超级资源(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)

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第一讲 走进追问求根公式
形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a
ac
b b x 2422
,1-±-=
内涵丰富: 它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美.
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】
【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个.
思路点拨: 从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程.
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）
A 、一4
B 、8
C 、6
D 、0
思路点拨: 求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=.
【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a .
思路点拨: 因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】
设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和.
思路点拨: 通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a
d d c c b b a =+=+=+=+
1
111， 试求x 的值. 思路点拨: 运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值.
注: 一元二次方程常见的变形形式有:
(1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换；
(2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次；
(3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x .
解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222
x x x ==.
走进追问求根公式学历训练
1、已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根
为 .
2、已知0232
=--x x ，那么代数式1
1
)1(23-+--x x x 的值是 .
3、若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 .
4、若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( )
A 、b a =
B 、0=+b a
C 、1=+b a
D 、1-=+b a
5、当分式4
31
2++-x x 有意义时，x 的取值范围是( )
A 、1-<x
B 、4>x
C 、41<<-x
D 、1-≠x 且4≠x 6、方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 7、解下列关于x 的方程:
(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ； (2)012=--x x ； (3)x x x 26542-=-+.
8、已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值.
9、是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由. 注: 解公共根问题的基本策略是: 当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口.
10、若0152=+-x x ，则15
39222+++-x x x ＝ .
11、已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 . 12、已知a 是方程020002=--x x 的一个正根. 则代数式a
20001200012000
3+
+
+
的值为 .
13、对于方程m x x =+-222，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、2．5 14、自然数n 满足1616247
2)22()22(2
-+--=--n n
n n n n ，这样的n 的个数是( )
A 、2
B 、1
C 、3
D 、4 15、已知a 、b 都是负实数，且
0111=--
+b a b a ，那么a
b
的值是( ) A 、
215+ B 、251- C 、2
5
1+- D 、251-- 16、已知3819-=x ，求
15
823
18262
234+-++--x x x x x x 的值.
17、已知m 、n 是一元二次方程0720012=++x x 的两个根，求)82002)(62000(22++++n m m m 的值.
18、在一个面积为l 的正方形中构造一个如下的小正方形: 将正方形的各边n 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为3281
1
，求n 的值.
19、已知方程0132=+-x x 的两根α、β也是方程024=+-q px x 的根，求p 、q 的值.
20、如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且S △ABC =n S 矩形PQRS ，其中n 为不小于3的自然数．求证: AB
BS
需为无理数.
参考答案
第二讲 判别式——二次方程根的检测器
为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性: 如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等. 我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用:
利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；
运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题. 【例题求解】
【例1】 已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 . (广西中考题)
思路点拨: 利用判别式建立关于k 的不等式组，注意k 21-、1+k 的隐含制约. 注: 运用判别式解题，需要注意的是:
(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；
(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识.
【例2】 已知三个关于y 的方程: 02=+-a y y ，012)1(2=++-y y a 和012)2(2=-+-y y a ，若其中至少有两个方程有实根，则实数a 的取值范围是( ) （山东省竞赛题）
A 、2≤a
B 、41≤
a 或21≤≤x C 、1≥a D 、14
1
≤≤a 思路点拨: “至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于a 的不等式组，综合判断
选择.
【例3】 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x ，
(1)求证: 无论k 取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC 的一边长a ＝1，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长. (湖北省荆门市中考题)
思路点拨: 对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分c b =或b 、c 中有一个与c 相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出b 、c 的值.
注: （1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍.
（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法.
【例4】 设方程42=+ax x ，只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根. (重庆市竞赛题)
思路点拨: 去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零.
【例5】已知: 如图，矩形ABCD 中，AD ＝a ，DC ＝b ，在 AB 上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE ＝x ，问: 这样的点E 是否存在?若存在， 这样的点E 有几个?请说明理由. (云南省中考题)
思路点拨: 要使Rt △ADE 、Rt △BEC 、Rt △ECD 彼此相似，点E 必须满足∠AED+∠BEC ＝90°，为此，可设在AE 上存在满足条件的点E 使得Rt △ADE ∽Rt △BEC ，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点E 的存在与否及存在的个数.
注: 有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有:
(1)利用根的定义构造； (2)利用根与系数关系构造； (3)确定主元构造.
判别式——二次方程根的检测器学力训练
1、已知014=+++b a ，若方程02=++b ax kx 有两个相等的实数根，则k = .
2、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 .
(辽宁省中考题)
3、已知关于x 方程0422=++-k x k x 有两个不相等的实数解，化简4
422+-+
--k k k = .
