高考数学一轮总复习课时规范练34空间点直线平面之间的位置关系北师大版

课时规范练34空间点、直线、平面之间的位置关系
基础巩固组
1.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
2.
如图，E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1D1与AA1的中点，则下列判断正确的是()
A.直线AC与BF是相交直线
B.直线C1E与AC互相平行
C.直线C1E与BF是异面直线
D.直线DB与AC互相垂直
3.(2020浙江，6)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()
A.l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B.l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱B1C1的中点，则平面AD1E截该正方体所得的截面面积为()
A.4√2
B.2√2
C.4
D.9
2
6.如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不是共面直线的是()
7.已知，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的任意一条直线m的位置关系是.
8.如图，平面α∩平面β=l，A∈α，B∈α，AB∩l=D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是.
9.如图，点A在平面α外，△BCD在平面α内，E，F，G，H分别是线段BC，AB，AD，DC的中点.
(1)求证:E，F，G，H四点在同一平面上;
(2)若AC=6，BD=8，异面直线AC与BD所成角为60°，求EG的长.
综合提升组
10.如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论不正确的是()
A.A，M，O三点共线
B.A，M，O，A1四点共面
C.C1，O，C，M四点共面
D.D，B1，O，M四点共面
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，M 为线段AP的中点，则下列说法中不正确的是()
A.CM与PN是异面直线
B.CM>PN
C.平面PAN⊥平面BB1D1D
D.过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有条.
13.(2021湖南长沙一中月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上一点，F为棱AA1的中点，且CE=2C1E，AB=2，AA1=3，BC=4，则平面BEF截该长方体所得截面为边形，截面与侧面ADD1A1，侧面CDD1C1的交线长度之和为.
14.
如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC ∥AD ，且BC=1
2AD ，BE ∥AF 且BE=1
2AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点.
(1)证明:四边形BCHG 是平行四边形. (2)C ，D ，E ，F 四点是否共面?为什么? (3)证明:直线FE ，AB ，DC 相交于一点.
创新应用组
15.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K 为棱A1B1的中点，则截面面积为，若截面把正方体分成体积之比为2∶1的两部分，则
A1K
=.
KB1
课时规范练34空间点、直线、平面之间的位置关系
1.C解析:由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线.若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾.故选C.
2.D解析:由题知，AC⊂平面ABCD，BF与平面ABCD交于点B，B∉AC，所以直线AC与BF是异面直线，故A错误;
AC⊂平面ACC1A1，EC1与平面ACC1A1交于点C1，C1∉AC，所以直线C1E与AC是异面直线，故B错误;
根据正方体性质EF∥AD1∥BC1，所以E，F，B，C1四点共面，所以直线C1E与BF不是异面直线，故
C错误;
正方体各个表面均为正方形，所以直线DB与AC互相垂直，故D正确.故选D.
3.B解析:由条件可知，当m，n，l在同一平面内时，三条直线不一定两两相交，有可能两条直
线平行;或三条直线平行;反过来，当空间中不过同一点的三条直线m，n，l两两相交时，如图，
三个不同的交点确定一个平面，则m，n，l在同一平面内，所以“m，n，l”共面是“m，n，l两
两相交”的必要不充分条件.故选B.
4.B解析:对于A，通过常见的正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，故A错误;对于B，因为l1⊥l2，所以l1，l2所成的角是90°，又因为l2∥l3，所以l1，l3所成的角是90°，所以l1⊥
l3，故B正确;对于C，如三棱柱中的三条侧棱平行，但不共面，故C错误;对于D，如三棱锥的三
条侧棱共点，但不共面，故D错误.故选B.
5.D解析:由题意可得，如图所示，因为E，F分别是B1C1，BB1的中点，所以BC1∥EF，在正方体中，AD1∥BC1，所以AD1∥EF，所以A，D1，E，F在同一平面内，所以平面AD1E截该正方体所得的
截面为平面AD1EF.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，所以
EF=√2，AD 1=2√2，等腰梯形的高为√
2，所以四边形AD 1EF 的面积S=
(√2+2√2)×
√2
2
=9
2
，故选D .
