（完整版）风险型决策3种方法和例题

（完整版）风险型决策3种⽅法和例题
⼀、乐观法
乐观法，⼜叫最⼤最⼤准则法，其决策原则是“⼤中取⼤”。

乐观法的特点是，决策者持最乐观的态度，决策时不放弃任何⼀个获得最好结果的机会，愿意以承担⼀定风险的代价去获得最⼤的利益。

假定某⾮确定型决策问题有m 个⽅案B 1，B 2，…，B m ；有n 个状态θ1，θ2，…，θn 。

如果⽅案B i （i =1，2，…，m ）在状态θj （j ＝1，2，…，n ）下的效益值为V （B i ，θj ），则乐观法的决策步骤如下：
①计算每⼀个⽅案在各状态下的最⼤效益值
{V （B i ，θj ）}；
②计算各⽅案在各状态下的最⼤效益值的最⼤值
{V （B i ，θj ）}；
③选择最佳决策⽅案。

如果
V （B i *，θj *）＝{V （B i ，θj ）} 则B i *为最佳决策⽅案。

j
max i max j
max i
max j
max 例1：对于第9章第1节例1所描述的风险型决策问题，假设各天⽓状态发⽣的概率未知且⽆法预先估计，则这⼀问题就变成了表9.3.1所描述的⾮确定型决策问题。

试⽤乐观法对该⾮确定型决策问题求解。

表9.3.1⾮确定型决策问题
极旱年旱年平年湿润年极湿年(θ1)(θ2)(θ3)(θ4)(θ5)⽔稻(B 1)1012.6182022⼩麦(B 2)252117128⼤⾖(B 3)1217231711燕麦(B 4)
11.8
13
17
19
21
天⽓类型(状态)
各⽅案的收益值/千
元
解：（1）计算每⼀个⽅案在各状态下的最⼤收益值
=22（千元/hm 2）
=25（千元/hm 2）
=23（千元/hm 2）
=21（千元/hm 2）
),(22,20,18,12.6,10max ),(max 511θθB V B V j j
=}{=),(2,825,21,17,1max ),(max 12j 2j
θθB V B V =}{=),(7,1112,17,23,1max ),(max 33j 3j
θθB V B V =}{=),(9,2111,13,17,1max ),(max 544θθB V B V j j
=}{=
（2）计算各⽅案在各状态下的最⼤效益值的最⼤值
（3）选择最佳决策⽅案。

因为
所以种⼩麦（B 2）为最佳决策⽅案。

＝25（千元/hm 2）
)
,(122,25,23,2max ),(max max 2j j i j
i
B V B V θθ=}{=)
,(max max ),(12j i j
i
B V B V θθ=
⼆、悲观法
悲观法，⼜叫最⼤最⼩准则法或⽡尔德（Wold Becisia ）准则法，其决策原则是“⼩中取⼤”。

特点是决策者持最悲观的态度，他总是把事情估计得很不利。

①计算每⼀个⽅案在各状态下的最⼩效益值{V （B i ，θj ）}；
②计算各⽅案在各状态下的最⼩效益值的
最⼤值{V （B i ，θj ）}；③选择最佳决策⽅案。

如果V （B i *，θj *）＝{V （B i ，θj ）}
则：B i *为最佳决策⽅案。

j
min j min i
max j min i
max 应⽤悲观法进⾏决策的步骤如下：
例2：试⽤悲观法对下表所描述的⾮确定型决策问题求解。

解：（1）计算每⼀个⽅案在各状态下的最⼩效益值
极旱年旱年平年湿润年极湿年(θ1)(θ2)(θ3)(θ4)(θ5)⽔稻(B 1)1012.6182022
⼩麦(B 2)252117128⼤⾖(B 3)1217231711燕麦(B 4)11.813171921
天⽓类型(状态)
各⽅案的
收益值/千
元=10（千元/hm 2）=8（千元/hm 2）=11（千元/hm 2）)(22201861210min )(min 111,θB V ,,,.,,θB V j j =}{=),(812172125min ),(min 522θθB V ,,,,B V j j =}{=),(1117231712min )(min 533θB V ,,,,,θB V j j
=}{ （2）计算各⽅案在各状态下的最⼩效益值的最⼤值
＝11.8（千元/hm 2）),(,19,2111.8,13,17min ),(min 144θB V θB V j j
=}{=＝11.8（千元/hm 2）
)
,(.810,8,11,11max ),(min max 14θθB V B V j i j
i
=}{=（3）选择最佳决策⽅案。