4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A 、43<
m B 、43≤m C 、43>m 且2≠m D 、4
3
<m 且2±≠m (山西省中考题)
5、已知一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B ＝90°，那么关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况为( )
A 、有两个相等的实数根
B 、没有实数根
C 、有两个不相等的实数根
D 、无法确定 (河南省中考题)
6、如果关于x 的方程0)1(2)2(2=+---m x m x m 只有一个实数根，那么方程0)4()2(2=-++-m x m mx 的根的情况是( )
A 、没有实数根
B 、有两个不相等的实数根
C 、有两个相等的实数根
D 、只有一个实数根 (2003年河南省中考题)
7、在等腰三角形ABC 中，∠ A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3=a ，b 和c 是 关于x 的方程02
122=-++m mx x 的两个实数根，求△ABC 的周长. (济南市中考题)
8、已知关于x 的方程063)2(22=-+-+m x m x
(1)求证: 无论m 取什么实数，方程总有实数根；
(2)如果方程的两实根分别为1x 、2x ，满足1x =32x ，求实数m 的值. (盐城市中考题)
9、a 、b 为实数，关于x 的方程22=++b ax x 有三个不等的实数根.
(1)求证: 0842=--b a ；
(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°； (3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a 和b 的值. (江苏省苏州市中考题)
10、关于的两个方程03242=+++m mx x ，0)12(22=+++m x m x 中至少有一个方程有实根，则m 的取值范围是 . (2002年四川省竞赛题)
11、当a = ，b = 时，方程0)2443()1(2222=++++++b ab a x a x 有实数根. (全国初中数学联赛试题)
12、若方程a x x =-52有且只有相异二实根，则a 的取值范围是 .
13、如果关于x 的方程05)2(22=+++-m x m mx 没有实数根，那么关于x 的方程
0)2(2)5(2=++--m x m x m 的实根的个数( ) A 、2 B 、1 C 、0 D 、不能确定
14、已知一元二次方程02=++c bx x ，且b 、c 可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有( ) A 、12个 B 、10个 C 、7个 D 、5个 (河南省中考题)
15、已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且满足方程0)(22222=+---b x b a c ax ，则方程根的情况是( ) A 、有两相等实根 B 、有两相异实根 C 、无实根 D 、不能确定 (河北省竞赛题) 16、若a 、b 、c 、d>0，证明: 在方程
02212=+++cd x b a x ①；022
1
2=+++ad x c b x ②；02212=+++ab x d c x ③；022
1
2=+++bc x a d x ④中，至少有两个方程有两个不相等的实数根. (湖北省黄冈市竞赛题)
17、已知三个实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，abc ＝1，求证: a 、b 、c 中至少有一个大于2
3.
18、关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求整数是的值. (山东省竞赛题)
19、考虑方程b a x x =+-22)10(①
(1)若a =24，求一个实数b ，使得恰有3个不同的实数x 满足①式.
(2)若a ≥25，是否存在实数b ，使得恰有3个不同的实数x 满足①式?说明你的结论. (国家理科实验班招生试题)
20、如图，已知边长为a 的正方形ABCD 内接于边长为b 的正方形EFGH ，试求
a
b
的取值范围.
参考答案
第三讲 充满活力的韦达定理
一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在: 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值；
利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等.
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路.
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法. 【例题求解】
【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 . 思路点拨: 所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b
a
a b +的值为( ) A 、
22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22
123
或2
思路点拨: 可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件.
注: 应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表
示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧:
(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式.
【例3】 已知关于x 的方程: 04
)2(2
2
=---m x m x
(1)求证: 无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根.
(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x .
思路点拨: 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手.
【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值.
思路点拨: 利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的.
注: 应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别
式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性. 【例5】 已知: 四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程04
7)2
1(222=+
-+-m mx x 的两个根.
(1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由.
(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长．
思路点拨: 对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式.
注: 在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．
充满活力的韦达定理学历训练
1、(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式14
212
1<-+x x x x ，
则实数m 取值范围是 .
(2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 .
2、已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 .
3、CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 .
4、设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( ) A ．1，-3 B ．1，3 C ．-1，-3 D ．-1，3
5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( ) A ．
23 B ．2
5
C ．5
D ．2 6、方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)
1)(1(21++x x p
的值是( )
A ．1
B ．-l
C ．21-
D ．2
1
7、若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式: )1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断
4)(2≤+b a 是否正确?
8、已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x . (1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；
(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足: 312=+x x ，求k 的值.
9、已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 .
10、已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 .
11、△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 .
12、两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则b
a
a b +的值是( )
A ．9413
B ．
1949413 C ．999413 D ．97
9413
13、设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )
A ．0232=---m x x
B ．0232=--+m x x
C ．02412=---x m x
D ．02412=+--x m x
14、如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )
A ．0≤m ≤1
B ．m ≥
43 C ．143≤<m D ．4
3
≤m ≤1
15、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根.
(1)求rn 的值；
（2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的3
1
，请说
明理由．
16、设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x .
(1) 若62
2
21=+x x ，求m 的值. （2）求2
2
212111x mx x mx -+-的最大值.
17、如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2: BC 2＝2: 1；又关于x 的方程012)1(24
122
=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值.
18、设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值.
