2023年高考数学一轮复习课件：第八章 8-3空间点、直线、平面之间的位置关系

跟踪训练3 (1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点， 用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视 图是
√
在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分后， 剩余部分的直观图如图. 则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A.
(2)当AC，BD满足条件__A_C__＝__B_D_且__A_C__⊥__B_D___时，四边形 EFGH为正方形.
∵四边形EFGH为正方形， ∴EF＝EH且EF⊥EH， ∵EF 綉12AC，EH 綉12BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD.
TANJIUHEXINTIXING
探究核心题型
题型一 平面基本性质的应用 例1 如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1， C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
√C.l⊄α，A∈l⇒A∉α
D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由公理3可知M∈l，A对； 对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β ＝AB，B对； 对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错； 对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对.
教师备选
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中 点，连接D1F，CE.求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
如图所示，连接CD1，EF，A1B， ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥A1B，且 EF＝12A1B. 又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F， 即E，C，D1，F四点共面.
∴CE，D1F，DA三线共点.
思维升华
共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线 (或点)在这个平面内. (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点 都在这条直线上. (3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他 直线经过该点.
跟踪训练1 (1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中 点，则这四个点不共面的图是
第八章
考试要求
1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
落实主干知识 探究核心题型
课时精练
LUOSHIZHUGANZHISHI
落实主干知识
知识梳理
1.四个公理 公理1：如果一条直线上的 两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过 不在一条直线上 的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过 该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 .
教材改编题
1.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不 正确的是 A.AB与CD是异面直线 B.GH与CD相交 C.EF∥CD
√D.EF与AB异面
把展开图还原成正方体，如图所示. 还原后点G与C重合，点B与F重合， 由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错.
2.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b
(2)CE，D1F，DA三线共点.
由(1)知 EF∥CD1，且 EF＝12CD1， ∴四边形CD1FE是梯形， ∴CE与D1F必相交，设交点为P， 则P∈CE，且P∈D1F， ∵CE⊂平面ABCD，D1F⊂平面A1ADD1， ∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1. 又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， ∴P∈AD，
(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.以D1为球心， 5 为半径的球面 π
与侧面BCC1B1的交线长为_2__.
以 D1为球心， 5为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线是以 C1为圆心， 1 为半径的圆与正方形 BCC1B1 相交的一段弧(圆周的四分之一)，其长 度为14×2π×1＝π2.
9 形的面积为__2__.
如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线， 交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α， 由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点， 故 BD＝2 2，MN＝ 2，且 BM＝DN＝ 5，
∴等腰梯形MNDB的高为
h＝Leabharlann 52－ 222＝3 2 2，
√D.l至少与l1，l2中的一条相交
如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A， B不正确；
如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.
图1
图2
题型三 空间几何体的切割(截面)问题
例 3 (1)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 DD1 和 BB1 上
(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长 方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是 A.直线MN与直线A1B是异面直线 B.直线MN与直线DD1相交
√C.直线MN与直线AC1是异面直线
D.直线MN与直线A1C平行
如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心， 所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行， 所以A错误；
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.
(×) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( √ ) (3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合.( × ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线.( × )
∴梯形MNDB的面积为
12×( 2＋2 2)×322＝92.
思维升华
(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引 直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交 的平面都要画出它们的交线. (2)作交线的方法有如下两种：①利用公理3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面 面平行，然后根据性质作出交线.
思维升华
(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方 体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型. (2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面 内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
跟踪训练2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那
的点，MD＝13DD1，NB＝13BB1，那么正方体中过 M，N，C1 的截面图形是
A.三角形
√C.五边形
B.四边形 D.六边形
先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截 面与几何体的棱的交点. 如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N， CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直 线AB于点F， 则五边形C1MEFN为所求截面图形.
又由题意可得 EP＝EQ＝ 2， ∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ. 又 D1P＝ 5，
∴B1P＝ D1P2－D1B21＝1， 同理C1Q＝1， ∴P，Q分别为BB1，CC1的中点， ∴∠PEQ＝π2， 知P︵Q的长为π2× 2＝ 22π，即交线长为 22π.
教师备选
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD 且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边
A.共面
B.平行
C.是异面直线
√D.可能平行，也可能是异面直线
α∥β，说明a与b无公共点， ∴a与b可能平行也可能是异面直线.
3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB， BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件_A_C__＝__B_D_ 时，四边形EFGH为菱形；
∵四边形EFGH为菱形， ∴EF＝EH， ∵EF 綉12AC，EH 綉12BD， ∴AC＝BD.
延伸探究 将本例(2)中正方体改为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为
2，∠BAD＝60°.以D1为球心， 5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长
2π 为__2___.
如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q， 连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ， 由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形， ∴D1B1＝DB＝2， ∴△D1B1C1为等边三角形， 则 D1E＝ 3且 D1E⊥平面 BCC1B1， ∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心， 设截面圆的半径为r， 则 r＝ R2球－D1E2＝ 5－3＝ 2.
2.空间中直线与直线的位置关系 平行 直线
共面直线 相交 直线
异面直线：不同在 任何 一个平面内，没有公共点
3.空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有： 直线在平面内 、 直线与平面相交 、_直__线__与_ _平__面__平__行___三种情况.
4.空间中平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系有 平行 、 相交 两种情况. 5.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补.
因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M， 且点M不在直线DD1上， 所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误； 因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上， 所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；
因为直线MN经过平面A1CC1内一点M， 且点M不在直线A1C上， 所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误.
√
对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面； 同理，B，C图中四点也共面； D中四点不共面.
(2)在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点， 如果EF∩HG＝P，则点P A.一定在直线BD上
√B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上，也不在直线BD上
么直线AB与CD的位置关系是
A.平行 C.相交或平行
B.异面
√D.平行或异面或相交均有可能
根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，
如图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况.
(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面 β的交线，则下列结论正确的是 A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交
教师备选
1.设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论 正确的是 A.若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线 B.若a与b异面，b与c异面，则a与c异面 C.若a，b不同在平面α内，则a与b异面
√D.若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
2.如图所示，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则 表示直线GH与MN是异面直线的图形有_②__④___.(填序号)
如图所示， 因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P， 所以P∈平面ABC， P∈平面ACD. 又因为平面ABC∩平面ACD＝AC， 所以P∈AC.
题型二 空间位置关系的判断
例2 (1)下列推断中，错误的是 A.若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
(1)D，B，F，E四点共面；
∵EF是△D1B1C1的中位线， ∴EF∥B1D1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD， ∴EF∥BD. ∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β. ∵Q∈A1C1，∴Q∈α. 又Q∈EF，∴Q∈β， 则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点， ∴α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R，∴R∈A1C. ∴R∈α，且R∈β， 则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.