高中数学《数学归纳法》导学案

第二章 推理与证明
2.3数学归纳法
一、学习目标
1.了解数学归纳法的原理
2能用数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题.
【重点、难点】重点是数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题，难点是数学归纳法的第二步.
二、学习过程
【导入新课】
多米诺骨牌实验:要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？
（ 1）第一张牌被推倒 （奠基作用）
（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下 （递推作用）
于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。

数学归纳法步骤：
（1）证明当n 取第一个值0n （例如10=n 或2等）时结论正确；
（2）假设当k n =（*N k ∈，且0n k ≥）时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确。

根据（1）和（2），可知命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确
例1、用数学归纳法证明：2462(1)n n n +++
=+ ()n N +∈
例2：用数学归纳法证明：2222(1)(21)1236n n n n +++++
+=
【变式拓展】
在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝
2a n 2＋a n
(n ∈N *)． (1)试求：a 2，a 3，a 4的值；
(2)由此猜想数列{a n }的通项公式a n ；
(3)用数学归纳法加以证明．
三、总结反思
①两个步骤，缺一不可，其中第一步是递推的基础，第二步是递推的依据；②两个步骤中关键是第二步，即当n ＝k ＋1时命题为什么成立．在证n ＝k ＋1命题时成立时，必须利用归纳假设当n ＝k 时成立这一条件，再根据有关定理、定义、公式、性质等推证出当n ＝k ＋1时成立．切忌直接代入，否则当n ＝k ＋1时成立也是假设了，命题并没有得到证明.
四、随堂检测
1.用数学归纳法证明1＋q ＋q 2＋…＋q n ＋1
＝q n ＋2－q q －1(n ∈N *，q ≠1)，在验证n ＝1等式成立时，等式左边式子是( ) A ．1 B ．1＋q C ．1＋q ＋q 2 D ．1＋q ＋q 2＋q 3
2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”，左边需增添的代数式是( )
A ．(2k ＋1)＋(2k ＋2)
B ．(2k －1)＋(2k ＋1)
C ．(2k ＋2)＋(2k ＋3)
D ．(2k ＋2)＋(2k ＋4)
3.已知数列{}n a 的前n 项和2 (2)n n S n a n =≥，而11a =，通过计算234,,a a a ，猜想n a =( ) A.22(1)n + B. 2(1)n n + C. 221n - D. 221n -
4.用数学归纳法证明：1122334(1)(1)(2)3
n n n n n ⨯+⨯+⨯+
++=++。