参考答案
第四讲 明快简捷—构造方程的妙用
有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是: 1．利用根的定义构造
当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根． 2．利用韦达定理逆定理构造
若问题中有形如a y x =+，b xy =的关系式时，则x 、y 可看作方程02=+-b az z 的两实根． 3．确定主元构造
对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程． 成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果．
注: 许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法． 【例题求解】
【例1】 已知x 、y 是正整数，并且23=++y x xy ，12022=+xy y x ，则=+22y x ．
思路点拨 xy y x y x 2)(222-+=+，变形题设条件，可视y x +、xy 为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解．
【例2】 若1≠ab ，且有09200152=++a a 及05200192=++b b ，则b
a
的值是( ) A ．
59 B ．95
C ．52001-
D ．9
2001-
思路点拨 第二个方程可变形为092001
52=++b b ，这样两个方程具有相同的结构，从利用定义构造方程入手．
【例3】 已知实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，求t 的取值范围．
思路点拨 由两个等式可求出b a +、ab 的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间．
【例4】 已知实数a 、b 、c 满足2=++c b a ，4=abc ． (1)求a 、b 、c 中最大者的最小值； (2)求3=++c b a 的最小值．
思路点拨 不妨设a ≥b ，a ≥c ，由条件得a c b -=+2，a
bc 4
=
．构造以b 、c 为实根的一元二次方程，通过△≥0探求a 的取值范围，并以此为基础去解(2)．
注: 构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式△≥0，建立含参数的不等式， 缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用．
【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数． (2003年全国初中数学联赛试题)
思路点拨 设前后两个二位数分别为x ，y ，则有y x y x +=+100)(2，将此方程整理成关于x (或y )的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定y (或x )的取值范围．
学历训练
1．若方程01)32(22=+--x m x m 的两个实数根的倒数和是s ，则s 的取值范围是 ．
2．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5，CD ⊥AB ，已知BC 、AC 是一元二次方程0)1(4)12(2=-+--m x m x 的两个根，则m 的值是 ．
3．已知a 、b 满足0122=--a a ，0122=--b b ，则
a
b
b a += ． 4．已知012=-+αα，012=-+ββ，，则βααβ++的值为( )
A ．2
B ．-2
C ．-1
D ． 0
5．已知梯形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB ＝4，S △COD ＝9，则四边形ABCD 的面积S 的最小值为( )
A ．21
B ． 25
C ．26
D ． 36
6．如图，菱形A6CD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程的根，则m 的值为( )
A ．一3
B ．5
C ．5或一3 n 一5或3
7．已知0522=--p p ，01252=-+q q ，其中p 、q 为实数，求2
21q p +的值．
8．已知x 和y 是正整数，并且满足条件71=++y x xy ，88022=+xy y x ，求22y x +的值．
9．已知05232=--m m ，03252=-+n n ，其中m 、n 为实数，则n
m 1
-＝ ．
10．如果a 、b 、c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b 与542--=a a bc ，那么a 的取值范围是 ．
11．已知017101422522==--++y x xy y x ，则x = ，y = ．；
12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝b ，AB ＝c ，若D 、E 分别是AB 和AB 延长线上的两
点，BD=BC ，CE ⊥CD ，则以AD 和AE 的长为根的一元二次方程是 ．
13．已知a 、b 、c 均为实数，且0=++c b a ，2=abc ，求c b a ++的最小值．
14．设实数a 、b 、c 满足⎪⎩
⎪⎨⎧=+-++=+--0660
782
22a bc c b a bc a ，求a 的取值范围． 15．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，813=
∆ABC
ABCD S S 梯形，梯形的高AE=235，且40
13
11=+BC AD ． (1)求∠B 的度数；
(2)设点M 为梯形对角线AC 上一点，DM 的延长线与BC 相交于点F ，当32
3
125=∆ADM S ，求作以CF 、DF 的长为根的一元二次方程．
16．如图，已知△ABC 和平行于BC 的直线DE ，且△BDE 的面积等于定值2k ，那么当2k 与△BDE 之间满足什么关系时，存在直线DE ，有几条?
参考答案
第五讲一元二次方程的整数整数解
在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有:
从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；
从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；
从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．
注: 一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关． 【例题求解】
【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．
思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．
注: 系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．
【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么b
a
a b +的值是( ) A ．
22127 B ．22125 C ．22123 D ．22
121
思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．
【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．
思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根． 【例4】
当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；
如果没有，请说明理由．
思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．
设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．
注: 一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方
数是方程的根为有理数的充要条件．
【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．
学历训练
1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有 ．
2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝ ．
3．给出四个命题: ①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是 ．
4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、
2x ，则
21x x -= ． 5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根．(山西省竞赛题)
6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．
7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．
8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．
9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．
10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．
11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．
12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2
x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证: 1x <0,2x <0，1
x '<0,2x '< 0； (2)求证: 11+≤≤-b c b ；
(3)求b 、c 所有可能的值．
13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．
参考答案
第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程
数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道: “作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”
转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．
【例题求解】
【例1】 若051
5285222=-+-+-x x x x ，则1522--x x 的值为 ．
思路点拨 视x x 522-为整体，令y x x =-522，用换元法求出y 即可．
【例2】 若方程x x p -=-2有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是( )
A ．1->p
B ．0≤p
C ．01≤<-p
D ．01<≤-p
思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注02≥-=-x x p 的隐含制约．
注: 转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化: 实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等．
解下列方程:
（1）12
11934
82232222=+-++-++x x x x x x x
x ；。