优选高中数学人教A版选择性必修全概率公式完整版课件

利用全概率公式 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( A )P(B| A )＝35×25＋25×15
＝285.]
5．某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间 的产量分别占全厂产量的 25%, 35%, 40%，而且各车间的次品率依次 为 5% ,4%, 2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由 甲车间生产的概率．
↓ 贝叶斯公式
P(Bi|A)＝ PBiPA|Bi ，i＝1,2，…，n. n PBkPA|Bk k＝1
1．掷两颗骰子， 已知两颗骰子点数之和为 7，则其中有一颗为 1 点
的概率为( )
A.25
B.15
C.12
D.13
D [设事件 A 为“两颗点数之和为 7”，事件 B 为“一颗点数为 1”．
两颗点数之和为 7 的种数为 6，其中有一颗为 1 点的种数为 2，
2．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 2∶1，货车中途 停车修理的概率为 0.02，客车为 0.01，今有一辆汽车中途停车修理， 则该汽车是货车的概率为( )
A．0.8 B．0.5 C．0.67 D．0.875
A [设公路上经过的车为货车是事件 A，经过的车是客车为事件 B，车需要修理为事件 C，且 P(A)＝23，P(B)＝31，P(C|A)＝0.02，P(C|B) ＝0.01，
k＝1
，i＝1,2，…，n.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)全概率公式中，A1，A2，…An 必须是一组两两互斥的事件．
()
(2)使用全概率公式关键在于寻找另一组事件来“分割”样本空
间．
()
Байду номын сангаас
(3)贝叶斯公式是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能
性大小．
()
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
由 全 概 率 公 式 得 ： P(A) ＝ P(B1)P(A|B1) ＋ P(B2)P(A|B2) ＋ P(B3)P(A|B3)．
依题意，P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1． 设 Hi＝{飞机被第 i 人击中}，i＝1,2,3.
P(B1)＝P(H1 H2 H3 ∪ H1 H2 H3 ∪ H1 H2 H3)， P(B2)＝P(H1H2 H3 ∪ H1 H2H3∪H1 H2 H3)， P(B3)＝P(H1H2H3)， 将数据代入计算得 P(B1)＝0.36；P(B2)＝0.41；P(B3)＝0.14. 于是 P(A)＝P(B1)P(A |B1)＋ P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝0.36×0.2＋0.41 ×0.6＋0.14 ×1 ＝0.458. 即飞机被击落的概率为 0.458.
4．盒中有 a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察 其颜色后放回，并加上同色球 c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第 二次抽出的是黑球的概率．
[解] 设 A＝{第一次抽出的是黑球}，B＝{第二次抽出的是黑 球}，则 B＝AB＋ A B，
由全概率公式 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( A )P(B| A )， 由题意 P(A)＝a＋b b，P(B|A)＝a＋b＋b＋c c，P( A )＝a＋a b， P(B| A )＝a＋bb＋c. 所以 P(B)＝a＋bbba＋＋cb＋c＋a＋baab＋b＋c＝a＋b b.
合作 探究 释疑 难
利用全概率公式求概率
【例 1】 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概 率分别为 0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而击落的概率为 0.2，被两人击 中而击落的概率为 0.6，若三人都击中， 飞机必定被击落，求飞机被 击落的概率．
[解] 设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3， 则 A＝B1A＋B2A＋B3A.
学习目标
核心素养
1．了解全概率公式和贝叶斯公式 1．通过对全概率公式和贝叶斯公
的概念．(重点) 式概念的学习，体会数学抽象素
2．掌握利用全概率公式和贝叶斯 养．
公式求概率的方法．(难点) 2．借助全概率公式和贝叶斯公式
3．能利用全概率公式和贝叶斯公 求解概率，提升数学运算和逻辑推
式解决生活中一些简单的实际问 理素养.
课时 分层 作业
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3
PAiPB|Ai
i＝1
＝12×13＋1313××3535＋16×45＝25.
若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果 具体结果怎样未知，那么：1如果要求的是第二阶段某一个结果发 生的概率，则用全概率公式；2如果第二个阶段的某一个结果是已 知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用 贝叶斯公式，类似于求条件概率. 熟记这个特征，在遇到相关的题目 时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.
对全概率公式的理解 某一事件 A 的发生可能有各种的原因，如果 A 是由原因 Bi (i＝ 1,2，…，n) 所引起，则 A 发生的概率是 P(ABi)＝P(Bi)P(A |Bi)，每一 原因都可能导致 A 发生，故 A 发生的概率是各原因引起 A 发生概率 的总和，即全概率公式. 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原 因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生 的可能性与各种原因的“作用”大小有关．
3．一批零件 100 个，其中 10 个不合格品，从中一个一个不放回 取出，第三次才取出不合格品的概率为________．
89 1 078
[记 Ai＝“第 i 次取出的是不合格品”，Bi＝“第 i 次取出
的是合格品”，依题意：P(B1B2A3) ＝ P(B1)·P(B2|B1)P(A3|B1B2)＝19000
×8999×1908＝1
89 078.]
