 7. 已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的条件．( )
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要 8. 已知集合A ={x|
3−x x ≥2)}，则∁R A =( ) A. {x|x >1}
B. {x|x ≤0或x >1}
C. {x|0<x <1}
D. {x|x <0或x >1}
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题有多项符合题目要求）
9. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何⋅”现有如下表示：已知A ={x |x =3n +2,n ∈N +}，B =
{x |x =5n +3,n ∈N +}，C ={x |x =7n +2,n ∈N +}，若x ∈A ∩B ∩C ，则下列选项中符合题意的整数x 为( )
A. 8
B. 128
C. 37
D. 23
10. 若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )
A. 若ab ≠0且a <b ，则1a >1b
B. 若0<a <1，则a 2<a
C. 若a >b >0且c >0，则b+c a+c >b a
D. a 2+b 2+1≥2(a −2b −2)
11. 下列结论正确的是( )
A. 当x >0时，√x √x ≥2
B. 若不等式ax 2+bx +1>0的解集为{x|−1<x <3}，则不等式3ax 2+6bx +5<0的解集为
(−∞,−1)∪(5,+∞) C. 当x <54时，4x −2+1
4x−5的最小值是5
D. 对于∀x ∈R ，ax 2+4x ≥2x 2−1恒成立，则实数a 的取值范围是[6,+∞)
12. 若|x −1|>3，y y−1⩽0，则( )
A. x <−3或x >4
B. y 有最小值
C. x <−2或x >4
D. y 有最大值
第II 卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 不等式(1+x)(2−x)>0的解集为 ．
14. 命题p:∃x ∈{x|1<x <2},x −a ⩾0，若命题p 的否定是真命题，则实数a 的取值范围是 ． 15. 若关于x 的不等式x 2−(m +2)x +2m <0的解集中恰有4个正整数，则实数m 的取值范围为 ． 16. 已知函数f(x)={−x −1,−1⩽x <0
−x +1,0<x ⩽1，则f(x)−f(−x)>−1的解集为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10分)
已知集合A ={x|2a −1⩽x ⩽a +1}，B ={x|0⩽x ⩽3}．
(1)若a =1，求A ∪B ；
(2)在①A ∪B =B ，②A ∩B =A 中任选一个，补充到横线上，并求解问题．
若______，求实数a 的取值范围．
18. (本小题12分)
已知a ∈R,p:∃x ∈{x|1<x <2},(a −2)x −1>0; q:∀x ∈R,x 2+ax +4>0
(1)写出p 的否定，并求当p 的否定为真命题时，实数a 的取值范围;
(2)若p ，q 中有且只有一个为真命题，求实数a 的取值范围．
19. (本小题12分)
已知函数f(x)=
x 21+x 2． (1)求f(2)+f(12)，f(3)+f(13)的值；
(2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与f(1x
)有什么关系？并证明你的发现； (3)求f(1)+f(2)+f(3)+⋅⋅⋅+f(2022)+f(12)+f(13)+⋅⋅⋅+f(12022)的值．
20. (本小题12分)
某商场为回馈客户，开展了为期10天的促销活动，经统计，在这10天中，第x 天进入该商场的人次f(x)(单位：百人)近似满足f(x)=5+5x
