电路理论_(4)

例： p107 4-13(a)
22
例：4-9 电路如图所示，当电阻R等于多少时，它可以从 电路中获得最大功率?求此最大功率。 Req 20k 4V
结论：对于一端口网络，当外接电阻等于端口等效电阻时 （即 R=Req），电阻R将获得最大功率。
23
4-4Βιβλιοθήκη 特勒根定理un1un2
un3
特勒根定理1：对于一个具有n个 结点和b条支路的电路，假设各支 路电流和支路电压取关联方向， 并令(i1, i2, …ib)、 (u1, u2, …ub)分 别为b条支路的电流和电压，则对 任何时间t ，有： b
27
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u i u i u i u i u i u i u i k k 11 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
k 1
6
ˆ1 (un1 un 2 )i ˆ2 (un 2 un 3 )i ˆ3 (un1 un 3 )i ˆ4 un1i ˆ5 un 3i ˆ6 u n 2i
9
应用叠加定理应注意： 1、只适用于线性电路 2、不作用的电源置零，将电压源短路，电流源开路 3、叠加各个分量电流、电压时注意分量前的“+”、“-”号 4、电路含有受控电源时，在各分电路中要保留受控电源， 但注意受控电源的控制量应随之变化。 5、原电路的功率不等于各分电路计算功率的叠加
10
4-2 替代定理 对于线性电阻电路（可以推广到非线性电路），若已知第k支 路的电压uk 和电流ik ,则该支路可以用一个电压等于uk 的电压 源uS 或电流等于ik,的电流源iS 替代，替代后电路中的全部电压 和电流均保持原值。
1k 2k Nk b11 b22 bNN 上式的一般解为： xk
为a 的系数行列式， jk为的第j行第k列的余因式。
4
如果电路有g 个电压源，h个电流源，则电路中任一处电压uf , 电流if 都可以有以下关系
u f k f 1u S1 k f 2u S 2 k fg u Sg K f 1iS1 K f 2iS 2 K fhiSh k fmu Sm K fmiSm
ˆ ˆ ˆk 0 由特勒 u i uk i 1 1 u2i2 根定理： k 3

b
ˆ1i1 u ˆ2i2 u ˆk ik 0 u
k 3
29
(1)
线性电阻 网络 激励 响应 响应
线性电阻 网络 激励
ˆ ˆ ˆ u1i 1 u2i2 uk ik 0
k 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u i u ( i i i ) u ( i i i ) u ( i i i k k n1 1 2 4 n 2 2 3 5 n3 3 4 6 )
k 1 6
0
定理由功率守恒的数学形式。由于不是对于同一个电路，所 以定理2 又称为拟功率定理。 例： p108 4-7
戴维宁定理的证明
设外电路为Ro
根据替代定理，用iS=i 替代电路Ro
14
根据叠加原理，得到端口 1-1’间的电压： 用u=u(1) + u(2) = uoc- iReq 所以有以下电路模型，有 源一端口网络对外电路可 以等效变换为含源支路
15
例：4-5 已知：uS1=40V, uS2=40V, R1=4, R2=2, R3=5, R4=10, R5=8, R6=2, 求电流i3 。
16
注意：戴维宁等效电阻也等于含源一端口的开路电压 与短路电流的比值Req=uoc / isc
+ -
isc
由以上分析，端口的伏安特性为： u= uoc- iReq 令u=0, 则得到Req=uoc / isc
17
例：4-6 含源一端口网络如图所示，已知：uS1=25V, iS2=3A, R1=5, R2=20, R3=4, 求戴维宁等效电路。
