高考数学一轮复习第四章三角函数1任意角蝗制及任意角的三角函数课件新人教A版

6π

2π
2π
(2)∵θ= 7 +2kπ(k∈Z),∴3 = 7 + 3 (k∈Z).
2π
2π
依题意,0≤ 7 + 3 <2π,k∈Z,
3
18
解得-7≤k< 7 ,k∈Z.

2π 20π 34π
∴k=0,1,2,即在[0,2π)内,终边与3相同的角为 7 , 21 , 21 .
3π
(3)由 α 是第三象限角,得 π+2kπ<α< 2 +2kπ(k∈Z),
π π
,
4 2
∪ π,
5π
4
.
-23考点1
考点2
考点3
√3
√3
2
2
(2)由题意,得 sin x≥ ,作直线 y= 交单位圆于 A,B 两点,连接
OA,OB,则 OA,OB 与圆围成的区域(图中阴影部分)即为角 x 的终边的
范围,故满足条件的角 x 的集合为
2π
,∈Z
3
.
π
2π +
3
≤ ≤ 2π +
的命题有( C )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
(2)若 α 是第二象限的角,则下列结论一定成立的是 ( C )


A.sin2>0
B.cos2>0

C.tan2>0


D.sin2cos2<0
(3)在-720°~0°(含-720°,不含 0°)范围内所有与 45°角终边
-675°或-315°
sin(cos)
∴sin(cos θ)<0,cos(sin θ)>0.∴cos(sin)<0.
3
√3
√3
(3)∵3-4sin2x>0,∴sin2x<4.∴- 2 <sin x< 2 .
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),
π
π
∴x∈ π- 3 ,π + 3 (k∈Z).
为余弦线
有向线段 AT
为正切线
三角函数线
-9知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)小于90°的角是锐角. ( ×)
(2)若sin α>0,则α是第一、第二象限的角. ( × )
(3)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等. ( × )
(4)若角α为第一象限角,则sin α+cos α>1. ( √ )
从而 k=-2 或 k=-1,代入得 β=-675°或 β=-315°.
-19考点1
考点2
考点3
考点 2 三角函数定义的应用(多考向)
考向一 利用三角函数定义求三角函数值
例 2(1)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交
4
于点 A,点 A 的纵坐标为 ,则 cos α 的值为( D )
相同的角为
.
-18考点1
考点2
解析
考点3
3π
4π
π
4π
(1)- 4 是第三象限角,故①错误; 3 =π+3,从而 3 是第三象限
角,故②正确;-400°=-360°-40°,从而-400°是第四象限角,故③正
确;-315°=-360°+45°,从而-315°是第一象限角,故④正确.
π
(2)由题意知2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,
-28考点1
考点2
考点3
解析 (1)圆心角
2π
α= ,弧长
3
20
l=αr= π
3
cm;面积
1 2 100
S= αr = π
2
3
(2)设扇形的半径为 r,弧长为 l,面积为 S.
-
(方法一)∵c=2r+l,∴r= 2 (l<c),
1
1
-
1
2
2
∴S=2rl=2 × 2 ×l=-4 - 2 + 16,
6π

(2)若角 θ 的终边与 7 角的终边相同,则在[0,2π)内终边与3 角的终
2π 20π 34π
,
,
边相同的角为
;
7 21 21
第一或第二象限或y轴的非负半轴
(3)已知角α为第三象限角,则2α的终边在
.
思考角的终边在一条直线上与在一条射线上有什么不同?已知角

α所在的象限,如何求角kα, (k≥2,且k∈N*)所在的象限?
π

π
所以4+kπ<2 < 2+kπ,k∈Z.
当k
当k

为偶数时,2是第一象限角;

为奇数时,2是第三象限角.
故选 C.
(3)所有与 45°角有相同终边的角可表示为 β=45°+k×360°(k
∈Z),则令-720°≤45°+k×360°<0°,
765
45
得-765°≤k×360°<-45°,解得-360≤k<-360,
数
设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则
定 义
各
象
限
符
号
y 叫做 α 的正
弦,记作 sin α
x 叫做 α 的余
弦,记作 cos α


一+
二+
三-
+
-
叫做 α 的正
切,记作 tan α
+
+
四-
+
-
-8知识梳理
双基自测
三角函数
正弦
余弦
正切
有向线段 MP
为正弦线
有向线段 OM
-27考点1
考点2
考点3
考点 3
扇形弧长、面积公式的应用
例4(1)已知扇形的半径为10 cm,圆心角为120°,则扇形的弧长
100
20
2
为 3 π cm ,面积为 3 π cm .
2
(2)已知扇形的周长为c,则当扇形的圆心角α=
弧度时,
2
其面积最大,最大面积是
.
16
思考求扇形面积最值的常用思想方法有哪些?
则 2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z).
故角 2α 的终边在第一或第二象限或 y 轴的非负半轴.
-16考点1
考点2
考点3
解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.
2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再
判断角α终边所在的象限即可.