，而人均消费g(x)(单位：元)是关于时间x 的一次函数，且第3天的人均消费为560元，第6天的人均消费为620元．
(1)求该商场的日收入y(单位：元)与时间x 的函数关系式；
(2)求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值．
21. (本小题12分)
已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个：①y<0的解集为{x|−1<x<3}；②a=−1；③y的最小值为−4．
(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求a，b，c的值；
(2)求关于x的不等式y≥(m−2)x+2m2−3(m∈R)的解集．
22. (本小题12分)
设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．
(1)证明：ab+bc+ca<0；
3．
(2)用max{a,b,c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a,b,c}≥√4
参考答案与解析
1.【答案】B
【解析】本题考查集合的交集运算，属于基础题．
利用交集的定义即可求解．
【解答】
解：因为A={x|x>2}，B={x|−2⩽x⩽3}，
所以A∩B={x|x>2}∩{x|−2⩽x⩽3}={x|2<x⩽3}=(2,3]．
故选B．
2.【答案】D
【解析】本题主要考查集合间的基本运算和新定义法，根据Venn图确定集合之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．
根据Venn图分析出A∗B表示的含义，再根据集合间的运算关系求出答案即可．
【解答】
解：由Venn 图可得A ∗B =∁B (A ∩B)，
因为A ={x |0≤x <3}，B ={y |y >2}，
所以A⋂B ={x|2<x <3}，
所以∁B (A ∩B)={x|x ≥3}．
故选：D ．
3.【答案】C
【解析】 根据题意，函数的解析式为f(x)={1,x ≤0
2,0<x <23,x ≥2
，先求出f(−2)的值，则有f(f(−2)+1)=f(2)，
即可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及函数的表示法，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，f(x)={1,x ≤0
2,0<x <23,x ≥2
，
则f(−2)=1，f(f(−2)+1)=f(2)=3，
故选：C ．
4.【答案】D
【解析】 本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．
【解答】
解：全称量词命题的否定是存在量词命题，则“∀x >1，x −1>lnx ”的否定为“∃x >1，x −1≤lnx ”，故选D ．
5.【答案】A
【解析】 本题考查作差法比较代数式的大小，是较易题．
利用作差法解出M −N 的结果，然后与0进行比较，即可得到答案．
【解答】
解：因为M =2a(a −2)+7，N =(a −2)(a −3)，
所以M −N =(2a 2−4a +7)−(a 2−5a +6)=a 2+a +1=(a +12)2+34
>0，
∴M>N，
故选A．
6.【答案】C
【解析】本题考查复合函数的定义域，属于基础题．
先由x∈[0,1)，求出2x−1的范围，可求出f(x)的定义域，而对于相同的对应关系，2x−1的范围和1−3x相同，从而可求出f(1−3x)的定义域．
【解答】
解：因为0≤x<1，所以0≤2x<2，所以−1≤2x−1<1，
所以f(x)的定义域为[−1,1),
所以由−1≤1−3x<1，得0<x≤2
，
3
],
所以f(1−3x)的定义域为(0,2
3
故选：C
7.【答案】C
【解析】本题考查充分，必要条件的判定．