b
b
ˆ1i1 u ˆ2i2 u ˆk ik 0 u
k 3
b
ˆk ˆk Ri 由于是线性电阻网络， 有uk Rik，u
ˆ ˆ ˆ 所以：u1i 1 u2i2 Rik ik 0
k 3
ˆk ik 0 ˆ1i1 u ˆ2i2 Ri u
k 3
30
b
例：4-7 求图示电路(a)的等效发电机。
20
例：4-8
求图(a)所示含源一端口的戴维宁等效电路和诺 顿等效电路。电流控制电流源 ic=0.75i1 。
(a)
(b)
21
当含源一端口内部含有受控源时，端口等效电阻可能为0、 或负值，为0时Geq 为，诺顿等效电路不存在；为时Req 为0，戴维宁等效电路不存在。 戴维宁定理和诺顿定理尤其适用于对电路某一部分或某一 元件感兴趣的电路问题。
2
i
( 2) 2
u u
(1) 1
( 2) 1
最后得到：
i2 i i
(1) 2 (1) 1
( 2) 2
uS R1 iS R1 R2 R1 R2 R1 R1R2 uS iS R1 R2 R1 R2
u1 u u
( 2) 1
3
对于b 条支路，n个结点的电路，利用回路电流法或结点 电压法可以列出如下形式的电路方程
18
二、 诺顿定理 诺顿定理：任何一个线性含源二端网络，对外电路来讲，可 以用一个电流源和电导的并联组合等效变换。其电流源的电 流 iS = isc 为网络端口的短路电流；电导Geq=（1/ Req ）为网络 内部电源均为0时的端口的输入电导。
含源一端 口网络
戴维宁等效电路
诺顿等效电路
两种等效电路共有3个参数： uoc , isc ,Req 其关系为： uoc = isc Req 戴维宁等效电路和诺顿等效电路统称为一端口的等效发电机。 19 相应的两个定理也可以统称为等效发电机定理。
u i
k 1
k k
0
证： u1=un1, u2=un1- un2, u3=un2- un3, u4=un1- un3, u5=un2, u6=un3
对结点①、②、③ 应用KCL i1+i2-i4=0
-i2+i3+i5=0 -i3+i4+i6=0
24
u i
k 1
6
k k
u1i1 u2i2 u3i3 u4i4 u5i5 u6i6
28
4-5 互易定理
条件：对于无源网络，激励和响应互换位置的前后，如果将 电源置零，则电路结构保持不变。 互易定理：对于一个仅含线性电阻的电路，在单一激励下产 生的响应，当激励与响应互换位置时，其比值保持不变。
有如下三种形式的互易定理。 (1)
线性电阻 网络 激励 响应 响应
b
线性电阻 网络 激励
ˆ ˆ ˆ ˆ 即：u1i u i 1 2 2 u1i1 u2i2
(1)
线性电阻 网络 激励 响应 响应 激励 线性电阻 网络
又由于
u1 uS，u2 0; 或
ˆ ˆ 所以：uS i 1 u S i2
ˆ1 ˆS， 有：i2 i 当：uS u
ˆ1 0，u ˆ2 u ˆS u ˆ i2 i 1 ˆS uS u
a11 x1 a12 x2 a1N x N b11 a21 x1 a22 x2 a2 N x N b22 a N 1 x1 a N 2 x2 a NN x N bNN
上式为回路电流方程时，系数 a为自阻或互阻，x为电流i, b 为 回路电压源或等效电压源的线性组合 上式为结点电压方程时，系数 a为自导或互导，x为电压u, b 为 支路电流源或等效电流源注入结点的电流的线性组合
替代定理
11
例
12
4-3
戴维宁定理和诺顿定理 一、戴维宁定理
含源一端 口网络
(a)
等效
端口 开路 电压
无源一端 口网络
无源 网络 等效 电阻
(b)
13
戴维宁定理：任何一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端 口网络，对外电路来讲，可以用一条含源支路（电压源和电阻 的串联组合）等效。其电压源电压 uS = uoc 为网络端口的开路电 压；电阻 Req 为网络内部独立电源均为0时的端口的输入电阻。
