八年级数学上册25《全等三角形》255全等三角形判定方法4(SSS)练习湘教版!
湘教版八年级数学上册《三角形全等的判定 》知识全解
《三角形全等的判定》知识全解课标要求1.探索几何的基本图形——三角形，探索全等三角形的基本性质、三角形全等的判定条件和其相互关系，及角平分线性质，进一步丰富对空间图形的认识和感受.2.在探索全等三角形的性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情合理，进一步学习有条理地思考与表达；在积累了三角形的性质的基础上，探索全等三角形的判定条件和角平分线性质及其逆运用.知识结构内容解析在一个三角形的三条边，三个角中任取三个元素，可以有下列组合；SAS、SSA、ASA、AAS、SSS、AAA，但其中SSA和AAA不能判定三角形全等。
◆如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等。
（2）可以从已知条件出发，看已知条件确定哪两个三角形可证它们全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，可采用添加辅助线的方法，构造三角形全等。
重点难点本节的重点是：掌握三角形全等的判定定理，并灵活运用。
本节的难点是：在较复杂的图形中，找出证明两个三角形全等的条件，恰当的选择判定定理，正确地书写演绎推理过程。
教法导引1．注重培养探索归纳能力经历探究三角形全等条件的过程：由全等三角形的定义可以知道，由三条边对应相等、三个角对应相等能判定三角形全等，那么减少条件能否判定三角形全等呢？于是，依次探究：满足一个条件、两个条件、三个条件、……能否判定三角形全等．通过探究得到：满足一个条件、两个条件不能判定三角形全等；满足三个条件不一定能判定三角形全等，即“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”能判定三角形全等，“边边角”、“角角角”不能判定三角形全等．将三角形全等的判定方法运用于直角三角形，可以判定直角三角形全等；但对于满足斜边和直角边对应相等的两个直角三角形，就无法运用三角形全等的判定方法来进行判断了，因此应探究“斜边、直角边”能否判定直角三角形全等．2．注重培养推理能力本章要求学生有理有据地推理论证，精炼准确地表达推理过程，这对于学生比较困难，因此我们在教学中应采取以下措施突破难点：（1）注意减缓坡度，循序渐进．精心选择全等三角形的证明问题，开始阶段的例题，证明方向明确、过程简单，容易规范书写格式，主要让学生体会证明思路及格式．然后逐步增加题目的复杂程度，每一步都为下一步做准备，下一步又要注意复习前一步训练过的内容．（2）在不同的阶段，安排不同的内容，突出一个重点．先安排证明两个三角形全等，进而安排通过证明三角形全等证明两条线段或两个角相等，重点使学生熟悉证明的步骤和方法．最后安排的问题涉及前面学过的内容，重点培养学生分析问题，选择推理途径的证明能力．（3）注重分析思路注重分析思路，让学生学会思考问题．（4）注重规范书写格式注重规范书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程．3．注重联系实际从实际例子引入全等形的概念，易于学生理解概念，易于调动学生学习的积极性．从分析平分角仪器的原理引入角平分线的画法，通过确定集贸市场位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生感受理论来源于实际的需要．运用全等三角形可以解决实际中许多测量边、角的问题．学法建议学生在初一学习过三角形的相关知识，会作一个三角形等于已知三角形，本节是使学生在原有知识的基础上探索怎样判定三角形全等的判定条件及恰当地选择判定定理来判别两个三角形全等,并能灵活运用全等三角形的判定方法解决线段或者角相等的问题。
(常考题)人教版初中数学八年级数学上册第二单元《全等三角形》检测(含答案解析)(1)
一、选择题1．如图，AB ∥CD ，BE 和CE 分别平分∠ABC 和∠BCD ，AD 过点E ，且AD ⊥AB ，点P 为线段BC 上一动点，连接PE ．若AD ＝14，则PE 的最小值为（ ）A ．7B ．10C ．6D ．5 2．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）． A ．3的平方根是3B ．5是无理数C ．1的立方根是1D ．全等三角形的周长相等3．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．74．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm5．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA6．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等．若110BOC ∠=°，则A ∠的度数为( )A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒ 7．如图，ABC 的面积为26cm ，AP 垂直B 的平分线BP 于P ，则PBC 的面积为（ ）A ．21cmB ．22cmC ．23cmD ．24cm 8．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA 9．下列命题中，真命题是（ ）A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等10．下列说法正确的是（ ）①近似数232.610⨯精确到十分位；②在2，()2--，38-，2--中，最小的是38-；③如图所示，在数轴上点P 所表示的数为15-+；④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；⑤如图，在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点．A ．1B ．2C ．3D ．4 11．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）A ．1.5B ．2C ．22D ．1012．如图，在下列条件中，不能判断△ABD ≌△BAC 的条件是（ ）A ．∠D=∠C ， ∠BAD=∠ABCB ．BD=AC ， ∠BAD=∠ABC C ．∠BAD=∠ABC ， ∠BAD=∠ABCD ．AD=BC ，BD=AC二、填空题13．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是___________．14．如图所示，在ABC 中，D 是BC 的中点，点A 、F 、D 、E 在同一直线上．请添加一个条件，使BDE CDF ≌（不再添其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．你添加的条件是______15．如图，已知ABC 的周长是8，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC 于D ，且3OD =，ABC 的面积是______．16．如图所示，ABC ≅△AB C ''，20CAC ∠'=︒，BAB ∠'=___度．17．如图，AB 与CD 相交于点O ，OC ＝OD ．若要得到△AOC ≌△BOD ，则应添加的条件是__________．（写出一种情况即可）18．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，S △ABD ∶S △ACD ＝________．19．如图，ABC 的面积为215cm ，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，过点C 作CD AP ⊥于点D ，连接DB ，则DAB 的面积是______2cm ．20．如图，在ABC 中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①120EDF ∠=︒；②DM 平分EDF ∠；③DE DF AD +=；④2AB AC AE +>；其中正确的有________(请将正确结论的序号填写在横线上)．三、解答题21．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线EF 经过点C ，BF ⊥EF 于点F ，AE ⊥EF于点E ．（1）求证：△ACE ≌△CBF ；（2）如果AE 长12cm ，BF 长5cm ，求EF 的长．22．如图，AB AD =，AC AE =，CAE BAD ∠=∠．求证：B D ∠=∠．23．已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 绕点C 旋转，过点A 作AD l ⊥于D ，过点B 作BE l ⊥于E ，若6AD =，3BE =，画图并直接写出DE 的长． 24．如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，EF ∥CD ，AE ∥BC ，且AD ＝BF ．求证：AE ＝BC25．如图，∠ACB 和∠ADB 都是直角，BC ＝BD ，E 是AB 上任意一点．（1）求证：△ABC ≌△ABD ．（2）求证：CE ＝DE ．26．如图，AB CB ⊥，DC CB ⊥，点E 、F 在BC 上，BE CF =，再添加一个什么条件后可推出AF DE =，写出添加的条件并完成证明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】当EP ⊥BC 时，EP 最短，根据角平分线的性质，可知EP=EA=ED=12AD ，由AD ＝14，求出即可．【详解】解：当EP ⊥BC 时，EP 最短，∵AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥CD ，∵BE 平分∠ABC ，AE ⊥AB ，EP ⊥BC ，∴EP=EA ，同理，EP=ED ，此时，EP=12AD=12×14=7， 故选A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，熟练找到P 点位置并应用角平分线性质求EP 是解题关键． 2．C解析：C【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．【详解】A 3的逆命题是：3的平方根，是假命题；BC 、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；D 、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；故选：C ．【点睛】此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．3．C解析：C【分析】先证明△ACD ≌△BED ，得到CD=ED=2，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵AD BC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFE BDE ADC ∠=∠=∠=︒，∵AEF BED ∠=∠，∴EAF EBD ∠=∠，∵5AD BD ==，∴△ACD ≌△BED ，∴CD=ED=2，∴523AE AD ED =-=-=；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，从而进行解题．4．B解析：B【分析】过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，证明MN ⊥CD ，则MN 的长度是AB 和CD 之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM 、ON 的长度，再把它们求和即可．【详解】如图，过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，交CD 于N ，∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD ，∵AO 是∠BAC 的平分线，OM ⊥AB ，OE ⊥AC ，OE ＝3cm ，∴OM ＝OE ＝3cm ，∵CO 是∠ACD 的平分线，OE ⊥AC ，ON ⊥CD ，∴ON ＝OE ＝3cm ，∴MN ＝OM ＋ON ＝6cm ，即AB 与CD 之间的距离是6cm ，故选B【点睛】此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．5．