先证充分性，由(x−2)(x−3)≤0求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x−2|+|x−3|即可，再证必要性，若|x−2|+|x−3|=1，即|x−2|+|x−3|=|(x−2)−(x−3)|，再根据绝对值的性质可知(x−2)(x−3)≤0．
【解答】
解：充分性：若(x−2)(x−3)≤0，则2≤x≤3，∴|x−2|+|x−3|=x−2+3−x=1，
必要性：若|x−2|+|x−3|=1，又∵|(x−2)−(x−3)|=1，∴|x−2|+|x−3|=|(x−2)−(x−3)|，
由绝对值的性质：若ab≤0，则|a|+|b|=|a−b|，∴(x−2)(x−3)≤0，
所以“(x−2)(x−3)≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的充要条件，
故选：C．
8.【答案】B
【解析】本题考查集合的运算，考查运算求解能力．
【解答】
≥2，得0<x⩽1，所以A={x|0<x⩽1}，则∁R A={x|x≤0或x>1}．
解：解不等式3−x
x
9.【答案】BD
【解析】本题考查集合的交集运算、元素与集合的关系，属于基础题．
将选项中的数字逐一代入集合A、B、C的表达式，检验是否为A、B、C的元素，即可选出正确选项．
【解答】
解：因为8=7×1+1，则8∉C，选项A错误；
128=3×42+2，则128∈A;
128=5×25+3，则128∈B;
128=7×18+2，则128∈C，则128∈A∩B∩C，选项B正确；
37=3×12+1，则37∉A，选项C错误；
23=3×7+2，则23∈A;
23=5×4+3，则23∈B;
23=7×3+2，则23∈C，则23∈A∩B∩C，选项D正确．
故选BD．
10.【答案】BCD
【解析】本题考查了不等式的基本性质、作差法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果．
【解答】
解：对于A，当a<0<b时，结论不成立，故A错误；
对于B，结论等价于a(a−1)<0，成立，故B正确；
对于C，结论等价于ab+ac>ab+bc，即(a−b)c>0，成立，故C正确；
对于D，结论等价于(a−1)2+(b+2)2≥0，成立，故D正确．
故选BCD．
11.【答案】ABD
【解析】解：A 中，因为x >0，则√x +√x ≥2√√x ⋅1√x =2，当且仅当√x =√x ，即x =1时取等号，所以√x √x ≥2，
所以A 正确； B 中，不等式ax 2+bx +1>0的解集为{x|−1<x <3}，则可得−1，3是方程ax 2+bx +1=0的根，
可得{−1+3=−b
a −1×3=1a ，解得a =−13，
b =23， 所以不等式3ax 2+6bx +5<0整理可得：x 2−4x −5>0，解得x >5或x <−1，
所以不等式的解集为：{x|x >5或x <−1}，所以B 正确；
C 中，4x −2+
14x−5=4x −5+14x−5+3=−[−(4x −5)+−14x−5]+3， 因为x <54，所以−(4x −5)>0，所以−(4x −5)+−14x−5≥2√−(4x −5)+−14x−5
=2， 当且仅当−(4x −5)=−14x−5，即(4x −5)2=1，即x =1时取等号，
所以−[−(4x −5)+−1
4x−5
]≤−2+3=1，即4x −2+14x−5的最大值是1，所以C 不正确； D 中，对于∀x ∈R ，ax 2+4x ≥2x 2−1恒成立，即(a −2)x 2+4x +1≥0恒成立，
当a −2=0时，不等式为4x +1≥0显然不是恒成立，所以a ≠2；
当a ≠2时，则{a −2>0Δ=16−4(a −2)×1≤0
，解得a ≥6， 综上所述实数a 的取值范围是[6,+∞)，所以D 正确；
故选：ABD ． 12.【答案】BC
【解析】 本题考查了绝对值不等式及分式不等式的解法，属于基础题．
根据题意解不等式即可得到答案．
【解答】
解：由|x −1|>3，得x <−2或x >4；