4．甲箱中有 3 个白球，2 个黑球，乙箱中有 1 个白球，3 个黑球．现 从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球．则从乙箱中 取出白球的概率为________．
8 25
球”，
[设 B＝“从乙箱中取出白球”，A＝“从甲箱中取出白
P(A)＝35，P( A )＝25，P(B| A )＝51，P(B|A)＝52，
[解] 设 A1，A2，A3 分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B 表 示产品为次品．依题意，有 P(A1)＝25%，P(A2)＝35%，P(A3)＝40%，
P(B|A1)＝5%，P(B|A2)＝4%，P(B|A3)＝2%， P(A1|B)＝PA1PB|A1＋PPAA21PPBB||AA21＋PA3PB|A3 ＝0.25×0.05＋00.2.355××00.0.054＋0.4×0.02≈0.362.
B⊆Ω，有 P(B)＝
P(Ai)P(B|Ai)
i＝1
．
2．贝叶斯公式
设 A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，
且 P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件 B⊆Ω， P(B)>0，有 PAiPB|Ai
n
P(Ai|B)＝PAPiPBB |Ai＝
PAkPB|Ak
题．(重点、易错点)
情境 导学 探新 知
从 a 个红球和 b 个蓝球的袋子中，每次随机摸出 1 个球，摸出的 球不放回．显然，第一次摸到红球的概率为a＋a b，那么第二次摸到红 球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
1．全概率公式
一般地，设 A1，A2，…，An 是一组 两两互斥
的事件，
A1∪A2∪…∪An＝Ω，n且 P(Ai)>0，i＝1,2,3，…，n，则对任意的事件
[跟进训练] 2．某人去某地参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机的概率 分别为 0.2,0.1,0.3,0.4.如果他乘火车、轮船、汽车去，迟到的概率分 别为31，112和14，乘飞机不会迟到．结果他迟到了，求他乘汽车去的概 率．
[解] 设 A＝“迟到”， B1＝“乘火车”，B2＝“乘轮船”， B3＝“乘汽车”，B4＝“乘飞机”， 根据题意，有 P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.1，P(B3)＝0.3，P(B4)＝0.4， P(A|B1)＝31，P(A|B2)＝112，P(A|B3)＝14，P(A|B4)＝0， 由贝叶斯公式，有
[解] 设 A1＝{摸出的球来自甲盒}， A2＝{摸出的球来自乙盒}， A3＝{摸出的球来自丙盒}， B＝{摸得白球}， 则 P(A1)＝21，P(A2)＝13，P(A3)＝61， P(B|A1)＝31，P(B|A2)＝53，P(B|A3)＝45.
于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为
P(A2|B)＝ PA2PB|A2
利用贝叶斯公式求概率
【例 2】 甲盒装有 1 个白球 2 个黑球，乙盒装有 3 个白球 2 个 黑球，丙盒装有 4 个白球 1 个黑球．采取掷一骰子决定选盒，出现 1、 2 或 3 点选甲盒，4、5 点选乙盒，6 点选丙盒，在选出的盒里随机摸 出一个球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得一个白球，求此球来自乙 盒的概率．
故所求概率为 P＝26＝13.]
2．一个盒子中有 6 只白球、4 只黑球，从中不放回地每次任取 1 只，连取 2 次，第二次取到白球的概率为( )
2311 A.5 B.5 C.2 D.3
B [A＝{第一次取到白球}，B＝{第二次取到白球}， 因为 B＝AB∪ A B 且 AB 与 A B 互不相容，所以 P(B)＝P(AB)＋P( A B)＝P(A)P(B|A)＋P( A )P(B| A )＝160×59＋140 ×69＝0.6.]
[跟进训练] 1．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%, 二 厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率 分别为 2% , 1%, 1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多 少？
[解] 设事件 B 为“任取一件为次品”， 事件 Ai 为“任取一件为 i 厂的产品”，i＝1,2,3. A1∪A2∪A3＝Ω，AiAj＝∅，i，j＝1,2,3.
所以 P(A|C)＝PAPPC|AA＋PPC|ABPC|B ＝23×0.230×2＋0.310×2 0.01＝0.8.]
3．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品 率为 0.15，第二车间的次品率为 0.12，两个车间的成品都混合堆放在 一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为 2∶3，今有一客户 从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为________．
P(B3|A)＝ PA|B3PB3
4
PA|BiPBi
i＝1
＝13×0.2＋112×014.×1＋0.413×0.3＋0×0.4
＝00..01755＝0.5.
课堂 小结 提素 养
条件概率 P(B|A)＝PPAAB―→乘法定理 ↓
全概率公式 P(AB)＝P(A)P(B|A) P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋…＋P(Bn)P(A|Bn)
0.868 [设 B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}， Ai＝{提出的一台是第 i 车间生产的}，i＝1,2. 由题意 P(A1)＝25，P(A2)＝53，P(B|A1)＝0.85， P(B|A2)＝0.88， 由全概率公式 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋ 0.6×0.88＝0.868.]
由全概率公式得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)． P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.2， P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，P(B|A3)＝0.01， 故 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝0.02×0.3 ＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.