因为
)
,(),(min max 14θθB V B V j i j
i
=所以种燕麦（B 4）为最佳决策⽅案。

三、折衷法
乐观法按照最好的可能性选择决策⽅案，悲观法按照最坏的可能性选择决策⽅案。

两者缺点：损失的信息过多，决策结果有很⼤的⽚⾯性。

特点是既不⾮常乐观，也不⾮常悲观，⽽是通过⼀个系数α（0≤α≤1）表⽰决策者对客观条件估计的乐观程度。

采⽤折衷法进⾏决策，在⼀定程度上可以克服以上缺点。

①计算每⼀个⽅案在各状态下的最⼤效益值
②计算每⼀个⽅案在各状态下的最⼩效益值
③计算每⼀个⽅案的折衷效益值
④计算各⽅案的折衷效益值的最⼤值；
⑤选择最佳决策⽅案。

如果,则B i *为最佳决策⽅案。

应⽤折衷法进⾏决策的步骤：
)
,(max j i j
B V θ)
,(min j i j
B V θ)
,(min )1(),(max j i j
j i j
i B V B V V θαθα-+=i
i
V max *max V V i i
=
例3：试⽤折衷法对下表所描述的⾮确定型决策问题求解。

极旱年旱年平年湿润年极湿年(θ1)(θ2)(θ3)(θ4)(θ5)⽔稻(B 1)1012.6182022⼩麦(B 2)252117128⼤⾖(B 3)1217231711燕麦(B 4)
11.8
17
19
21
天⽓类型(状态)
各⽅案的收益值/千
元
解：（1）计算每⼀个⽅案在各状态下的最⼤效益值＝21（千元/hm 2）
)
,(22,20,18,12.6,10max ),(max 511θθB V B V j j
=}{=)
,(2,825,21,17,1max ),(max 122θθB V B V j j
=}{=)
,(7,1112,17,23,1max ),(max 333θθB V B V j j
=}{=)
,(9,2111,13,17,1max ),(max 544θθB V B V j j
=}{=＝22（千元/hm 2）
=25（千元/hm 2）
=23（千元/hm 2）
（2）计算每⼀个⽅案在各状态下的最⼩效益值
＝11.8（千元/hm 2）
)
(22201861210min )(min 111,θB V ,,,.,,θB V j j
=}{=)
,(812172125min ),(min 522θθB V ,,,,B V j j
=}{=)
,(1117231712min )min 533θB V ,,,,,θV(B j j
=}{=)
,(,19,2111.8,13,17min ),(min 144θθB V B V j j
=}{==10（千元/hm 2）
=8（千元/hm 2）
＝11（千元/hm 2）
（3）计算每⼀个⽅案的折衷效益值（譬如取α＝0.5）＝0.5×21+0.5×11.8＝16.4（千元/hm 2）
,()1(),(11511θαθαB V B V V -+=)
,()1(),(52122θαθαB V B V V -+=)
,()1(),(53333θαθαB V B V V -+=)
,()1(),(14544θαθαB V B V V -+=＝0.5×22+0.5×10＝16（千元/hm 2）
＝0.5×25+0.5×8＝16.5（千元/hm 2）
＝0.5×23+0.5×11＝17（千元/hm 2）
（4）计算各⽅案的折衷效益值的最⼤值
＝17（千元/hm 2）
3
}4161751616max max V .,,.,V i i
={=（5）选择最佳决策⽅案。

由于所以种⼤⾖（B 3）为最佳决策⽅案。

3max V V i i
=，
例题：
引⼊新课⽬的：
决策是⼈们⽣活和⼯作中普遍存在的⼀种活动，是为解决当前或未来可能发⽣的问题
教学内容
⼀、风险型决策问题
风险型决策是指在不确定情况下的决策。

在风险型决策时，每个备选⽅案都会遇到⼏种不同的可能情况，⽽且已知出现每⼀种情况的可能性有多⼤，即发⽣的概率有多⼤，在依据不同概率所拟定的多个决策⽅案中，选择⼀种⽅案，使其能达到最优期望效益。

【例1】某企业经过市场调查和预测得知，某新产品今后5年中在市场上的销售为畅销、⼀般、滞销的概率分别0.3，0.5和0.2。

为使该新产品投产，该企业有三种可供选择的⾏动⽅案：第⼀种⽅案是投资150万元新建⼀车间，按这种⽅案，市场畅销、⼀般和滞销三种情况下的利润情况分别为获利500万元、250万元和亏损50万元；第⼆种⽅案是投资60万元扩建原有车间，在这种⽅案下，市场畅销、⼀般和滞销三种情况下的利润情况分别为获利350万元、200万元和50万元，第三种⽅案是利⽤原有车间，在这种⽅案下，市场畅销、⼀般和滞销三种情况下的利润情况分别为获利200万元、100万元和0万，问该企业应确定哪⼀种决策⽅案能使5年中的利润最⼤。