C解析：C【分析】根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.【详解】在△OMC 和△ONC 中，OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，∴∠MOC=∠NOC ，∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，故选：C.【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.6．A解析：A【分析】由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ．【详解】解：∵点O 到ABC 三边的距离相等，∴BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，∴ ()180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠()1802OBC OCB =︒-∠+∠()1802180BOC =︒-⨯︒-∠()1802180110︒=︒-⨯-︒40=︒．故选A ．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．7．C解析：C【分析】延长AP 交BC 于E ，根据AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，即可求出△ABP ≌△BEP ，又知△APC 和△CPE 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC 的面积．【详解】解：延长AP 交BC 于E ，∵AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，∴∠ABP =∠EBP ，∠APB =∠BPE =90∘，在△APB 和△EPB 中∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩APB EPB BP BPABP EBP ∴△APB ≌△EPB (ASA )，∴APB EPB S S =△△，AP =PE ，∴△APC 和△CPE 等底同高，∴APC PCE S S =,∴PBC PCE PCE S S S =+△△△=12ABC S =1632⨯= 故选C ．【点睛】本题考查了三角形的面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出PBC PCE PCE S S S =+△△△=12ABC S ．8．A解析：A【分析】利用垂直得到90PMO PNO ∠=∠=，再由OM ON =，OP OP =即可根据HL 证明()HL ≌PMO PNO △△，由此得到答案.【详解】∵PM OA ⊥，PN OB ⊥，∴90PMO PNO ∠=∠=．∵OM ON =，OP OP =，∴()HL ≌PMO PNO △△， ∴POA POB ∠=∠，故选：A ．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等.9．D解析：D【分析】根据三角形全等的判定方法对A 、D 进行判断；利用三角形高的位置不同可对B 、C 进行判断．【详解】A 、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A 选项错误；B 、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以B 选项错误；C 、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以C 选错误；D 、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D 选项正确； 故选：D ．【点睛】本题考査了判断命题真假，以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，仔细分类讨论是解题关键．10．B【分析】根据近似数的精确度定义，可判断①；根据实数的大小比较，可判断②；根据点在数轴上所对应的实数，即可判断③；根据反证法的概念，可判断④；根据角平分线的性质，可判断⑤．【详解】①近似数232.610⨯精确到十位，故本小题错误；()22--=2=-，-=③在数轴上点P 所表示的数为1-+④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角或三个钝角”，故本小题错误；⑤在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点，故本小题正确．故选B【点睛】本题主要考查近似数的精确度定义，实数的大小比较，点在数轴上所对应的实数，反证法的概念，角平分线的性质，熟练掌握上述知识点，是解题的关键．11．B解析：B【分析】根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90︒，进而得出∆CEB ≅∆ADC ，就可以得出BE=DC ，进而求出DE 的值．【详解】∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E=∠ADC=90︒，∴∠EBC+∠BCE=90︒，∵∠BCE+∠ACD=90︒，∴∠EBC=∠DCA ，在∆CEB 和∆ADC 中，∠E=∠ADC ，∠EBC=∠DCA ，BC=AC ，∴∆CEB ≅∆ADC(AAS)，∴BE=DC=1，CE=AD=3，∴DE=EC-CD=3-1=2，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．12．B解析：B本题已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，则所加角必须是所加边和公共边的夹角对应相等才能判定两个三角形全等；【详解】A、符合AAS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；B、符合SSA，∠BAD和∠ABC不是两条边的夹角，不能判断两个三角形全等，故该选项符合题意；C、符合AAS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；D、符合SSS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形判定定理中，最容易出错的是“边角边”定理，这里强调的是夹角，不是任意角；二、填空题13．2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解【详解】解：如图由垂线段最短定理可知：当CE⊥OB时CE的长度最小∵点C在∠AOB的平分线上CD⊥OA∴CE=CD=2故答案为2【点睛】本题是基础题目解析：2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解．【详解】解：如图，由垂线段最短定理可知：当CE⊥OB时，CE 的长度最小，∵点C在∠AOB 的平分线上，CD⊥OA，∴CE=CD=2，故答案为2 ．【点睛】本题是基础题目，熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理是解题关键．14．ED=FD（答案不唯一∠E=∠CFD或∠DBE=∠DCF）【分析】根据三角形全等的判定方法SAS或AAS或ASA定理添加条件然后证明即可【详解】解：∵D是的中点∴BD=DC①若添加ED=FD在△BD解析：ED=FD（答案不唯一，∠E=∠CFD或∠DBE=∠DCF）【分析】根据三角形全等的判定方法SAS或AAS或ASA定理添加条件，然后证明即可．【详解】解：∵D是BC的中点，∴BD=DC①若添加ED=FD在△BDE和△CDF中，BD CDBDE CDF ED FD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△CDF（SAS）；②若添加∠E=∠CFD在△BDE和△CDF中，BDE CDFE CFDBD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△CDF（AAS）；③若添加∠DBE=∠DCF在△BDE和△CDF中，BDE CDF BD CDDBE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE≌△CDF（ASA）；故答案为：ED=FD（答案不唯一，∠E=∠CFD或∠DBE=∠DCF）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．15．12【分析】连接OA过O作OE⊥AB于EOF⊥AC于F根据角平分线的性质求出OE=OF=OD=3再根据三角形的面积公式求出即可【详解】解：连接OA过O作OE⊥AB于EOF⊥AC于F∵OBOC分别平分解析：12【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的性质求出OE=OF=OD=3，再根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB ， OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，OD=3，∴OE=OD=3，OF=OD=3，∵△ABC 的周长是8，∴AB+BC+AC=8，∴△ABC 的面积S=S △ABO +S △BCO +S △ACO =12×AB×OE+12×BC×OD+12×AC×OF =12×AB×3+12×BC×3+12×AC×3 =12×3×（AB+BC+AC ） =12×3×8 =12，故答案为：12．【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能根据角平分线的性质求出OE=OD=OF=3是解此题的关键．16．20【分析】根据△得到由此推出得到答案【详解】解：△∴；∵∴故答案为：20【点睛】此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等熟记性质定理是解题的关键解析：20【分析】根据ABC ≅△AB C ''得到CAB C AB ∠=∠''，由此推出CAC C AB BAB C AB ''∠'+∠=∠'+∠得到答案．【详解】解：ABC ∆≅△AB C ''，∴CAB C AB ∠=∠''；∵CAC C AB CAB '∠'+∠=∠，BAB C AB C AB '∠'+∠=∠''，∴CAC C AB BAB C AB ''∠'+∠=∠'+∠，20CAC BAB ∴∠'=∠'=︒．故答案为：20．【点睛】此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，熟记性质定理是解题的关键． 17．OA=OB （答案不唯一）【分析】全等三角形的判定方法有SASASAAASSSS 只要添加一个符合的条件即可【详解】解：OA=OB 理由是：在△AOC 和△BOD 中∴△AOC ≌△BOD （SAS ）故答案为：O解析：OA=OB ．（答案不唯一）【分析】全等三角形的判定方法有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，只要添加一个符合的条件即可．【详解】解：OA=OB ，理由是：在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD （SAS ）．故答案为：OA=OB ．（答案不唯一）【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的发散思维能力和对全等三角形的判定方法的灵活运用能力，题目答案不唯一，是一道比较好的题目．18．4:3【分析】利用角平分线的性质可得出△ABD 的边AB 上的高与△ACD 的边AC 的高相等根据三角形的面积公式即可得出△ABD 与△ACD 的面积之比等于对应边之比；【详解】∵AD 是△ABC 的角平分线∴设△解析：4:3【分析】利用角平分线的性质，可得出△ABD 的边AB 上的高与△ACD 的边AC 的高相等，根据三角形的面积公式，即可得出△ABD 与△ACD 的面积之比等于对应边之比；【详解】∵ AD 是△ABC 的角平分线，∴ 设△ABD 的边AB 上的高与△ACD 的边AC 的高分别为1h ，2h ，∴ 1h =2h ，∴△ABD 与△ACD 的面积之比=AB ：AC=8：6=4：3，故答案为：4：3．【点睛】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键；19．