2008线性代数A参考答案

2007~2008学年第二学期
《线性代数》A 卷参考答案及评分标准
一、单项选择（每小题2分，共20分）请将正确选项前的字母填入下表中
1、2-。

2、159206
9
15-⎛⎫
⎪-⎝⎭。

3、4。

4、2
1
3/2
1/2-⎛⎫
⎪-⎝⎭。

5、 3 。

6、3。

7、 0 。

8、2。

9、1/λ。

10、2
2
2
123122344x x x x x x x ++++ 三、计算题（1、2每小题6分，其余每小题6分，共40分）
1、解：212223242322A A A A +++=
1
222232********* ……3分
1
222012200110
01
---=
1=- ……6分
2、解：由AX A X =+有()A E X A -=
()100200100200
1
1012001012011
1
1
1
20
1
12
A E A ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭
⎝
⎭ ……4分 2
001
2001
2X ⎛⎫
⎪
∴=- ⎪ ⎪-⎝
⎭
……6分 3、解：由2
25A A E O --=有
()()32A E A E E -+= ……3分
320A E A E -+=≠
有30A E -≠ 所以3A E -可逆 ……6分 且1
1(3)
()2
A E A E --=
+ ……7分
4、解：()
1
2
3
4
3101115121123
70
122
318100001
3
9
700
0T
T
T
T
αααα⎛⎫ ⎪--⎛⎫
⎪
⎪
- ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝
⎭
……3分 ∴1234,,,αααα线性相关，1234(,,,)2R αααα=，12,αα是它的一个极大无关组，……4分
且31241237, 22
2
αααααα=
-
=+. ……7分
5、解：矩阵A 的特征方程为
0)1)(2(1
6
3
5306
4
2
=--=-+--=
-λλλλλλA E
得特征值 12321==-=λλλ ……3分
当21-=λ时有
⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=+=--00
,0
3630
330
6632
31321
2121x x x x x x x x x x x 即
它的基础解系是⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-111，所以对应于21-=λ的全部特征向量是)0(111≠⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛-c c ……5分
当132==λλ时有 02,
630630
6321212121=+⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=--x x x x x x x x 即
它的基础解系是向量⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012及，所以对应于132==λλ的全部特征向量是
不全为零）2121,(100012c c c c ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ……7分
6、解： 22020
0212010
0200041001120100120
1001A E -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
---
⎪
⎪
⎪
⎪
-⎛⎫=→
⎪ ⎪
⎪-⎝⎭
⎪ ⎪
- ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭
……3分
1
120
1200
1P -⎛⎫
⎪
∴=- ⎪ ⎪⎝
⎭
……6分 2
2
2
1231
23(,,)24f x x x y y y
=-+ ……7分 四、证明题（每题5分，共10分）
1、证明：由 AB O = 有 12(,,,)s A X X X O = 即12(,,,)s AX AX AX O = 得i AX O = ()1,2,i s =
即i X 为A X O =的s 个解 ……2分 显然12()(,,,)()s R B R X X X n R A =≤-
即()()R A R B n +≤ ……3分 2、证明：()123,,3R ααα= ，()1234,,,3R αααα= 123
,,ααα 线性无关 1234,,,αααα线性相关 则有 4112233m m m αααα=++ 成立 ……2分 设 112233454()0k k k k ααααα+++-=
有 112233454112233()0k k k k k m m m ααααααα+++-++= 14112422343
34
()
()()
0k k m k k m k k m k
αααα-+-+-+=……
3分 ()1235,,,4R αααα=
1235,,,αααα 线性无关
则有1412423
434
00k k m k k m k k m k -=⎧⎪
-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩ 解之有 12340k k k k ==== ……4分
故 12354,,,ααααα-线性无关 即12354(,,,)4R ααααα-=……5分。