分析以上问题可以发现，上述决策问题包括下列要素：
（1）⾃然状态：它描述了决策问题所处的各种状态。

三种⾃然状态，即产品畅销、⼀般和滞销；
（2）⾏动⽅案：它是为解决决策问题，决策者可采取的⾏动。

三种，即新建车间、扩建车间和利⽤原有车间；
（3）状态概率：它描述⾃然状态发⽣的概率。

如畅销、⼀般、滞销的概率分别0.3，0.5和0.2。

（4）后果：它是决策者采取了某⼀⾏动⽅案后可能获得的结果。

三种后果，即产品畅销时获利500万元、销路⼀般时获利250万元和产品滞销时亏损50万元。

风险决策问题通常有两种数学模型，⼀是决策矩阵模型；另⼀种是决策树模型。

⼆、决策矩阵模型
【例2】某公司为了扩⼤市场，要举办⼀个产品展销会，会址打算从甲⼄丙三地中选择：获利情况除了与会址有关外，还与天⽓有关，天⽓分为晴、阴、多⾬三种，据⽓象台预报，
估计三种天⽓情况可能发⽣的概率分别为，，，其收益情况见表4－1，现要通过分析，确定会址，使收益最⼤。

在表4-1中，，，分别表⽰决策者可能采取的3个⾏动⽅案，它们彼此相互独⽴。

⽽(睛)，（阴），（多⾬）分别表⽰各个⾏动⽅案可能遇到的客观条件即⾃然状态。

对风险决策问题，它们是随机变量，其发⽣的概率分别为，，。

由于发⽣这类事件的可能性既是相互排斥的，⼜是相互独⽴的事件，故有。

期望值准则法：把每个⾏动⽅案看作随机变量，在第个⾃然状态下的效益值看作随机变量的取值，其
概率为⾃然状态出现的概率，把每个⾏动⽅案的数学期望计算出来，选择最优⾏动⽅案。

如果决策⽬标是为了效益最⼤，则采⽤期望值最⼤的⾏动⽅案；如果决策⽬标是为了损益最⼩，则采⽤期望值最⼩的⾏动⽅案。

此题决策⽬标是效益最⼤，所以计算出各⾏动⽅案的期望值，选择期望值最⼤的⽅案。

计算三种⽅案的期望值分别为
（万元）
（万元）
（万元）
显然最⼤，所以采⽤⽅案最优，即选择⼄地举办展销会效益最⼤。

上述过程归纳成矩阵表4－2所⽰：
把所有期望损益值看作⼀个列矩阵，则=
把状态概率⽤矩阵表⽰为
所有⽅案的风险值(;)⽤矩阵表⽰为
A=
把矩阵A与矩阵P相乘，得
AP=
即以上三者的关系为
= AP
当决策⽬标是收益时，应选择期望值最⼤的⽅案为最优⽅案=max；当决策⽬标是损失时，应选择期望值最⼩的⽅案为最优⽅案=min。

上述期望值可由矩阵的乘法运算得到，故这种风险型决策模型称为矩阵决策模型。

【例3】⽤决策矩阵法确定例1中的哪⼀种⾏动⽅案较为合适。

解由于
，
所以
= AP=
建⽴决策矩阵表，如表4－4所⽰。

从决策矩阵表的期望值中，我们要减去投资额，得到
投资150万元新建车间的纯收益为（万元）；
投资60万元扩建原有车间的纯收益为（万元）；
利⽤原有⽣产设备纯收益为（万元）。