【分析】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP 平分∠CAB 证明△ADC ≌△ADE 得到CD=DE 由此得到推出即可得到答案【详解】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP 平分∠CAB ∴∠CAD=∠EAD ∵CD ⊥A解析：152 【分析】如图，延长CD 交AB 于E ，由题意得AP 平分∠CAB ，证明△ADC ≌△ADE ，得到CD=DE ，由此得到,ACD ADE BCD BED SS S S ==，推出ACD BCD ADE BED S S S S +=+，即可得到答案．【详解】如图，延长CD 交AB 于E ，由题意得AP 平分∠CAB ，∴∠CAD=∠EAD,∵CD ⊥AD ，∴∠ADC=∠ADE ，∵AD=AD ，∴△ADC ≌△ADE ，∴CD=DE ，∴,ACD ADE BCD BED SS S S ==， ∴ACD BCD ADE BED SS S S +=+， ∴12ABD ADE BED ABC S S S S =+==152， 故答案为：152． ．【点睛】此题考查三角形角平分线的作图方法，全等三角形的判定及性质，证出CD=DE 得到,ACD ADE BCD BED S S S S ==是解此题的关键．20．①③【分析】由四边形内角和定理可求出；若DM 平分∠EDF 则∠EDM=60°从而得到∠ABC 为等边三角形条件不足不能确定故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°故此可知ED=ADDF=AD 从而可解析：①③【分析】由四边形内角和定理可求出120EDF ∠=︒；若DM 平分∠EDF ，则∠EDM=60°，从而得到∠ABC 为等边三角形，条件不足，不能确定，故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD，DF=12AD，从而可证明③正确；连接BD、DC，然后证明△EBD≌△CFD，从而得到BE=FC，从而可得AB+AC=2AE，故可判断④．【详解】解：如图所示：连接BD、DC．（1）∵DE AB⊥，DF AC⊥，∴∠AED=∠AFD=90°，∵∠EAF=60°，∠EAF+∠AED+∠AFD+∠EDF=360°∴∠EDF=360°-∠EAF-∠AED-∠AFD=360°-60°-90°-90°=120°，故①正确；②由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD平分∠EDF，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°，又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=120°．∴∠ABC=60°．∵∠ABC是否等于60°不知道，∴不能判定MD平分∠EDF，故②错误；③∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°，∴ED=12AD．同理：DF=12 AD．∴DE+DF=AD．故③正确．④∵DM是BC的垂直平分线，∴DB=DC．在Rt△BED和Rt△CFD中DE DF BD DC ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．∴BE=FC ．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ，BE=FC ，∴AB+AC=2AE ．故④错误．因此正确的结论是：①③，故答案为：①③．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及四边形的内角和等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）EF=17cm ．【分析】（1）根据垂直的定义可得∠AEC=∠CFB=90°，然后求出∠EAC=∠FCB ，再利用“角角边”证明即可；（2）由全等三角形的性质可得：AE=CF ，CE=BF ，再根据线段的和差求解即可．【详解】（1）证明：在Rt △ACB 中，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°∵AE ⊥EF ，BF ⊥EF∴∠ACE+∠EAC=90°∴∠CAE=∠BCF又∵ AC=CB∴△ACE ≌△CBF(ASA)(2)由△ACE ≌△CBF 可得:AE=CF=12cm ， EC=BF=5cm ，∴EF=EC+CF=12+5=17cm ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判断方法并找出全等的条件是解题的关键．22．见解析【分析】先证明BAC DAE ∠=∠，再根据“SAS”证明ABC ADE △≌△即可．【详解】证明：CAE BAD ∠=∠，CAE EMB BAD EAB ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠．在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC ADE SAS ∴≌．B D ∴∠=∠．【点睛】题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．23．图见解析，9DE =或3DE =【分析】分直线l 不经过线段AB 和直线l 经过线段AB 两种情况画图，证明△ACD ≌△CBE 即可求出DE 的长．【详解】解：如图1∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠BCE+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中，===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6，DC=EB=3，∴DE=DC+CE=9；如图2，∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠BCE+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中，===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6，DC=EB=3，∴DE=CE-CD=3；∴9DE =或3DE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意分类画图证明全等三角形是解题关键． 24．见详解【分析】欲证明AE=BC ，只要证明△AEF ≌△BCD 即可．【详解】证明：∵EF ∥CD ，AE ∥BC ，∴∠A=∠B ，∠EFD=∠CDB ，∵AD=BF ，∴AF=DB ，在△AEF 和△BCD 中，A B AF BD EFA CDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEF ≌△BCD ，∴AE=BC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．25．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用“HL ”证明Rt △ACB ≌Rt △ADB 即可；（2）由Rt △ACB ≌Rt △ADB 得到∠CAB ＝∠DAB ，AC ＝AD ，然后利用“SAS ”可证明△ACE ≌△ADE ，从而得到CE ＝DE ．【详解】证明：（1）在Rt △ACB 和Rt △ADB 中，AB AB BC BD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ACB ≌Rt △ADB （HL ）；（2）∵Rt △ACB ≌Rt △ADB ，∴∠CAB ＝∠DAB ，AC ＝AD ，在△ACE 和△ADE 中，AC AD CAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△ADE （SAS ），∴CE ＝DE ．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，根据图形的特点确定对应相等的条件，利用：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 或HL 证明两个三角形全等由此解决问题是解题的关键．26．添加AB=CD ；证明见解析．【分析】根据线段的和差关系可得BF=CE ，故添加AB=CD 即可利用SAS 证明△ABF ≌△DCE ，根据全等三角形的性质即可得出AF=DE ．【详解】可添加AB=CD ，理由如下：∵BE=CF ，∴BE+EF=CF+EF ，即BF=CE ，∵AB CB ⊥，DC CB ⊥，∴∠B=∠C=90°，在△ABF 和△DCE 中，AB CD B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△DCE ，∴AF=DE ．【点睛】本题考查全等三角形的判断与性质，全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL 等；注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，当利用SAS判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用适当判定方法是解题关键．。
部编版八年级数学上册《全等三角形》教案及教学反思
部编版八年级数学上册《全等三角形》教案及教学反思教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够掌握：1.了解全等三角形的定义和判定方法；2.能够应用全等三角形的性质解决几何问题。
二、教学重难点1.重点：掌握全等三角形的定义和判定方法；2.难点：能够应用全等三角形的性质解决几何问题。
三、教学过程1. 导入环节（5分钟）教师出示两个相似的三角形模型，让学生观察并描述它们的相似关系。
然后询问学生“你们知道什么是全等三角形吗？它和相似三角形有什么区别呢？”引入本节课的学习内容。
2. 讲解掌握全等三角形的定义（10分钟）教师讲解什么是全等三角形，首先给出全等的定义，“两个图形如果形状和大小相等，那么就是全等的”。
然后讲解两个三角形全等的条件：“三边对应相等”、“两边一角对应相等”或“两角一边对应相等”。
3. 讲解全等三角形的性质（15分钟）教师讲解全等三角形的性质，包括三个部分：1.三边分别相等；2.三角分别相等；3.对应角相等。
4. 讲解全等三角形的判定方法（15分钟）教师讲解全等三角形的判定方法，如果确定两个三角形全等的话，就可以直接利用全等三角形的性质解决几何问题了。
判定方法有以下几种：1.SSS判定法：若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
2.SAS判定法：若两个三角形的一个角和两边对应相等，则这两个三角形全等。
3.ASA判定法：若两个三角形的一个角和两边对应相等，则这两个三角形全等。
4.AAS判定法：若两个三角形的两个角和一个边对应相等，则这两个三角形全等。
5. 练习和讲解例题（20分钟）教师让学生做一些练习题，并在讲解过程中讲解题目的解法，让学生掌握全等三角形的应用。
6. 拓展练习（5分钟）教师出示一些拓展题目，让学生自己解决问题，巩固本课的学习内容。
四、教学小结（5分钟）回顾本节课的学习内容，强调全等三角形的重要性和应用价值，鼓励学生继续深化学习。
并希望学生用全等三角形的知识解决更多实际问题。
全等三角形的判定-八年级数学上册同步精品课堂知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)
第二课时——全等三角形的判定知识点一：全等三角形的判定：判定方法内容数学语言 图形表示 注意点边边边（SSS ）三边分别相等的两个三角形全等。
可简写为“边边边”或“SSS ”在△ABC 与△DEF中：⎪⎩⎪⎨⎧===EF BC DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF边角边（SAS ）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。
可简写为“边角边”或“SAS ”在△ABC 与△DEF中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF AC D A DEAB ∴△ABC ≌△DEF用“边角边（SAS ）判定全等时，角一定是两边的夹角，否则不能判定全等。