由y
y−1≤0，得0≤y <1，所以y 有最小值，无最大值，
故选BC ．
13.【答案】(−1,2)
【解析】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
直接解一元二次不等式即可得到答案．
【解答】
解：不等式(1+x)(2−x)>0可化为(1+x)(x−2)<0，
解得−1<x<2，
所以原不等式的解集为(−1,2)．
故答案为(−1,2)．
14.【答案】[2,+∞)
【解析】本题考查存在量词命题的否定，属于基础题．
由存在量词命题的否定，转化为最值问题求解．
【解答】
解：由题意得命题p的否定为∀x∈{x|1<x<2}，x−a<0，
则a>x max，x∈{x|1<x<2}，
可得a⩾2，则实数a的取值范围是[2,+∞)．
故答案为[2,+∞)．
15.【答案】(6,7]
【解析】本题考查解含参的一元二次不等式，属于基础题．
一元二次方程有两个根x=m，x=2，若使解集中恰有4个正整数，只能在m>2时，此时解集中应有3，4，5，6四个正整数，从而求得参数m满足的条件．
【解答】
解：由x2−(m+2)x+2m=(x−m)(x−2)<0知，
若使解集中恰有4个正整数，则只能在m>2时，且满足6<m⩽7，
此时解集中恰有3，4，5，6四个正整数，
故m∈(6,7]．
故答案为(6,7]．
16.【答案】[−1,−1
)∪(0,1]
2
【解析】 本题考查分段函数与不等式求解，属于中档题． 易得f(x)为奇函数，简化式子为f(x)>−12
，分类讨论x 的取值范围即可．
【解答】
解：因为f(−x)={x −1,0<x ⩽1x +1,−1⩽x <0,−f(x)={x +1,−1⩽x <0x −1,0<x ⩽1
, 所以−f(x)=f(−x)，即f(x)为奇函数，
由此可得f(x)−f(−x)=2f(x)>−1，即f(x)>−12， 当0<x ⩽1时，−x +1>−12成立；
当−1⩽x <0时，−x −1>−12，即x <−12
; 综上f(x)−f(−x)>−1的解集为[−1,−12)∪(0,1]．
故答案为[−1,−12)∪(0,1]
17.【答案】解：(1)当a =1时，集合A ={x|1⩽x ⩽2}， 又B ={x|0⩽x ⩽3}，
所以A ∪B ={x|0⩽x ⩽3}；
(2)选择条件①，
由A ∪B =B ，得A ⊆B ，
当A =⌀时，2a −1>a +1，得a >2，此时A ⊆B ，符合题意；
当A ≠⌀时，得{2a −1⩾0a +1⩽32a −1⩽a +1
，解得12⩽a ⩽2; 综上，实数a 的取值范围是[12
,+∞); 选择条件②．
由A ∩B =A ，得A ⊆B ．
当A =⌀时，2a −1>a +1，得a >2，此时A ⊆B ，符合题意;
当A ≠⌀时，得{2a −1⩾0a +1⩽32a −1⩽a +1
，解得12⩽a ⩽2; 综上，实数a 的取值范围是[12,+∞)．
【解析】本题考查含参数的集合运算问题，属于中档题．
(1)当a =1时，集合A ={x|1⩽x ⩽2}，则可求出A ∪B ；
(2)任选一个条件都可得A ⊆B ，讨论集合A 是否为空集，即可求出实数a 的取值范围．
18.【答案】解：(1)由题意，p 的否定为∀x ∈{x|1<x <2}，(a −2)x −1≤0，
若p 的否定为真命题，则a −2≤1x
对任意x ∈{x|1< x <2}恒成立，
所以只需a −2≤12，
解得a ≤52；
(2)由(1)可得，当p 的否定为真命题时，a ≤52，所以当p 为真命题时，a >52．
若q 为真命题，则对于任意的x ∈R ，x 2+ ax +4>0恒成立，
因此只需Δ=a 2−16<0，解得−4<a <4．
因为p ，q 中有且只有一个为真命题，所以可分为两种情况：
 ①若p 为真命题，q 为假命题，则有{a >52a ⩽−4,或{a >52a ⩾4
,解得a ⩾4; ②若p 为假命题，q 为真命题，则有{a ⩽52−4<x <4,解得−4<a ⩽52． 综上可知，实数a 的取值范围是−4<a ⩽52
或a ⩾4.
