毕奥—萨伐尔定律

B = ∫ dBx = ∫ dB ⋅ cos θ
θ p yθ r
o x
dx
x
µ 0 Id x =∫ ⋅ cos θ 2π r a y cos θ = 2 2 2 2 r= x +y x +y
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
一个圆环之磁矩
r r 2 dm = π r dIen
m = ∫ dm
= ∫ π r ωσ rdr
2 0 R
r R
dr
1 2 = ω qR 4
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
=
=
µ0 I dl sin α
∫ 4π
µ0 I
r Idl
2 2 3 2
r
2
2π R
x
4π r
sin α ∫ 2
0
dl =
µ0 IR
2
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
2( R + z )
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
B=
µ0 IR
2
2 2 3 2
2( R + z )
θ2
1
x
C
o
r0
=
(cos θ1 − cos θ 2 )
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
推论
0
无限长载流长直导线的磁场。 无限长载流长直导线的磁场。
µI B= (cosθ − cosθ ) 4πd
1 2
z
D
θ2
v B
θ1 → 0 θ2 → π
v r
v dB
P* v
I
r r Idl × r
r
θ
v Id l
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
因：
r r dl × r = Idl ⋅ r sin θ
v v Idl × r r3 v v Idl × r0 2 r
毕奥－萨伐尔定律的矢量式： 毕奥－萨伐尔定律的矢量式：
毕奥—萨伐尔定律的应用 二 毕奥 萨伐尔定律的应用 判断下列各点磁感强度的方向和大小. 判断下列各点磁感强度的方向和大小
1 8
×
2
1、5点 ：d B = 0 、 点 3、7点 ：dB = 、 点
µ 0 Idl dl
7
v Idl × 3
R
6 5
×4
4 π R2 2、4、6、8 点 ： 、 、 、 µ 0 Idl dB = sin 450 2 4πR
电流元Idl在空间 点产生的磁场 电流元 在空间P点产生的磁场 为： 在空间 点产生的磁场dB为 大小： 大小：
dB =
µ0 Idl sin θ
4π r
2
v Id l
v dB
方向：垂直于电流元Idl 方向：垂直于电流元 所构成的平面， 与 r所构成的平面 ， 且与 、 所构成的平面 且与Idl、 r成右手螺旋关系。即 成右手螺旋关系。 成右手螺旋关系
I
P *
v Idl
r r d l → d l → Id l r r r →dB →B = ∫ dB
电流元
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11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
Idl sin θ dB = k 2 r
方向
r r r dB // dl × r
v Idl
2( R + z )
2 2 3 2
n β1
x1
rββ
2
R
x2 x
dB p =
Bp = ∫
µ0 R 2 nIdx
2( R + x )
2 2
x2 2
p x l
3
2
µ0 R nIdx
2( R + x )
2 2 3 2
x1
=
µ 0 nI
2
(cos β 2 − cos β1 )
利用 x = R cotβ
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
[例14-1] 无限长薄铜片，宽为 ，电流 ，求铜片 例 无限长薄铜片，宽为a，电流I， 中心线上方之 B 。 r 解：一个细窄条相当于一个直电流 dB y
µ 0 dI µ 0 Id x dB = = 2π r 2π r a
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
β1
β2
l >> R
β1 → π β2 → 0
p
x
相当于无限长螺线管 左端点
பைடு நூலகம்
B = µ0 nI
β1 =
π
2
β2 →0
B B 2 l
1 B = µ 0 nI 2
对应于半无限长螺线管！ 对应于半无限长螺线管！
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
旋转， [例14-2] 圆盘半径 R，带电 q , 以 ω 旋转，求圆 例 ， r 心处B 心处 与 m 。 解： 一个圆环相当于一个圆电流
ω dI = σ 2π rdr 2π
r
= ωσ rdr
µ 0 dI
dr R
dB =
2r µ0ωσ B = ∫ dB = 2
∫
R
0
1 dr = µ0σω R 2
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
B=
µ0I
2πd
I
o
x
C
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
θ1
P y
+
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
2 圆电流轴线上的磁场
z
o
dB =
µ0 Idl
4π r
2
sin 90
dBz
p
α
r dB
dB⊥
y
垂直分量抵消！ 垂直分量抵消！
r z α r
o R
B = ∫ dBz
x
o
C
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
B=
4π ∫θ1
µ0
θ2
z
D
θ2
I sin θ ddθ 2 2 d sin θ 2 sin θ
sinθ dθ
dz θ v
I
z
θ1
r
v dB
* y P
=
∫θ 4πd
µ0 I
4πd
µ0 I
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11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
一 直电流的磁场 每个电流元产生磁场同方向
z
D
θ2
dz
I
θ
B = ∫ dB = ∫
v r
r0
µ 0 Idz sin θ
4π r
2
z
θ1
v dB
* y P
z = −d cot θ
d dz = dθ 2 sin θ d r= sin θ
r >> R
B≈
µ 0 IR
2z 2z
3
en
2
r r 定义磁矩： 定义磁矩： m = NISen
I
r r µ0 m B= 3 2π z
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11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
3 螺线管产生的磁场 一个薄片相当于一个圆电流
B=
µ 0 IR 2
B=
∫ 2π a
µ0 I
µ0 Iy
a 2 a − 2
dx 2 2 x +y
y p
r dB
θ
a = arctan πa 2y
y << a ⇒B=
yθ r o x
dx
x
µ0 I
2a
对应于无限大面电流产生的磁场！ 对应于无限大面电流产生的磁场！
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11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
v µ0 dB = 4π
v µ0 dB = 4π
µ0 = 4π × 10 N ⋅ A
−7
−2
称为真空磁导率
叠加原理： 叠加原理：任一电流产生的磁场
v v v v µ0 Idl × r B = ∫ dB = ∫ 4π r 3
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
毕奥—萨伐尔定律 一 毕奥 萨伐尔定律 载流导线中的电流为I， 载流导线中的电流为 ， 导线半径比到观察点P的 距离小得多， 即为线电流。 距离小得多 ， 即为线电流 。 r 在线电流上取长为 dl r 的定向线元， 的定向线元，规定 dl 的方 r 向与电流的方向相同， 向与电流的方向相同， l Id 电流元。 为电流元。
Q
r r dl × r r
v dB
= dl sin θ
r r r Id l × r ⇒ dB = k 3 r
v dB
P *
v r
θ
v Idl
I
r r Idl × er =k 2 r
v r
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11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律