在写条件的时候角必须写在中间。
角边角（ASA ）两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等。
可简写为“角边角”或“ASA ”在△ABC 与△DEF中：⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E B DE AB DA ∴△ABC ≌△DEF用“角边角（ASA ）判定全等时，边是两角的夹边，在书写的过程中需把边写在中间特别提示：在写全等三角形的数学语言时，等号左边写“≌”左边三角形的条件，等号右边写“≌”右边三角形的条件。
并且条件的顺序必须和判定条件顺序一致。
方法总结：【类型一：补充证全等条件】1．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DBC．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D2．如图，在△ABC和△BAD中，AC＝BD，要使△ABC≌△BAD，则需要添加的条件是（）第2题第3题A．∠BAD＝∠ABC B．∠BAC＝∠ABD C．∠DAC＝∠CBD D．∠C＝∠D3．如图，BC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（）A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD C．∠CAB＝∠DAB D．∠C＝∠D＝90°4．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AD＝CF，要使△ABC≌△DEF，则下列条件可以添加的是（）第4题第5题第7题A．∠B＝∠E B．∠A＝∠EDF C．AC＝DF D．BC∥EF5．如图，已知AB＝AE，∠EAB＝∠DAC，添加一个条件后，仍无法判定△AED≌△ABC的是（）A．AD＝AC B．∠E＝∠B C．ED＝BC D．∠D＝∠C6．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等B．一个锐角和斜边对应相等C．两条直角边对应相等D．一条直角边和斜边对应相等7．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一个条件，不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB 的是（）A．AB＝DC B．AC＝DB C．∠ABC＝∠DCB D．BC＝BD8．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（）A．AD＝CB B．∠A＝∠CC．BD＝DB D．AB＝CD【类型二：证明三角形全等】9．请将以下推导过程补充完整．如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．求证：△DCF ≌△ECF 证明：∵AD ∥BE ∴∠A ＝∠B在△ACD 和△BEC 中()⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠BC AD B A ∴△ACD ≌△BEC （ ）∴CD ＝CE （ ） ∵CF 平分∠DCE ∴ 在△DCF 和△ECF 中()⎪⎩⎪⎨⎧==CE CD CF CF ∴△DCF ≌△ECF （SAS ）10．如图，点C 在BD 上，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE ，AB ＝CD ．求证：△ABC ≌△CDE ．11．如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．12．如图，点D在线段BC上，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE：求证：△ABC≌△ADE．13．天使是美好的象征，她的翅膀就像一对全等三角形．如图AD与BC相交于点O，且AB＝CD，AD＝BC．求证：△ABO≌△CDO．14．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，DE∥AC，且DE＝BC，AC＝BD．求证：△ABC≌△BED．15．如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．求证：△ABC≌△DEC．16．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF．17．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．18．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE ＝BF．19．如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．【类型三：全等三角形的判定与性质】20．如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，∠F AC ＝40°，则∠BFE＝（）第20题第21题A．35°B．40°C．45°D．50°21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（）A．21B．24C．27D．3022．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（）第22题第23题A．3B．5C．6D．723．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．424．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．（1）求证：AB＝FE；（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△FDE；（2）连结AE，当AE⊥BF，BC＝2，AD＝1时，求AB的长．26．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．【类型四：全等三角形的应用】27．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（）第27题第28题A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS28．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（）A．带①②去B．带②③去C．带③④去D．带②④去29．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm．第29题第30题30．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB ＝OC，测得AB＝a，EF＝b，圆形容器的壁厚是（）A ．aB ．bC ．b ﹣aD ．21（b ﹣a ）一、选择题（10题）1．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（ ）第1题 第2题 第3题A ．105°B ．120°C ．115°D ．135°2．如图，已知∠C ＝∠D ＝90°，添加一个条件，可使用“HL ”判定Rt △ABC 与Rt △ABD 全等．以下给出的条件适合的是（ ）A ．∠ABC ＝∠ABDB ．∠BAC ＝∠BAD C ．AC ＝AD D ．AC ＝BC3．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．A ．①B ．②C ．③D ．①和②4．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC 的是（ ）A．∠C＝90°，AB＝6B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．AB＝5，BC＝3D．∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝45．如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是（）A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS6．如图，已知∠EAC＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠D．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（）第7题第8题A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD＝CD D．不能确定8．如图，AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（）分钟后，△CAP与△PQB全等．A．2B．3C．4D．89．把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为（）第9题第10题A．4cm B．6cm C．8cm D．求不出来10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB＝∠COD＝α，直线AC，BD 交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（6题）11．如图，线段AB，CD相交于点O，AO＝BO，添加一个条件，能使△AOC≌△BOD，所添加的条件的是．12．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝．第12题第14题13．在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是．14．在直角三角形中，存在斜边的平方等于两条直角边的平方的和。
新版湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题全等三角形的判定(SSS)教学设计
新版湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题全等三角形的判定(SSS)教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题全等三角形的判定(SSS)是本章的重要内容。
本节课主要让学生掌握全等三角形的判定方法，理解并运用SSS(Side-Side-Side)判定法判定两个三角形全等。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探索、发现和总结全等三角形的判定方法，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已具备一定的基础知识，能够理解和运用全等图形的概念，掌握了全等图形的判定方法（如AAA、SAS）。
但学生对SSS判定法理解不够深入，需要在课堂上通过实例分析和练习来进一步巩固。
三. 教学目标1.让学生理解全等三角形的概念，掌握SSS判定法。
2.培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3.提高学生分析问题、解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：SSS判定法及其应用。
2.教学难点：对SSS判定法的理解，以及如何运用SSS判定法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过展示实物和图形，引导学生直观地理解全等三角形的判定方法。
2.实例分析法：通过具体的例子，让学生掌握SSS判定法的应用。
3.小组合作学习法：让学生在小组内讨论、交流，提高学生的合作意识和解决问题的能力。
4.练习法：布置相应的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示相关图形和实例。
2.练习题：准备一些有关SSS判定法的练习题，用于课堂练习和课后巩固。
3.教学道具：准备一些三角形模型，方便学生直观地理解全等三角形的概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的三角形图形，引导学生关注三角形的全等问题。
提问：“你们认为什么样的两个三角形才能称为全等三角形？”2.呈现（10分钟）通过PPT展示全等三角形的定义和SSS判定法。
