中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题附详细答案

中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合
题附详细答案
中考数学压轴题专题：圆的综合
一、圆的综合
1.如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E。

1) 求证：AC∥OD；
2) 如果DE⊥BC，求AC的长度。

答案】(1) 证明见解析；(2) 2π。

解析】
试题分析：(1) 由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得
∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；(2) BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得
△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧
AC的长度。

试题解析：
1) 证明：因为OC=OD，所以∠OCD=∠XXX。

因为CD
平分∠ACO，所以∠XXX∠ACD。

因此，∠ACD=∠ODC，
即可证得AC∥OD。

2) 因为BC切⊙XXXC，所以XXX。

因为DE⊥BC，所
以OC∥DE。

因为AC∥OD，所以四边形ADOC是平行四边形。

因为OC=OD，所以平行四边形ADOC是菱形，所以
OC=AC=OA。

因为△AOC是等边三角形，所以∠AOC=60°，
因此弧AC的长度为2π。

点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式。

此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用。

2.(类比概念) 三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交
点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称
为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切。

以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形。

性质探究) 如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对
边AB，CD与BC，AD之间的数量关系。

猜想结论：(要求用文字语言叙述)
写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）
性质应用)
①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形(填序号)：
A：平行四边形；B：菱形；C：矩形；D：正方形。

②如图2，圆外切四边形ABCD，且AB=12，CD=8，则
四边形的周长是多少？
③圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长。

答案】见解析。

解析】
分析】
1) 根据切线长定理即可得出结论；
2) ①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；
②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；
③设相邻边长为5x、4x、7x，则周长为16x=48，所以
x=3.因此，四边形各边的长分别为15、12、21、20.
点睛：本题考查了圆外切四边形的性质和应用。

注意掌握圆的基本性质和计算方法。

题分析：本题考查了三角函数和圆的性质。

需要求出圆的半径和角度，以及利用三角函数求出边长。

1）连接PC，观察△APC和△ABC，由于它们有一个共边AC，又有∠PAC=∠BAC，∴△APC∽△ABC，进而得出PC的长度为12.
由于圆上的切线垂直于半径，因此∠XXX°，又因为
∠PAC=∠BAC=45°，因此∠ABC=90°，∴△ABC是一个直角
三角形，利用勾股定理得出BC的长度为25.
2）观察△APC，由于tanA=1，∴∠A=45°，又因为
∠PAC=∠BAC=45°，∴AP=AC=20.
利用勾股定理得出BP的长度为5，由于BP是圆的切线，因此BP=圆的半径，即2.5.
综上，圆的半径为2.5，角度为45°，BP的长度为2.5，
PC的长度为12，BC的长度为25，AP的长度为20，BP的长
度为5.
答案】（1）略；（2）猜想AB=2DI，理由见解析．
解析】
分析】（1）如图，过点I作CI的垂线，交AB于点E，
连接OE．
I是∠XXX的内心。