【解析】本题考查命题的真假的判断与应用，否定命题的真假的应用，同时考查命题的否定，属于基础题．
(1)利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出命题p 的否定，利用命题p 的否定为真时，得到a −2≤1x
对任意x ∈{x|1< x <2}恒成立，然后求解即可；
(2)命题p 为真，则a >52，命题q 为真，则−4<a <4，利用p 、q 有且只有一个为真时，求解a 的取值范围．
19.【答案】解：(1)f(2)+f(12)=22
1+22+(12)21+(12)2=45+15=1； f(3)+f(13)=321+32+(13)21+(13
)2=910+110=1; (2)由(1)可发现f(x)+f(1x
)=1(x ≠0)，证明如下：
当x ≠0时，f(x)+f(1x
)=x 21+x 2+(1x )21+(1x )2=x 21+x 2+11+x 2=1; (3)由(2)知f(2)+f(12)=f(3)+f(13)=⋅⋅⋅=f(2022)+f(
12022)=1， 所以f(1)+f(2)+f(3)+⋅⋅⋅+f(2022)+f(12)+f(13)+⋅⋅⋅+f(12022
) =f(1)+2021=0.5+2021=2021.5．
【解析】本题考查函数值的求解，考查计算能力，属于中档题．
(1)由解析式代入运算即可得解；
(2)代入计算f(x)+f(1x
)，即可得解；
(3)结合(2)的结论运算即可得解．
20.【答案】解：(1)设g (x )=kx +b ，
依题意{g (3)=3k +b =560g (6)=6k +b =620
，解得k =20,b =500， 所以g (x )=20x +500．
所以y =(5+5x )×100×(20x +500)=10000(x +25x
+26)(1≤x ≤10,x ∈N ∗)． (2)由(1)得y =10000(x +25x +26)(1≤x ≤10,x ∈N ∗)，
由基本不等式得x +25x ≥2√x ⋅25x
=10，当且仅当x =25x ,x =5时等号成立， 所以第5天日收入最少，且最小值为10000×(10+26)=360000元.
【解析】本题考查利用基本不等式解决实际问题，属于中档题．
(1)根据人数和人均消费求得日收入的函数关系式．
(2)利用基本不等式求得最小值以及对应的x ．
21.【答案】解：(1)假设条件①②符合题意．
∵a =−1，二次函数图象开口向下，
∴y <0的解集不可能为{x|−1<x <3}，不满足题意．
假设条件②③符合题意．
由a =−1，知二次函数图象开口向下，y 无最小值，不满足题意．
∴满足题意的条件为①③．
∵不等式y <0的解集为{x|−1<x <3}，
∴−1，3是方程ax 2+bx +c =0的两根，
∴−1+3=2=−b a ，−1×3=c a ，即b =−2a ，c =−3a ．
∴函数y =ax 2+bx +c 在x =−b 2a
=1处取得最小值， ∴a +b +c =−4a =−4，即a =1，
∴b =−2，c =−3．
(2)由(1)知y =x 2−2x −3，则y ≥(m −2)x +2m 2−3，即x 2−mx −2m 2≥0，
即(x +m )(x −2m )≥0．
∴当m <0时，不等式的解集为{x |x ≤2m 或x ≥−m}；
当m =0时，不等式的解集为R ；
当m >0时，不等式的解集为{x |x ≥2m 或x ≤−m}.
【解析】本题主要考查二次函数解析式的求法，含有字母系数的一元二次不等式的解法．
(1)分别假设条件①②和条件②③和条件①③符合题意，根据二次函数性质和题意即可判断满足题意的条件，根据二次函数的图象性质即可求出a 、b 、c 的值；
(2)化简不等式，根据m 的范围讨论不等式解集即可．
22.【答案】证明：(1)∵a +b +c =0，∴(a +b +c)2=0，
∴a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc =0，
∴2ab +2ac +2bc =−(a 2+b 2+c 2)，
∵abc =1，∴a ，b ，c 均不为0，
∴2ab +2ac +2bc =−(a 2+b 2+c 2)<0，
∴ab +bc +ca <0；
(2)不妨设a ≤b <0<c <√43，则ab =1c >1
√43， ∵a +b +c =0，∴−a −b =c <√43，
而−a −b ≥2√ab >2
√46=412
416=413=√43
， 当且仅当a =b 时，等号成立，
与假设矛盾，
故max{a,b,c}≥√43．
【解析】本题考查基本不等式的应用和利用综合法与反证法证明不等式，考查了转化思想，属于中档题．
(1)将a +b +c =0平方之后，化简得到2ab +2ac +2bc =−(a 2+b 2+c 2)<0，即可得证；
(2)利用反证法，假设a ≤b <0<c <√43，结合条件推出矛盾．。