讲解SSS判定法的含义，并用实例进行解释。
八年级数学上册《全等三角形》教案
全等三角形的概念和性质
教学目标
1、说出怎样的两个图形是全等形，并会用符号表示两个三角形全等。
2、知道全等三角形的有关概念，会在两个全等三角形中正确找出对应顶点、对应边、对应角
3、会说出全等三角形的对应边、对应角相等的性质
教学准备（引导性材料）
让学生在举出（拿出、剪出图形）实际例子，感悟和感知全等图形。
每一种情况下得到的三角形都全等吗？
3、请同学们动手做一个实验：同桌两位同学为一组。
（1）共同商定画出任意一条线段AB，与两个角 、 （ ）
（2）两位同学各自在硬纸板上画线段 的长等于商定的线段AB的长，在 的同旁，画 等于商定的 ，画 等于商定的 ，设 与 相交于 ，便得△ 。
（3）用剪刀各自剪出△ ，将同桌同学剪出的两个三角形重叠在一起发现了什么？其他各桌的同学是否也有同样的结论呢？
教学后记：
全等三角形的判定（SSS）
教学目标：
1、使学生理解边边边公理的内容，能运用边边边公理证明三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件；
2、继续培养学生画图、实验，发现新知识的能力。
重点难点：
1、难点：让学生掌握边边边公理的内容和运用公理的自觉性；
2、重点：灵活运用SSS识别两个三角形是否全等。
（两个角对应相等的两个三角形相似，当这两个角的公共边相等时，这两个三角形的形状、大小都相同，即为全等三角形。）
5、范例
如图， ， ，试说明△ABC≌△DCB
解：已知 ，
又BC是公共边，由（ASA）全等识别法，
可知△ABC≌△DCB
三、巩固练习P80 练习 1、2
四、小结用采访的形式访问一些同学，本节学到什么知识，对这些知识有什么体会，对本节的知识存在着哪些疑问。
全等三角形的判定sss基础题
一、引言全等三角形是初中数学中的重要概念，对其判定方法的掌握是学生学习几何的基础。
全等三角形的判定方法有很多种，其中sss判定法是最基础的一种方法。
本文将对sss判定法进行详细介绍，帮助读者加深对全等三角形判定的理解。
二、什么是全等三角形在进行全等三角形的判定之前，首先需要了解什么是全等三角形。
全等三角形是指具有相同三边长度和三个对应角度相等的三角形。
当两个三角形能够满足这两个条件时，我们称它们是全等三角形。
三、 sss判定法的原理sss判定法是指当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这一判定法的原理基于边对应相等的性质，即三角形的三条边完全相等那么这两个三角形就是全等的。
四、 sss判定法的步骤为了更加具体地了解sss判定法的应用，我们可以简单总结为以下步骤：1. 首先比较两个三角形的三条边，确定它们是否分别相等；2. 如果两个三角形的三条边分别相等，则可以得出这两个三角形是全等的结论。
五、 sss判定法的应用举例为了更好地理解sss判定法的应用，我们来看一个具体的例子：已知△ABC和△XYZ，其中AB=XY，BC=YZ，AC=XZ。
我们要判定△ABC和△XYZ是否全等。
根据sss判定法，我们首先比较三条边的长度：1. AB=XY2. BC=YZ3. AC=XZ因为△ABC和△XYZ的三条边分别相等，所以根据sss判定法，我们可以得出结论：△ABC和△XYZ是全等的。
六、总结通过以上介绍，我们对sss判定法有了更深入的了解。
sss判定法是全等三角形判定中最基础的一种方法，但是在实际应用中仍然非常重要。
通过不断练习和应用，我们可以更加熟练地运用这一方法来判定三角形的全等性，提高自己的数学水平。
七、结语在学习数学知识的过程中，掌握全等三角形的判定方法是至关重要的。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和掌握sss判定法，为今后的学习和工作奠定坚实的数学基础。
八、sss判定法的应用场景sss判定法可以在很多实际问题中得到应用。
2022-2023学年八年级数学上册《全等三角形、角平分线的判定和性质》精讲与精练高分突破
专题强化训练一：全等三角形、角平分线的判定和性质一、单选题1．（2022·湖南·双峰县丰茂学校八年级期中）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到⊥AOB ⊥⊥COD，理由是（）A．HL B．SAS C．ASA D．SSS2．（2022·广东茂名·八年级期末）如图，OD平分AOB∠，DE AO⊥于点E，4DE=，点F是射线OB上的任意一点，则DF的最小值是（）A．6B．5C．4D．33．（2022·湖南常德·八年级期中）如图，在ABC中，⊥C=90°，按以下步骤作图：⊥以点A为圆心、适当长为半径MN的长为半径作圆弧，在⊥BAC内，作圆弧，分别交边AC，AB于点M，N；⊥分别以点M和点N为圆心，大于12两弧交于点P；⊥作射线AP交边BC于点D，若CD=3，AB=8，则ABD的面积是（）A．48B．24C．12D．64．（2022·浙江·八年级专题练习）如图所示，⊥EBC⊥⊥DCB，BE的延长线与CD的延长线交于点A，CE与BD相交于点O．则下列结论：⊥⊥OEB⊥⊥ODC；⊥AE＝AD；⊥BD平分⊥ABC，CE平分⊥ACB；⊥OB＝OC，其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，AD 与BE 相交于点F ，AD BE =，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．ABE BAD △≌△B ．ABE CBE △△≌C ．AEF BDF ≌D ．ADC BEC ≌6．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期中）如图，O 是⊥ABC 的角平分线的交点，⊥ABC 的面积和周长都为24，则点O 到BC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．（2022·全国·八年级专题练习）如图，Rt⊥ABC 中，⊥C ＝90°，AD 平分⊥BAC ，交BC 于点D ，AB ＝10，S △ABD ＝15，则CD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2022·重庆巴蜀中学八年级期末）如图，ABC 中，⊥ACB ＝60°，AG 平分⊥BAC 交BC 于点G ，BD 平分⊥ABC 交AC 于点D ，AG 、BD 相交于点F ，BE ⊥AG 交MG 的延长线于点E ，连接CE ，下列结论中正确的有（ ） ⊥若⊥BAD ＝70°，则⊥EBC ＝5°；⊥BF ＝2EF ；⊥BE ＝CE ；⊥AB ＝BG +AD ；⊥BFG AFD S BF S AF=△△．A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个9．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，AB CD ，点E 是AD 上的点，连接BE ，CE ，且90BEC ∠=︒，BE 平分ABC ∠．以下结论中：⊥E 是AD 中点，⊥AB CD BC +=，⊥AE CE =，⊥BCE CDE S BC S CD=△△，正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．（2022·全国·八年级单元测试）如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连接BF CE 、，下列说法：⊥ABD △和ACD △面积相等；⊥BAD CAD ∠=∠；⊥BDF CDE ≌；⊥BF CE ；⊥CE AE =．其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥⊥D ．⊥⊥⊥11．（2022·全国·八年级专题练习）如图，P 是⊥AOB 平分线上的点，PD ⊥OB 于点D ，PC ⊥OA 于点C ，则下列结论：⊥PC ＝PD ；⊥OD ＝OC ；⊥POC 与POD 的面积相等；⊥⊥POC ＋⊥OPD ＝90°．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．（2022·广西·钦州市第四中学八年级阶段练习）如图，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，过点P 作PR AB ⊥于点R ，作PS AC ⊥于点S ，若AQ PQ =，PR PS =，则下面三个结论：⊥AS AR =；⊥QP AR ∥；⊥BRP CSP ≅，正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥⊥13．（2022·全国·八年级专题练习）如图，BO 、CO 分别平分⊥ABC 、⊥ACB ，OD ⊥BC 于点D ，OD ＝2，⊥ABC 的周长为28，则⊥ABC 的面积为（ ）A ．28B ．14C ．21D ．714．（2022·黑龙江·肇东市第十中学八年级期末）如图，在△ABC 中，AD 平分⊥BAC ，AD ⊥BD 于点D ，DE ∥AC 交AB 于点E ，若AB =8，则DE 的长度是（ ）A ．6B ．2C ．3D ．415．（2022·广西钦州·八年级期中）如图，已知矩形纸片ABCD ，4AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则DF 的长为（ ）A ．3911B ．4513C ．175D ．5717二、填空题16．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在⊥ABC 中，⊥B ＝110°，延长BC 至点D 使CD ＝AB ，过点C 作CE ⊥AB 且使CE ＝BC ，连接DE 并延长DE 交AC 于点F ，交AB 于点H ．若⊥D ＝20°，则⊥CFE 的度数为______度．17．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学八年级期末）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高，且AD ，BE 交于点F ，若BF AC =，BD =8，3CD =，则线段AF 的长度为______．18．（2022·浙江·八年级单元测试）如图，已知⊥A ＝⊥D ，EF ⊥BC ，请在空格上添加一个适当的条件，使得⊥ABC ⊥⊥DEF ，则添加的这个条件是________（只要填上一个满足的条件即可）．19．（2022·陕西师大附中八年级期中）如图，ABC 的三边AC 、BC 、AB 长分别为4、5、6．其三条角平分线交于点O ，则::ABO BCO CAO S S S =_____．20．（2022·江苏·八年级单元测试）如图, 在 ABC 中, 90,8cm,10cm ACB AC BC ∠===．点 C 在直线 l 上, 动点 P 从 A 点出发 沿 A C → 的路径向终点 C 运动; 动点 Q 从 B 点出发沿 B C A →→ 路径向终点 A 运动．点 P 和 点 Q 分别以每秒 1cm 和 2cm 的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停 止运动, 分别过点 P 和 Q 作 PM ⊥ 直线 l 于 ,M QN ⊥ 直线 l 于 N ．当点 P 运动时间为___________秒时, PMC 与 QNC 全等．21．（2022·安徽宿州·八年级期末）如图，点A ，E ，F ，C 在一条直线上，若将DEC 的边EC 沿AC 方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE CF =，DE AC ⊥于点E ，BF AC ⊥于点F ，且AB CD =．则当点E ，F 不重合时，BD 与EF 的关系是______．22．（2021·贵州·黔西南州金成实验学校八年级阶段练习）如图，AD是⊥ABC中⊥BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC ＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．23．（2022·全国·八年级专题练习）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过_____时，由点D、E、B组成的三角形与⊥BCA全等．三、解答题24．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期中）如图，Rt⊥ABC中，⊥A＝90°，BD平分⊥ABC交AC于点D，DE⊥BC 于E，点F为AB上一点，且DF＝DC．求证：⊥AFD＝⊥C．