6.C 解析:对于A ，连接PR ，QS ，得PR ，QS 与正方体的(竖立的)棱平行且相等，因此四边形PQSR 是平行四边形，故PQ ，RS 共面;
对于B ，RS 与正方体的面对角线AB 平行，PQ 与CD 平行，又AB ∥CD ，故PQ ∥RS ，则PQ ，RS 共面;
对于C ，RS ⊂平面PRS ，P ∈平面PRS ，P ∉RS ，Q ∉平面PRS ，所以QP 与RS 是异面直线，故PQ 与RS 不共面;
对于D ，设QP 与BA 延长线交于点C 1，SR 与BA 延长线交于点C 2，
P ，Q 是正方体棱的中点，所以EP=EQ.又∠C 1AP=∠QEP=90°，
所以∠EPQ=∠EQP=45°，所以∠C 1PA=∠EPQ=45°，从而∠AC 1P=45°，所以AC 1=AP.同理AC 2=AR ，所以AC 1=AP=AR=AC 2，即C 1，C 2重合， 所以PQ ，RS 相交，即PQ ，RS 共面.故选C . 7.平行或异面
解析:如图，由于ABCD 是梯形，AB ∥CD ，所以AB 与CD 无公共点，又CD ⊄平面α，所以CD 与平面
α无公共点.当m ∥AB 时，则m ∥DC ;当m 与AB 相交时，则m 与DC 异面.
8.直线CD 解析:由题意知，D ∈l ，l ⊂β，所以D ∈β.
因为D ∈AB ，所以D ∈平面ABC ， 所以点D 在平面ABC 与平面β的交线上. 又因为C ∈平面ABC ，C ∈β，
所以点C 在平面β与平面ABC 的交线上， 所以平面ABC ∩平面β=CD.
9.(1)证明因为E ，F ，G ，H 分别是线段BC ，AB ，AD ，DC 的中点.故FG ∥BD ，且FG=1
2BD ，同理EH ∥
BD ，且EH=1
2BD ，故FG ∥EH ，且FG=EH.故四边形EFGH 为平行四边形.故E ，F ，G ，H 四点在同一平
面上.
(2)解由(1)知四边形EFGH 为平行四边形，且FG=12BD=4，FE=1
2AC=3.又异面直线AC 与BD 所成角为60°，故∠GFE=60°或120°.
当∠GFE=60°时，EG 2
=FE 2
+FG 2
-2FE ·FG cos60°=25-12=13. 此时EG=√13;
当∠GFE=120°时，EG 2
=FE 2
+FG 2
-2FE ·FG cos120°=25+12=37. 此时EG=√37，
所以EG 的长为√13或√37.
10.D 解析:平面AA 1C ∩平面AB 1D 1=AO ， ∵直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ， ∴M ∈AO ，即A ，O ，M 三点共线; 根据A ，O ，M 三点共线，知A 1A ∩AO=A ， ∴M ，O ，A 1，A 四点共面; 同理，M ，O ，C 1，C 四点共面;
由图知，OM ，B 1D 是异面直线，故O ，M ，B 1，D 四点不共面. 故选D .
11.A 解析:由题知，点C ，N ，A 共线，即CN ，PM 交于点A ，所以A ，N ，C ，P ，M 共面，因此CM ，
PN 共面，故A 错误;
记∠PAC=θ，则PN 2=AP 2+AN 2-2AP ·AN cos θ=AP 2
+1
4
AC 2-AP ·AC cos θ，CM 2=AC 2+AM 2
-2AC ·AM cos θ
=AC 2+1
4AP 2-AP ·AC cos θ，又AP<AC ，
CM 2-PN 2=3
4(AC 2-AP 2)>0，CM 2>PN 2，即CM>PN ，故B 正确;
在正方体中，AN ⊥BD ，BB 1⊥平面ABCD ，则BB 1⊥AN ，BB 1∩BD=B ，可得AN ⊥平面BB 1D 1D ，AN ⊂平面
PAN ，从而可得平面PAN ⊥平面BB 1D 1D ，故C 正确;
过P ，A ，C 三点的正方体的截面与C 1D 1相交于点Q ，则AC ∥PQ ，且PQ<AC ，因此一定是等腰梯形，故D 正确，故选A .