1
例：电路如图(a), 电路响应
i2 i2 i
S
i2 u 0
S
S
0
(1) ( 2) i2 i2
u1 u1 i
u1 u 0
S
0
u1(1) u1( 2 )
i
电路等效为下图
(1) 2
uS R1 R2 R1iS R1 R2 R1u S R1 R2 R1 R2iS R1 R2
互易定理1：对于一个仅含线性电阻的电路，在单一电压源激 励而响应为电流时，如果将激励与响应互换位置将不改变同一 激励产生的响应。 31
(2)
线性电阻 网络 激励 响应 响应 激励 线性电阻 网络
同样由特勒根定理：
ˆ ˆ ˆ ˆ u1i 1 u2i2 u1i1 u2i2
ˆ ˆ ˆ i 1 0，i2 iS ˆS， 则：u2 u ˆ1 当：iS i
5
例：4-1
试用叠加原理计算图示电路I 和U
+
6
例：4-2 求图示电路中的电压 u3 。
+
7
例：4-3
求图示电路中的电压 u3 。
+
8
线性电路的齐性定理：当所有激励（独立电压源和独立电流源） 都同时增大或减小K倍时，响应（电压或电流）也将同样增大或 减小。 例：4-4 求图示电路中的各支路电流。
u iˆ
k 1
b
k k
0
ˆi u
k 1
b
k k
0
26








证： u1=un1, u2=un1- un2, u3=un2- un3, u4=un1- un3, u5=un2, u6=un3
对图(b)结点①、②、③ 应用KCL
ˆ ˆ ˆ i 1 i2 i4 0 ˆ2 i ˆ3 i ˆ5 0 i ˆ3 i ˆ4 i ˆ6 0 i
第四章
电路定理
本章主要内容：介绍重要的电路定理。 包括：叠加定理（包括齐性定理）、替代定理、戴维宁定理、 诺顿定理、特勒根定理、互易定理、有关对偶原理概念。
利用上述定理分析求解电路一般需要将电路作等效变换。灵 活运用电路定理可以使电路分析求解大为简化和方便。 4-1 叠加定理
由线性元件组成的电路称为线性电路 叠加定理：在线性电路中，若含有两个或两个以上的激励 电源，电路中任一支路的响应电流（或电压）就等于各电 源单独存在是在该支路产生的电流（或电压）的代数和。
un1i1 (un1 un 2 )i2 (un 2 un3 )i3 (un1 un3 )i4 un 2i5 un3i6
u i
k 1
6
k k
un1 (i1 i2 i4 ) un 2 (i2 i3 i5 ) un 3 (i3 i4 i6 )
0
定理实质上是功率守恒的数学表达式。适用于线性、非线性、 时不变、时变元件的集总电路。
25
特勒根定理2：如果有两个具有n个结点和b条支路的电路， 它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成。假设各支 路电流和支路电压取关联方向，并分别用(i1, i2, …ib)、 (u1, ˆ ˆ ˆ (u u2, …ub)和 (i ˆ1, u ˆ2 ,...,u ˆb ) 表示两电路中b条 1 , i2 ,...,ib )、 支路的电流和电压，则对任何时间t ，有：
m 1 m 1 g h
i f k 'f 1u S 1 k 'f 2u S 2 k 'fg u Sg K 'f 1iS1 K 'f 2iS 2 K i k u
' fh Sh m 1 g ' fm Sm h
K 'fmiSm
m 1
所以线性电路中，任一电压或电流都是电路中各个独立电 源单独作用时在该处产生的电压或电流的叠加。
代入：
i1 iS，i2 0; ˆ1 u2 u 或 ˆS iS i
ˆS u ˆ1iS 有：u2i
互易定理2：对于一个仅含线性电阻的电路，在单一电流源激 励而响应为电压时，如果将激励与响应互换位置将不改变同一 激励产生的响应。 32
(3)
线性电阻 网络 激励 响应 响应 线性电阻 网络 激励