25．（2022·云南省楚雄天人中学八年级阶段练习）如图，在⊥ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是⊥CAD 的平分线上一点，EB=EC，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．(1)求证：⊥EGB⊥⊥EFC；(2)若AB=3，AC=5，求AF的长．26．（2022·北京·101中学八年级阶段练习）在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，⊥DAE=⊥BAC，连接CE．(1)如图1，当点D在线段CB上，且⊥BAC=90°时，那么⊥DCE= 度；(2)设⊥BAC=α，⊥DCE=β．⊥ 如图2，当点D在线段CB上，⊥BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；⊥ 如图3，当点D在线段CB的延长线上，⊥BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接．．写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．27．（2022·吉林·东北师大附中明珠学校八年级期末）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．(1)连接BI、CE，求证：△ABI⊥⊥AEC；(2)过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．请利用（1）的结论，直接写出图中与正方形ABDE的面积相等的四边形，它是四边形．(3)应用：若MN＝4，NH＝3，正方形ABDE的边长是．28．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，Rt⊥ACB中，⊥ACB＝90°，AC＝BC，E点为线段CB一动点，连接AE，过点A作AF⊥AE且AF＝AE，过点F作FD⊥AC于点D，如图⊥所示．(1)求证：FD＝AC．(2)若点E为BC中点，连BF交AC于点G，如图⊥，已知CG＝1，求BC的长．29．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB 于点H．(1)求证：180ADC B ∠+∠=︒；(2)若AD ＝3，AB ＝8，求AH 的长．30．（2022·四川·富顺第二中学校八年级阶段练习）在直线m 上依次取互不重合的三个点D ，A ，E ，在直线m 上方有AB ＝AC ，且满足⊥BDA ＝⊥AEC ＝⊥BAC ＝α．(1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE ，BD ，CE 之间的数量关系是 ；(2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．31．（2022·河北·丰宁满族自治县选将营中学八年级期中）在△ABC 中，△ACB =90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当MN绕点C旋转到图1的位置时，其他条件不变，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系？写出结论，并写出证明过程.(2)当MN绕点C旋转到图2的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请写出你的结论，并加以证明；(3)当MN绕点C旋转到图3的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请直接写出结论，（不要求写出证明过程）．参考答案：1．A【分析】由AC⊥BD，可得⊥AOB=⊥COD=90°，根据斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等，可得答案．【详解】解：由AC⊥BD，可得⊥AOB=⊥COD=90°，⊥⊥AOB和⊥COD是直角三角形，AO＝CO，AB＝CD，直角边和斜边对应相等，所以用的是斜边和直角边对应相等的方法判定的⊥AOB ⊥⊥COD，故选A．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，准确掌握方法的适用情况是解题的关键．2．C【分析】根据角平分线的性质及点到直线的距离——垂线段最短即可．【详解】解：根据角平分线的性质定理可知，当DF垂直OB时，DF的值最小，最小值为DF=DE=4，故选：C．【点睛】本题考查角平分线的性质定理及点到直线的距离——垂线段最短．3．C【分析】利用基本作图得到AD平分⊥BAC，过D点作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝3，然后利用三角形面积公式求解．【详解】解：由作法得AD平分⊥BAC，过D点作DH⊥AB于H，如图，⊥⊥C＝90°，⊥DC⊥AC，⊥AD平分⊥BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，⊥DH＝DC＝3，⊥⊥ABD的面积12=⨯AB×DH12=⨯8×3＝12．故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线的作图和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．【分析】根据全等三角形的性质可得⊥EBC ＝⊥DCB ，BE ＝CD ，⊥BEC ＝⊥CDB ，⊥DBC ＝⊥ECB ，易证⊥OEB ⊥⊥ODC（AAS ），根据全等三角形的性质依次进行判断即可．【详解】解：⊥⊥EBC ⊥⊥DCB ，⊥⊥EBC ＝⊥DCB ，BE ＝CD ，⊥BEC ＝⊥CDB ，⊥DBC ＝⊥ECB ，在⊥OEB 和⊥ODC 中，EOB DOC BEC CDB BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥⊥OEB ⊥⊥ODC （AAS ），故⊥选项符合题意；⊥⊥EBC ＝⊥DCB ，⊥AB ＝AC ，⊥BE ＝CD ，⊥AE ＝AD ，故⊥选项符合题意；没有足够的条件证明⊥EBO ＝⊥OBC ，⊥DCO ＝⊥OCB ，故⊥选项不符合题意；⊥⊥ECB ＝⊥DBC ，⊥OB ＝OC ，故⊥选项符合题意，综上，符合题意的选项有⊥⊥⊥，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．5．B【分析】先利用HL 判断Rt ⊥ABE ⊥⊥Rt ⊥BAD ，则可对A 选项进行判断；由于BA 与BC 不一定相等，所以不能确定⊥ABE 与⊥CBE 全等，则可对B 选项进行判断；由于Rt ⊥ABE ⊥⊥Rt ⊥BAD ，则AE ＝BD ，则可根据AAS 证明⊥AEF ⊥⊥BDF ，⊥AEF ⊥⊥BDF ，从而可对C 、D 选项进行判断．【详解】解：⊥AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，⊥⊥AEB ＝⊥BDA ＝90°，在Rt ⊥ABE 和Rt ⊥BAD 中，AB BA BE AD⎧⎨⎩＝＝， ⊥Rt ⊥ABE ⊥⊥Rt ⊥BAD （HL ），所以A 选项不符合题意；⊥⊥ABE 与⊥CBE 不一定全等，所以B 选项符合题意；⊥Rt ⊥ABE ⊥⊥Rt ⊥BAD ，⊥AE ＝BD ，在⊥AEF 和⊥BDF 中，AFE BFD AEF BDF AE BD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ⊥⊥AEF ⊥⊥BDF （AAS ），所以C 选项不符合题意；在⊥ADC 和⊥BEC 中，ACD BCE ADC BED AD BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥⊥AEF ⊥⊥BDF （AAS ），所以D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．6．B【分析】设点O 到BC 的距离为x ，根据角平分线的性质定理可得点O 到AB ，BC ，AC 的距离相等，都等于x ，再根据111222ABC S AB x BC x AC x =⋅+⋅+⋅△，即可求解． 【详解】解：设点O 到BC 的距离为x ，⊥O 是⊥ABC 的角平分线的交点，⊥点O 到AB ，BC ，AC 的距离相等，都等于x ，⊥⊥ABC 的面积为24，周长为24， ⊥()11111242422222ABC S AB x BC x AC x AB BC AC x =⋅+⋅+⋅=++=⨯=， 解得：x =2．即点O 到BC 的距离为2．故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键． 7．B【分析】过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE ＝CD ，然后利用⊥ABD 的面积列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，⊥⊥C ＝90°，AD 平分⊥BAC ，⊥S △ABD ＝12AB •DE ＝12×10•DE ＝15，解得：DE ＝3，⊥CD ＝3.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．8．B【详解】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求⊥ABD ＝⊥DBC ＝25°，⊥BAG ＝⊥CAG ＝35°，由外角的性质和直角三角形的性质可求⊥EBC ＝5°，故⊥正确；同理可求⊥BFE ＝60°，由直角三角形的性质可得BF ＝2EF ，故⊥正确；由“ASA ”可证⊥ABE ⊥⊥AHE ，可得BE ＝EH ，由直角三角形的性质可得EC ≠BE ，故⊥错误；由“SAS ”可证⊥BFN ⊥⊥BFG ，可得⊥BFN ＝⊥BFG ＝60°，由“ASA ”可证⊥AFD ⊥⊥AFN ，可得AD ＝AN ，即AB ＝BG +AD ，故⊥正确；由角平分线的性质可得NQ ＝NP ，由全等三角形的性质可得S △BFN ＝S △BFG ，S △AFD ＝S △AFN ，可得BFG AFD S BF S AF△△，故⊥正确，即可求解．【解答】解：⊥⊥⊥ACB ＝60°，⊥BAD ＝70°，⊥⊥ABC ＝50°，⊥AG 平分⊥BAC ，BD 平分⊥ABC ，⊥⊥ABD ＝⊥DBC ＝25°，⊥BAG ＝⊥CAG ＝35°，⊥⊥BFE ＝60°，⊥BE ⊥AG ，⊥⊥FBE ＝30°，⊥⊥EBC ＝5°，故⊥正确；⊥⊥ACB ＝60°，⊥⊥BAD +⊥ABC ＝120°，⊥AG 平分⊥BAC ，BD 平分⊥ABC ，⊥⊥ABD ＝⊥DBC ＝12⊥ABC ，⊥BAG ＝⊥CAG ＝12⊥BAC ，⊥⊥BFE ＝⊥ABD +⊥BAG ＝12（⊥ABC +⊥BAC ）＝60°，⊥BE ⊥AG ，⊥BF＝2EF，故⊥正确；⊥如图，延长BE，AC交于点H，⊥⊥BAE＝⊥CAE，AE＝AE，⊥AEB＝⊥AEH＝90°，⊥⊥ABE⊥⊥AHE（ASA），⊥BE＝EH，⊥BC≠AC，⊥EC≠BE，故⊥错误；⊥如图，在AB上截取BN＝BG，连接NF，⊥BN＝BG，⊥ABD＝⊥CBD，BF＝BF，⊥⊥BFN⊥⊥BFG（SAS），⊥⊥BFN＝⊥BFG＝60°，⊥⊥AFD＝⊥AFN＝60°，又⊥⊥BAG＝⊥CAG，AF＝AF，⊥⊥AFD⊥⊥AFN（ASA），⊥AD＝AN，⊥AB＝BG+AD，故⊥正确；⊥如图，过点N作NP⊥BF于P，NQ⊥AF于Q，⊥⊥AFN ＝⊥BFN ＝60°，NP ⊥BF ，NQ ⊥AF ，⊥NP ＝NQ ，⊥S △AFN ＝12×AF ×NQ ，S △BFN ＝12×BF ×NP ， ⊥BFG AFD S BF S AF =△△， ⊥⊥BFN ⊥⊥BFG ，⊥AFD ⊥⊥AFN ，⊥S △BFN ＝S △BFG ，S △AFD ＝S △AFN ， ⊥BFG AFD S BF S AF=△△，故⊥正确， 故选：B ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．9．B【分析】延长BE 交CD 的延长线于点F ，证明∆ABE ≅∆DFE ，得出AE =DE ，AB =DF ，即可判断⊥和⊥正确；过点E 作EM ⊥BC 于点M ，EN ⊥CD 于点N ，由角平分线的性质定理即可判断⊥⊥．