BIC=90°+1/2∠ABC=150°。

BOC=2∠BIC=300°。

AOC=1/2∠BOC=150°。

AOD=2∠AOC=300°。

ABD=∠AOD-∠AOB=300°-120°=180°-∠ABC。

XXX∠ABC。

四边形ABCD为等角四边形，故AD=BD．
2）猜想AB=2DI。

如图，连接CI，延长到交⊙O于点D，连接AD，BD．BIC=150°。

AIC=30°。

AOC=150°。

OAC=15°。

XXX∠OBA=60°-15°=45°。

ODB=2∠OAB=90°。

OD=BD。

OBD=1/2∠OAB=22.5°。

XXX∠XXX-∠OBD=120°-22.5°=97.5°。

DCB=1/2∠DOC=1/2(360°-2∠OCD)=90°-
1/2∠OCD=46.25°。

XXX∠DCB-∠DBO=46.25°-22.5°=23.75°。

ABD=180°-∠ABC-∠DBC=180°-120°-23.75°=36.25°。

AID=1/2∠ABD=18.125°。

DIA=∠DIC-∠AID=97.5°-18.125°=79.375°。

BID=180°-∠ABC-∠DIA=180°-120°-79.375°=20.625°。

XXX∠BIC-∠BID=150°-20.625°=129.375°。

AIB=360°-∠CIB-∠AIC=360°-129.375°-30°=200.625°。

DIAB=1/2∠AIB=100.3125°。

DIB=∠DIAB-∠BID=100.3125°-20.625°=79.6875°。

DIA=∠AIB-∠BID-∠DIB=200.625°-20.625°-
79.6875°=100.3125°。

AB=2DI．
点睛】本题考查了等角四边形、内心、相交弦的性质等，需要学生掌握这些知识点，并且要善于发现图形中的特殊性质，进行巧妙的构造和推理。

连接CO并延长交AG于点M，连接BG。

设∠GAB=α。

首先证明CM垂直平分AG，得到AM=GM，
∠AGC+∠GCM=90°。

然后证明∠XXX∠GCM=α。

通过证明
△AGB≌△CMG，得到BG=GM=AG/2.再证明
∠BGC=∠MCG=α。

设BF=KF=a，可得GF=2a，AF=4a。

由
OK=1，得到OF=a+1，AK=2(a+1)，AF=3a+2，得到3a+2=4a，解出a的值，得到AF，AB，GF，FC的值。

由
tanα=tan∠HAK=HK/AK，AK=6，可以求出AH的长。

再由
AH^2=tan∠BAD=tan∠BCF=(1/tan∠GAF)+(1/tan∠BAD)，利
用公式tan∠GAD=(3-
tan∠XXX∠BAD)/(1+XXX∠XXX∠BAD)，得到∠GAD=45°，则AL=2AH，即可得到结论。

连接BC、CG，由BCDE为正方形，可得BC=DE，又由BD为圆的半径，可得BD=BG，∴BC=BG，所以ΔBCG为等
腰三角形，∠XXX∠CGB=67.5°，∠BGC=45°，∠GCD=22.5°，由正弦定理可得CF=BC·sin22.5°，由BD=BG可得
∠BDC=67.5°，∠DCG=45°，∠GCE=22.5°，由正弦定理可得EG=CG·sin22.5°，所以BC^2=CF·EG。

点睛】本题考查知识点：线段垂直平分线，等边对等角，正弦定理。

解题关键点：灵活运用等边对等角和平行线的性质，利用线段垂直平分线的性质求出AD=BD，再用正弦定理求出CF和EG，最后运用正弦定理和等式BC=BG求得
BC^2=CF·EG。

剔除格式错误，删除有问题的段落，改写每段话如下：
题目要求证明 PC=PD，以及求出线段 AE 和 CE 的长度。

1）连接 OC 和 OE，利用等角的余角相等，证明
∠PCD=∠PDC，从而得出 PC=PD。

2）作 EH ⊥ BC 于点 H，EF ⊥ CA 于点 F。

首先证明直角三角形 AEF 和 BEH 是全等的，推出 AF=BH=x。

然后证明四边形 CFEH 是正方形，推出 CF=CH，由此可得出 x=7，延长线段 AE 即可求出 AE 的长度，再根据 CE=2CF 求出 CE 的长度。

解析：
1）证明 PC=PD 的过程：连接 OC 和 OE，利用直径的性质得出∠ACB=90°，再利用 CE 平分∠ACB 得出
∠ECA=∠ECB=45°，因此 AE=BE。

又因为 AB 是直径，所以OE ⊥ AB，从而得出∠DOE=90°。

又因为 PC 是切线，所以OC ⊥ PC，从而得出∠PCO=90°。

由于 OC=OE，所以
∠XXX∠XXX。

因此∠PCD+∠OCE=90°，
∠ODE+∠OEC=90°，又∠PDC=∠ODE，因此
∠PCD=∠PDC，从而得出 PC=PD。

2）求出 AE 和 CE 的长度的过程：作 EH ⊥ BC 于点 H，EF ⊥ CA 于点 F。

由于 CE 平分∠ACB，因此 EH=EF。

又因为 AE=BE，所以直角三角形 AEF 和 BEH 是全等的，从而得出 AF=BH=x。

由于∠F=∠XXX∠CHE=90°，因此四边形CFEH 是矩形。

由于 EH=EF，因此四边形 CFEH 是正方形，从而得出 CF=CH。

根据题目中的数据 AC=5cm，BC=12cm，可以得出 x=7，从而得出 AE 的长度。

最后根据 CE=2CF 可以求出 CE 的长度。