3.确定角 kα, (k≥2,且 k∈N*)的终边的位置:先用终边相同角的形
的角.弧度记作rad.
(2)公式
的弧所对的圆心角叫做1弧度
l
角 α 的弧度数公式
|α|=r (弧长用 l 表示)
角度与弧度的换算
①1°=180 rad,②1 rad=
弧长公式
l= |α|r
扇形面积公式

1
1
S=2lr=2|α|r2
180

°
-7知识梳理
双基自测
3.任意角的三角函数
三角函
正弦
余弦
正切
1
双基自测
2
3
4
5
3.已知扇形周长为10 cm,面积是4 cm2,则扇形的圆心角的弧度数
是( B )
A.8
1
C.8 或
2
1
B.2
D.8 或 4
解析 设圆心角是 θ,半径是 r cm,
= 4,
2 + = 10,
= 1,
则 1
解得
(舍)或
1
· 2 = 4,
= ,

=
8
2
2
1
故扇形的圆心角的弧度数为 .
的取值范围是( D )
A.
C.
π 3π
,
2 4
π 3π
,
2 4
5π
4
5π 3π
,
4 2
∪ π,
B.
∪
D.
√3
π π
,
4 2
π π
,
4 2
∪ π,
∪
5π
4
3π
,π
4
π
2π
(2)函数 y= sin- 的定义域为 2π + 3 ,2π
. + 3 ,k∈Z
2
思考三角函数的几何意义是什么?该几何意义有哪些应用?
向左为负.
-25考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30°),且 cos α=
4
-5,则 m
的值为( B )
1
A.-2
1
B.2
√3
sin(cos)
(2)若 θ 是第二象限角,则cos(sin)
C.- 2
√3
D. 2
<
0.(填“>”“<”或“=”)
-24考点1
考点2
考点3
解题心得1.用定义法求三角函数值的两种情况:
(1)已知角α终边上一点P的坐标,则直接用三角函数的定义求三
角函数值;
(2)已知角α的终边所在的直线方程,注意角α的终边位置有两个,
对应的三角函数值有两组.
2.三角函数线是三角函数的几何表示,正弦线、正切线的方向同
纵轴一致,向上为正,向下为负;余弦线的方向同横轴一致,向右为正,
5
4
5
3
C.5
A.
4
5
3
D.-5
B.-
(2)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则5sin α+5cos α+4tan
-2或-4
α=
.
思考已知角的终边上一点的坐标,如何求这个角的三角函数值?
求终边在一条确定直线上的角的三角函数值时应注意什么?
-20考点1
考点2
考点3
4
5
解析 (1)因为点 A 的纵坐标为 ,且点 A 在第二象限,
-22考点1
考点2
考点3
解析 (1)因为点 P 在第一象限,故
sin-cos > 0,
tan > 0,
sin > cos,
即
tan > 0.
由 tan α>0 可知角 α 为第一或第三象限角,画出单位圆.又 sin
α>cos α,用正弦线、余弦线得满足条件的角 α 的终边在如图所示的
阴影部分(不包括边界),即
π
π
π,π
+
(k∈Z)
2
(3)函数 y=lg(3-4sin x)的定义域为
.
3
3
-26考点1
解析
考点2
考点3
(1)∵r=√642
42
∴642 +9
=
1
,且
25
+ 9,∴cos α=
4
=- ,
642 +9 5
-8
1
m>0,∴m= .
2
(2)∵θ 是第二象限角,∴-1<cos θ<0,0<sin θ<1.

2

∴当 l=2时,Smax=16,此时 α==2.
2
1
1
1 -+
(方法二)S= rl= ×(c-l)×l≤
2
4
4
2



即 l=2时等号成立,此时 r=4,α==2.
=
2
,当且仅当
16
(方法三)∵c=2r+l=2r+rα,

1 2 1
2
∴r=2+,S=2αr =2
(2+)2
-15考点1
考点2
考点3
π 4π
解析 (1)∵在(0,2π)内,终边在直线 y=√3x 上的角是3 , 3 ,与角
π 4π
π
4π
π
, 终边相同的角分别为 2kπ+ ,2kπ+ =(2k+1)π+ ,k∈Z,
3 3
3
3
3
π
∴终边在直线 y=√3x 上的角的集合为 = 3 + π,∈Z .
第四章
三角函数
-2-
4.1
任意角、弧度制
及任意角的三角函数
-4知识梳理
双基自测
1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着
旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类
端点 从一个位置
①
正角:按 逆时针
方向旋转而成的角
按旋转方向不同分类 负角:按 顺时针
方向旋转而成的角
零角:射线没有旋转
2
-12知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
4.已知角θ的终边经过点P(12,-5),则cos θ的值为
解析 因为 x=12,y=-5,所以 r=
2
+ 2 =13,所以
12
13
cos
.

θ=

=
12
.
13
-13知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ的终边一定落在第
3
4
3
当 a<0 时,r=-5a,sin α=- ,cos α= ,tan α=- ,
5
5
4
5sin α+5cos α+4tan α=-3+4-3=-2.
综上可知,5sin α+5cos α+4tan α=-4 或-2.
-21考点1
考点2
考点3
考向二 利用三角函数线解三角不等式
例3(1)已知点P(sin α-cos α,tan α)在第一象限,且α∈[0,2π],则角α
4
当且仅当=α,即
=
1
2
·
2 4+4+

α=2 时等号成立.
≤
1 2
·
2 8
=
四 象限.
解析 由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与
y轴的非正半轴重合.由tanFra bibliotekθ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或
第四象限,故θ的终边只能位于第四象限.
-14考点1
考点2
考点3
考点 1
角的表示及象限的判定
π
例 1(1)终边在直线 y=√3x 上的角的集合为 = 3 + ;π,∈Z
②
象限角:角的终边在第几象限,这个角就
按终边位置不同分类
是第几象限角
轴线角:角的终边落在坐标轴上
-5知识梳理
双基自测
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成
一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.