【详解】解：延长BE 交CD 的延长线于点F ，⊥AB ⊥CD ，⊥⊥ABE =⊥F ，⊥BE 平分⊥ABC ，⊥⊥ABE =⊥CBE ，⊥⊥BEC =90°，⊥CE ⊥BF ，⊥⊥BCE =⊥FCE ，BE =EF ，⊥⊥AEB =⊥FED ，⊥∆ABE ≅∆DFE ，⊥AE =DE ，AB =DF ，故⊥正确；⊥CF =CD +DF ，⊥BC =CD +AB ，故⊥正确；⊥⊥EDC ≠⊥ECD ，⊥ED ≠EC ，故⊥错误；过点E 作EM ⊥BC 于点M ，EN ⊥CD 于点N ，⊥CE 平分⊥BCD ，⊥EM =EN ， ⊥1·21·2BCE CDE BC EM SBC S CD CD EN ==，故⊥正确； 故选：B ．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．10．C【分析】由三角形中线性质，把三角形分成面积相等的两个三角形，可判定⊥正确；利用SAS 证△BDF ⊥△CDE ，可判定⊥正确，由△BDF ⊥△CDE 得出⊥F =⊥CED ，由平行线的判定定理可得出BF ∥CE ，可判定⊥正确；因为AD 是ABC 的中线，而△ABC 不一定是等腰三角形，所以AD 就不一定平分⊥BAC ，可判定⊥错误；没有条件能证得⊥CAE =⊥ACE ，所以也就不能得出AE =CE ，可判定⊥错误．【详解】解：⊥AD 是ABC 的中线，⊥S △ABD = S △ACD，故⊥正确；在△BDF 和△CDE 中，BD CD BDF CDE DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥△BDF ⊥△CDE (SAS)，故⊥正确；⊥⊥F =⊥CED ，⊥BF ∥CE ，故⊥正确；⊥AD 是ABC 的中线，没有AB =AC 这个条件，所以AD 不一定是角平分式，故⊥错误；没有条件能证得⊥CAE =⊥ACE ，所以也就不能得出AE =CE ，故⊥错误；综上，正确的有⊥⊥⊥，故选：C ．【点睛】本题考查三角形中线性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，证△BDF ⊥△CDE 是解题的关键． 11．D【分析】根据已知条件，可得⊥OCP ⊥⊥ODP （AAS ），根据全等三角形的性质即可判断．【详解】解：⊥P 是⊥AOB 平分线上的点，⊥⊥COP =⊥DOP ，⊥PD ⊥OB 于点D ，PC ⊥OA 于点C ，⊥⊥OCP =⊥ODP =90°，在⊥OCP 和⊥ODP 中，COP DOP OCP ODP OP OP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥⊥OCP ⊥⊥ODP （AAS ），⊥PC =PD ，OC =OD ，故⊥⊥选项符合题意，⊥⊥OCP ⊥⊥ODP （AAS ），⊥⊥POC 与⊥POD 的面积相等，故⊥选项符合题意；⊥⊥OCP ⊥⊥ODP （AAS ），⊥⊥OPD =⊥OPC ，⊥⊥POC +⊥OPC =90°，⊥⊥POC +⊥POD =90°，故⊥选项符合题意；综上可知，⊥⊥⊥⊥均符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．12．C【分析】根据角平分线的判定，先证AP 是⊥BAC 的平分线，再证Rt ⊥APR ⊥Rt ⊥APS (HL)，可证得AS =AR ，QP AR ∥成立．【详解】解：如图：连接AP ，⊥PR =PS ，⊥AP 是⊥BAC 的平分线，在Rt ⊥APR 与Rt ⊥APS 中，==AP AP PR PS ⎧⎨⎩⊥Rt ⊥APR ⊥Rt ⊥APS (HL)，⊥AS =AR ，故⊥正确；⊥AQ =PQ ，⊥⊥BAP =⊥QAP =⊥QP A ，⊥QP AR ∥，⊥正确；BC 只是过点P ，并没有固定，故⊥BRP ⊥⊥CSP ⊥不成立．故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，难度适中．13．A【分析】连接OA ，过点O 作OE AB ⊥于点E ，作OF AC ⊥于点F ，则由角平分线的性质定理得：OE =OF =OD =2，再由ABC OAB OBC OCA S S S S =++△△△△即可求得结果．【详解】解：连接OA ，过点O 作OE AB ⊥于点E ，作OF AC ⊥于点F ，如图⊥BO 平分DBA ∠，OE AB ⊥，OD BC ，在BOD 和BOE △中，90OEB ODB OBE OBD BO BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥()BOD BOE AAS △≌△，⊥OE =OD =2同理：OF =OD =2⊥OE =OF =OD =2⊥ABC OAB OBC OCA S S S S =++△△△△111222AB OE BC OD AC OF =++ ()12AB BC AC OD =++ =12822⨯⨯ =28⊥28ABC S =△故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线．14．D【分析】分别延长AC 、BD 交于点F ，根据角平分线的性质得到⊥BAD =⊥F AD ，证明△BAD ⊥⊥F AD ，根据全等三角形的性质得到BD =DF ，根据平行线的性质得到BE =ED，EA =ED ，进一步计算即可求解．【详解】解：分别延长AC 、BD 交于点F ，⊥AD 平分⊥BAC ，AD ⊥BD ，⊥⊥BAD =⊥F AD ，⊥ADB =⊥ADF =90°，在△BAD 和△F AD 中，90BAD FAD AD AD ADB ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，⊥⊥BAD ⊥⊥F AD （ASA ），⊥⊥ABD =⊥F ，⊥DE ∥AC ，⊥⊥EDB =⊥F ，⊥EDA =⊥F AD ，⊥⊥ABD =⊥EDB ，⊥EDA =⊥EAD ，⊥BE =ED ，EA =ED ，⊥BE =EA =ED ，⊥DE =12AB =12×8=4， 故选：D ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15．C【分析】根据折叠的性质与矩形的性质得到DC=DE =4，CP=EP ，90∠=∠=︒E C ，再由三角形全等的判定定理与性质可得OE=OB ，EF=BP ，从而有BF=EP=CP ，设BF=EP=CP=x ，可得用x 表示的AF 、DF 的长，再有勾股定理求得x 的值从而得到DF 的长．【详解】解：由矩形的性质得到：DC=AB=4，AD=BC=3，90A B C ∠=∠=∠=︒，由折叠的性质，得：DC=DE =4，CP=EP ，90∠=∠=︒E C ，在OEF OBP △、△中，EOF BOP E BOF OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， OEF OBP ∴△≌△OE OB EF BP ∴==、，⊥BF=EP=CP设BF=EP=CP=x ，则AF=4-x ，BP=EF=3-x ，DF =DE -EF =4-（3-x ）=x +1，在Rt ADF 中，222AF AD DF += ，即22491x x -+=+（）（）， 125x ∴=， 1715DF x ∴=+= 【点睛】本题考查了矩形得性质，折叠的性质，三角形的判定定理与性质，勾股定理等性质，利用三角形全等的判定定理与性质与线段的和差求出BF=EP=CP 是关键．16．30【分析】证明⊥ABC ⊥⊥DCE ，可得⊥A =⊥D = 20°，然后利用三角形内角和可得⊥DEC =⊥ACB = 50°，进而可以解决问题．【详解】解：⊥CE ⊥AB ，⊥⊥B ＝⊥DCE ，在⊥ABC 与⊥DCE 中，BC CE B DCE BA CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥ABC ⊥⊥DCE （SAS ），⊥⊥A ＝⊥D ＝20°，⊥DEC ＝⊥ACB ，⊥⊥B ＝110°，⊥⊥ACB ＝180°﹣⊥B +⊥A ＝50°，⊥⊥DEC ＝⊥ACB ＝50°，⊥CE ⊥AB ，⊥⊥BHF ＝⊥DEC ＝50°，⊥⊥CFE ＝⊥AFH ＝⊥BHF ﹣⊥A ＝50°﹣20°＝30°．故答案为：30．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到⊥ABC ⊥⊥DCE ．17．5【分析】首先证明⊥BDF ⊥⊥ADC ，再根据全等三角形的性质可得FD =CD ，AD =BD ，根据AD =8，DF =3，即可算出AF 的长．【详解】解：⊥AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高，⊥⊥ADC =⊥FDB =90°，⊥AEB =90°，⊥⊥1+⊥C =90°，⊥1+⊥2=90°，⊥⊥2=⊥C ，⊥⊥2=⊥3，⊥⊥3=⊥C ，在⊥ADC 和⊥BDF 中，3C FDB CDA BF AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥BDF ⊥⊥ADC （AAS ），⊥FD =CD ，AD =BD ，⊥CD =3，BD =8，⊥AD =8，DF =3，⊥AF =8-3=5，故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．18．AC ＝DF 或AF ＝CD （答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可．【详解】解：⊥EF ⊥BC ，⊥⊥EFD ＝⊥ACB ，⊥⊥D ＝⊥A ，⊥当DF ＝AC 时，⊥ABC ⊥⊥DEF （ASA ），⊥可以添加条件：AC ＝DF 或AF ＝CD ．故答案为：AC ＝DF 或AF ＝CD (答案不唯一)．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定定理．19．6：5：4【分析】作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，根据角平分线的性质得到OD =OE =OF，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，⊥三条角平分线交于点O ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，OF ⊥BC ，⊥OD =OE =OF ，⊥::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆=AB ：BC ：CA =6：5：4，故答案为：6：5：4．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．20．2或6##6或2【分析】对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】解：如图1所示：PMC ∆与QNC ∆全等，PC QC ，8102t t ∴-=-，解得⊥2t =；如图2所示：点P 与点Q 重合， PMC 与QNC ∆全等，8210t t ∴-=-，解得⊥6t =；故答案为⊥2或6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．21．BD与EF互相平分【分析】先根据DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求证⊥ABF⊥⊥CDE，再求证⊥DEG⊥⊥BFG，即可．【详解】⊥DE⊥AC，BF⊥AC，⊥⊥AFB=⊥CED=90°⊥AE=CF，⊥AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt⊥ABF和Rt⊥CDE中，AF CEAB CD=⎧⎨=⎩，⊥Rt⊥ABF⊥Rt⊥CED（HL），⊥ED=BF．设EF与BD交于点G，由⊥AFB=⊥CED=90°得DE⊥BF，⊥⊥EDG=⊥GBF，⊥⊥EGD=⊥FGB，ED=BF，⊥⊥DEG⊥⊥BFG，⊥EG=FG，DG=BG，⊥BD与EF互相平分．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是需要证明多次全等，步骤繁琐，是一道综合性较强的中档题．22．3【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过D作DF⊥AC于F，⊥AD是⊥ABC中⊥BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，⊥DE=DF，⊥S △ABC =12AB ×DE +12AC ×DF =12×4×2+12AC ×2=7，解得AC =3．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．23．0，3，9，12【分析】首先分两种情况：当E 在线段AB 上和当E 在BN 上，然后再分成两种情况：AC ＝BE 和AB ＝EB ，分别进行计算，即可得出结果．