可以看出，投资60万元扩建原有车间的纯收益为万元，⽐其它两种⽅案的利润⾼，
所以选择扩建原有车间的⽅案⽐较合适。

三、决策树模型
决策树模型是风险决策问题的⼀种直观的图⽰法。

因为图的形状像树，所以被称为决策树。

当所要决策问题只需进⾏⼀次决策
就可解决，叫做单阶段决策问题；如果问题⽐较复杂，⽽要进⾏⼀系列的决策才能解决，就叫做多阶段决策问题。

决策树表⽰法还⽅便简捷、层次清楚，能形象地显⽰决策过程。

决策树的结构如图4-1所⽰。

图中的⽅块代表决策节点，通常⽤R表⽰。

从它引出的分枝叫做⽅案分枝。

每条分枝代表⼀个⽅案，分枝数就是可能的⽅案数。

圆圈代表⽅案的节点，从它引出概率分枝，每条概率分枝上标明了⾃然状态及其发⽣的概率。

概率分枝数反映了该⽅案⾯对的可能的状态数。

末端的三⾓形叫做结果结点，注有各⽅案在相应状态下的结果值。

应⽤决策树来作决策的过程，是从右向左逐步后退进⾏分析。

根据右端的损益值和概率枝的概率，计算出期望值的⼤⼩，确定⽅案的期望结果，然后根据不同⽅案的期望结果作出选择。

⽅案的舍弃叫做修枝，被舍弃的⽅案⽤“≠”的记号来表⽰，最后的决策点留下⼀条树枝，即为最优⽅案。

【例4】某企业⽣产某种产品，⽣产出来后畅销的概率为0.7，滞销的概率为0.3。

现有两种⽅案：（1）扩⼤⼯⼚的规模，如果产品畅销可盈利600万元，滞销则亏损200万元；（2）不改变⼯⼚规模，如果产品畅销可盈利400万元，滞销则盈利100万元。

试问哪⼀种⽅案较好？
解（1）按决策过程将决策的基本要素画出决策树，如图4－2所⽰的。

（2）计算各节点的期望损益值：
节点①；
节点②：；
（3）进⾏决策。

通过节点值的⽐较，得到，即节点①的值⼤于节点②的值，所以应该将节点②剪掉，采⽤扩建⼚房的⽅案。

是10年；（3）前四年先组织技术⼈员逐渐改进，四年后再决定是否需要购买先进技术，四年后买⼊技术相对第⼀年便宜⼀些，收益与前四年⼀样。

预计该种产品前四年畅销的概率为0.7，滞销的概率为0.3。

如果前四年畅销，后六年畅销的概率为0.9；若前四年滞销，后六年滞销的概率为0.1。

相关的收益数据如表4-5所⽰。

（1）画出决策树；
（2）计算各点的期望值，并做出最优决策。

表4-5 投资收益
表单位：万元
⽅
案
投资额
每年收益
前四年后六年第⼀年四年后畅销滞销畅销滞销（1）（2）
（3）
200
500
100
200
80
200
80
20
-30
20
80
200
80
200
20
-30
20
-30 解（1）画出决策树如图4-3所⽰。

R为总决策，R1为⼆级决策。

解（1）画出决策树如图4-3所⽰。

R为总决策，R1为⼆级决策。

节点①表⽰第⼀种⽅案:公司组织技术⼈员逐渐改进技术，使⽤期是10年的收益期望值节点; 节点②表⽰第⼆种⽅案: 购买先进技术，使⽤期是10年的收益期望值节点; 节点③表⽰第三种⽅案: 前四年先组织技术⼈员逐渐改进，四年后购买先进技术的收益值节点。

节点④、⑤、⑥、⑦分别是在三种⽅案下的分枝结点。

（2）各节点的期望值计算从最右边开始：
节点④：（万元）
节点①: （万元）
节点⑤: （万元）
节点②:（万元）
节点⑥: （万元）
节点⑦: （万元）
因为,所以将⑦这⼀枝剪掉。

节点③：（万元）
将决策点①、②、③的期望收益值进⾏⽐较，决策点③的期望收益值最⼤，所以应选择⽅案（3），即先采取公司组织技术⼈员逐渐改进，然后再引进技术的决策。

决策树是⽤⼆叉树形图来表⽰处理逻辑的⼀种⼯具。

决策树数学模型的优点如下：
（1）它构成了⼀个简单决策过程，可以使决策⼈有顺序有步骤地进⾏决策；
（2）它⽐较直观，可以使决策⼈以科学的推理步骤去周密地思考各有关因素；
（3）便于集体决策，对要决策的问题画⼀个决策树出来，便于集体讨论；
（4）对于较复杂的决策问题，⽤决策树⽅法⽐较有效，特别是对多级决策问题来说尤其⽅便简捷。

课堂练习：某企业计划推出⼀款新型产品，企业的备选⽅案有三种。

⼀是建⽴新型的⽣产线，投⼊的成本最⼤，但产出最⾼；⼆是改造原来的⽣产线，投⼊的成本⽐新建⽣产线少，产量也会相应少⼀些；三是继续使⽤原来的⽣产线，不会投⼊相应的成本，产量最少。

根据市场需求分析和估计，产品畅销、⼀般、滞销的概率分别为0.3，0.5，0.2。

根据产量和销量的不同，企业⾯临的盈利情况如下表：
试进⾏决策。

⼩结：
1、风险型决策问题的基本概念
2、期望值决策法：。