12.无数 解析:(方法1)在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条异面直线都有交点.如图所示.
(方法2)在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α.因为CD 与平面α不平行，所以CD 与平面α相交，设CD 与平面α交于点Q ，连接PQ (图略)，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线.由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交. 13.五
10+9√5
6
解析:如图，设平面BEF 与棱C 1D 1，A 1D 1分别交于G ，H ，则截面为五边形BEGHF.
易知BF ∥EG ，BE ∥FH ，则∠ABF=∠EGC 1，∠CBE=∠A 1HF ， ∴C 1E
C
1
G
=AF
AB =32
2,A 1
F A 1
H
=CE CB =24，而C 1E=1，A 1F=3
2， ∴C 1G=4
3，A 1H=3.则FH=√9+9
4=
3√52，GE=√16
9
+1=5
3，故交线长度之和为FH+GE=
3√5
2
+53=
10+9√5
6
.
14.(1)证明因为G ，H 分别为FA ，FD 的中点，
AD.
所以GH∥AD，且GH=1
2
AD，
又BC∥AD，且BC=1
2
故GH∥BC，且GH=BC，
所以四边形BCHG是平行四边形.
(2)解C，D，E，F四点共面.理由如下:
AF，G是FA的中点可知，
由BE∥AF且BE=1
2
BE∥GF且BE=GF，
所以四边形EFGB是平行四边形，
所以EF BG.
由(1)知BG CH，所以EF∥CH，
所以四边形ECHF为平行四边形，所以EC∥FH，
故EC，FH共面.
又点D在直线FH上，所以C，D，E，F四点共面.
(3)证明由(2)可知，EC∥DF.
所以四边形ECDF为梯形.
所以FE，DC交于一点.
设FE∩DC=M.
因为M∈FE，FE⊂平面ABEF，
所以M∈平面ABEF.
同理M∈平面ABCD.
又平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以点M在AB的延长线上，所以直线FE，AB，DC交于一点.
15.9
8
√5-1
2
解析:(1)取B 1C 1的中点M ，连接KM ，MC ，
∵KM ∥A 1C 1，而A 1C 1∥AC ， ∴KM ∥AC ，
∴A ，C ，M ，K 四点共面，且AK=MC. ∴四边形ACMK 是等腰梯形，如图，
KM=√2
2，AC=√2，AK=√12
+
(12
) 2=
√5
2，AH=√2-√2
22
=
√2
4
， ∴KH=√AK 2-AH 2=√(√52)2
-(√2
4)2
=3√24， ∴S 四边形ACMK =1
2×
√22
+√2×3√24
=9
8
.
(2)设B 1K=x ，取B 1C 1上的点M ，使B 1K=B 1M=x ，连接KM ，MC ，
∵KM ∥A 1C 1，A 1C 1∥AC ，∴KM ∥AC ，∴A ，C ，M ，K 四点共面，∵V B 1MK -BCA =1
3
V A 1B 1CD 1-ABCD =1
3
，
∴V B 1MK -BCA =13×1
2
+12x 2
+√12×12x 2×1=1
3， 即x 2
+x-1=0. ∵x>0， ∴解得x=-1+√52
.
即B 1K=
-1+√52
，则A 1K=1--1+√52
=
3−√52
，
故A 1K
KB 1
=
3−√5
2-1+√52
=
√5-12
.。