【详解】解：⊥当E 在线段AB 上，AC ＝BE 时，⊥ACB ⊥⊥BED ，⊥AC ＝6米，⊥BE ＝6米，⊥AE ＝12﹣6＝6米，⊥点E 的运动时间为6÷2＝3（秒）；⊥当E 在BN 上，AC ＝BE 时，⊥ACB ⊥⊥BED ，⊥AC ＝6米，⊥BE ＝6米，⊥AE ＝12+6＝18米，⊥点E 的运动时间为18÷2＝9（秒）；⊥当E 在线段AB 上，AB ＝EB 时，⊥ACB ⊥⊥BDE ，这时E 在A 点未动，因此时间为0秒；⊥当E 在BN 上，AB ＝EB 时，⊥ACB ⊥⊥BDE ，⊥AB ＝12米，⊥BE ＝12米，⊥AE ＝12+12＝24米，⊥点E 的运动时间为24÷2＝12（秒），故答案为：0，3，9，12．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在找到所有符合题意的情况．24．见解析【分析】利用HL 证明Rt ADF ⊥Rt EDC ，即可解决问题．【详解】证明：BD 平分ABC ∠，90A ∠=︒，DE BC ⊥，⊥DA DE =，在Rt ADF 和Rt EDC 中，DF DC DA DE=⎧⎨=⎩， Rt ADF ∴⊥Rt (HL)EDC ，AFD C ∴∠=∠．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，得到Rt ADF ⊥Rt EDC 是解决问题的关键． 25．(1)见解析(2)AF 的长为1【分析】（1）先证明⊥AGE ⊥⊥AFE ，即有EG =EF ，结合EB =EC ，即可得Rt ⊥EGB ⊥Rt ⊥EFC ；（2）根据Rt ⊥EGB ⊥Rt ⊥EFC ，⊥AGE ⊥⊥AFE ，可得BG =FC ，AG =AF ，根据AC =5，AC =AF +FC ，BG =AB +AG ，可得AF +FC =AF +BG =AF +AB +AG =2AF +AB =5，即可得2AF +3=5，AF 可求．（1）解：⊥EG ⊥AD ，EF ⊥AC ，⊥⊥EGB =90°=⊥EFC ，⊥⊥EGB 和⊥EFC 是直角三角形，⊥AE 平分⊥CAD ，⊥⊥EAG =⊥EAF ，⊥EA =EA ，⊥⊥AGE ⊥⊥AFE ，⊥EG =EF ，⊥EB =EC ，⊥Rt ⊥EGB ⊥Rt ⊥EFC (HL )，得证；（2）解：⊥在（1）中证得：Rt ⊥EGB ⊥Rt ⊥EFC ，⊥AGE ⊥⊥AFE ，⊥BG =FC ，AG =AF ，⊥AC =5，AC =AF +FC ，BG =AB +AG ，⊥AF +FC =AF +BG =AF +AB +AG =2AF +AB =5，⊥AB =3，⊥2AF +3=5，⊥AF =1，即AF 的长为1．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明⊥AGE ⊥⊥AFE 是解答本题的关键． 26．(1)90(2)⊥α+β=180°；证明见解析；⊥α=β．【分析】（1）易证⊥BAD =⊥CAE ，即可证明△BAD ⊥⊥CAE ，可得⊥ACE =⊥B ，即可解题；（2）⊥易证⊥BAD =⊥CAE ，即可证明△BAD ⊥⊥CAE ，可得⊥ACE =⊥B ，根据⊥B +⊥ACB =180°-α即可解题； ⊥易证⊥BAD =⊥CAE ，即可证明△BAD ⊥⊥CAE ，可得⊥ACE =⊥B ，根据⊥ADE +⊥AED +α=180°，⊥CDE +⊥CED +β=180°即可解题．（1）解：⊥⊥BAD +⊥DAC =⊥BAC =90°，⊥DAC +⊥CAE =⊥DAE =90°，⊥⊥BAD =⊥CAE ，在⊥BAD 和⊥CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥BAD ⊥⊥CAE （SAS ），⊥⊥ACE =⊥B ，⊥⊥B +⊥ACB =90°，⊥⊥DCE =⊥ACE +⊥ACB =90°；故答案为： 90；（2）解：⊥⊥⊥BAD +⊥DAC =⊥BAC =α，⊥DAC +⊥CAE =⊥DAE =α，⊥⊥BAD =⊥CAE ，在⊥BAD 和⊥CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥BAD ⊥⊥CAE （SAS ），⊥⊥ACE =⊥B ，⊥⊥B +⊥ACB =180°-α，⊥⊥DCE =⊥ACE +⊥ACB =180°-α=β，⊥α+β=180°；⊥作出图形，⊥⊥BAD +⊥BAE =⊥BAC =α，⊥BAE +⊥CAE =⊥DAE =α，⊥⊥BAD =⊥CAE ，在⊥BAD 和⊥CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥BAD ⊥⊥CAE （SAS ），⊥⊥AEC =⊥ADB ，⊥⊥ADE +⊥AED +α=180°，⊥CDE +⊥CED +β=180°，⊥CED =⊥AEC +⊥AED ，⊥α=β．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，三角形内角和定理，本题中求证⊥BAD ⊥⊥CAE 是解题的关键．27．(1)证明见解析(2)AMNI(3)2【分析】（1）由正方形的性质得出AB =AE ，AC =AI ，⊥BAE =⊥CAI =90°，得出⊥EAC =⊥BAI ，即可得出△ABI ⊥△AEC (SAS)；（2）证BM ⊥AI ，得出2SABI AMNI S =四边形，同理：2AEC ABDE S S =正方形，由△ABI ⊥△AEC ，即可得出四边形AMNI 与正方形ABDE 的面积相等；（3）由题意可求出矩形AMNI 的面积，从而得出正方形ABDE 的面积，进而可求出正方形ABDE 的边长． （1）证明：⊥四边形ABDE 、四边形ACHI 是正方形，⊥AB ＝AE ，AC ＝AI ，⊥BAE ＝⊥CAI ＝90°，⊥⊥EAC ＝⊥BAI ， 在△ABI 和△AEC 中AB AE BAI EAC AI AC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝⊥△ABI ⊥△AEC (SAS)；（2）证明：⊥BM ⊥AC ，AI ⊥AC ，⊥BM ⊥AI ，⊥2ABI AMNI S S =四边形，同理：2AEC ABDE S S =正方形．又⊥△ABI ⊥△AEC ， ⊥四边形AMNI 与正方形ABDE 的面积相等．故答案为：AMNI ；（3）解：由题意可知四边形AMNI 为矩形，⊥AI =IH =MN =4，⊥IN =IH -NH =1，⊥4AMNI S IN AI =⋅=四边形，⊥4ABDE AMNI S S ==正方形四边形，⊥正方形ABDE 的边长为2．故答案为：2．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．28．(1)证明见解析，(2)BC =4．【分析】（1）证明⊥ADF ⊥⊥ACE 即可；（2）易证⊥FDG ⊥⊥BCG ，则可得出CD 的长度，由（1）可得⊥ADF ⊥⊥ACE ，点E 为BC 中点则点D 为AC 中点，求出AC 即可得到BC 的长度．（1）⊥AF ⊥AE ，⊥⊥EAF =90°，即⊥F AD +⊥CAE =90°，⊥⊥ACB ＝90°，⊥⊥AEC +⊥CAE =90°，⊥⊥AEC =⊥F AD ，⊥FD ⊥AC ，⊥⊥F AD =90°，在⊥ADF 和⊥ACE 中，⊥AEC =⊥F AD ，⊥F AD =⊥ACB ，AF ＝AE ，⊥⊥ADF ⊥⊥ACE ，⊥FD ＝AC ．（2）由（1）可知，FD =AC ，⊥AC =BC ，⊥FD =BC ，在⊥FDG 和⊥BCG 中，⊥FGD =⊥BGC ，⊥FDG =⊥GCB ，FD =BC ，⊥⊥FDG ⊥⊥BCG ，⊥CG =DG ，则CD =2CG =2，⊥⊥ADF ⊥⊥ACE ，⊥AD =CE ，⊥AC =BC ，点E 为BC 中点，⊥点D 为AC 中点，则AC =2CD =4，⊥BC =AC =4．【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握全等三角形对应边和对应角相等以及用AAS 和ASA 判定三角形全等是解题的关键．29．(1)证明见解析(2)5.5【分析】（1）过点C 作CM AE ⊥于点M ，先根据角平分线的性质可得CM CH =，再根据HL 定理证出Rt Rt DMC BHC ≅，根据全等三角形的性质可得CDM B ∠=∠，由此即可得证；（2）过点C 作CM AE ⊥于点M ，先根据全等三角形的性质可得DM BH =，设AH x =，则8DM x =-，11AM x =-，再根据HL 定理证出Rt Rt ACM ACH ≅，根据全等三角形的性质可得AM AH =，据此建立方程，解方程即可得．（1）证明：如图，过点C 作CM AE ⊥于点M ，⊥AC 平分EAB ∠，,CH AB CM AE ⊥⊥，⊥,90CM CH CMD CHB =∠=∠=︒，在Rt DMC 与Rt BHC △中，CD CB CM CH =⎧⎨=⎩， ⊥()Rt Rt HL DMC BHC ≅，CDM B ∴∠=∠，180ADC CDM ∠+∠=︒，180ADC B ∴∠+∠=︒．（2）解：如图，过点C 作CM AE ⊥于点M ，由（1）已证：Rt Rt DMC BHC ≅，DM BH ∴=，设AH x =，则8DM BH AB AH x ==-=-，3AD =，3811AM AD DM x x ∴=+=+-=-，在Rt ACM 和Rt ACH 中，AC AC CM CH =⎧⎨=⎩， ()Rt Rt HL ACM ACH ∴≅，AM AH ∴=，11x x ∴-=，x ，解得 5.5即AH的长为5.5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．30．(1)DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，证明见解析【分析】（1）由⊥BDA＝⊥BAC＝⊥AEC＝90°得到⊥BAD+⊥EAC＝⊥BAD+⊥DBA＝90°，进而得到⊥DBA＝⊥EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA⊥⊥EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由⊥BDA＝⊥BAC＝⊥AEC＝α得到⊥BAD+⊥EAC＝⊥BAD+⊥DBA＝180°﹣α，进而得到⊥DBA＝⊥EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA⊥⊥EAC，最后得到DE＝BD+CE．（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，⊥⊥BDA＝⊥BAC＝⊥AEC＝90°，⊥⊥BAD+⊥EAC＝⊥BAD+⊥DBA＝90°，⊥⊥DBA＝⊥EAC，⊥AB＝AC，⊥⊥DBA⊥⊥EAC（AAS），⊥AD＝CE，BD＝AE，⊥DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，⊥⊥BDA＝⊥BAC＝⊥AEC＝α，⊥⊥BAD+⊥EAC＝⊥BAD+⊥DBA＝180°﹣α，⊥⊥DBA＝⊥EAC，⊥AB＝AC，⊥⊥DBA⊥⊥EAC（AAS），⊥BD＝AE，AD＝CE，⊥DE＝AD+AE＝BD+CE；【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．31．(1)DE=AD+BE，理由见解析(2)（1）中结论不成立，结论为DE=AD-BE，理由见解析(3)（1）中结论不成立，结论为DE=BE-AD．【分析】（1）根据AD⊥MN，BE⊥MN，⊥ACB=90°，得出⊥CAD=⊥BCE，再根据AAS即可判定△ADC⊥⊥CEB；根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE=AD，CD=BE，进而得到DE=CE+CD=AD+BE；（2）先根据AD⊥MN，BE⊥MN，得到⊥ADC=⊥CEB=⊥ACB=90°，进而得出⊥CAD=⊥BCE，再根据AAS即可判定△ADC⊥⊥CEB，进而得到CE=AD，CD=BE，最后得出DE=CE-CD=AD-BE；（3）运用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之间的等量关系是：DE=BE-AD．（1）解：DE=AD+BE，理由如下：证明：⊥AD⊥MN，BE⊥MN，⊥⊥ADC=⊥ACB=90°=⊥CEB，⊥⊥CAD+⊥ACD=90°，⊥BCE+⊥ACD=90°，⊥⊥CAD=⊥BCE，⊥在△ADC和△CEB中，CAD BCEADC CEBAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥ADC⊥⊥CEB（AAS），⊥CE=AD，CD=BE，⊥DE=CE+CD=AD+BE；（2）解：（1）中结论不成立，结论应为DE=AD-BE，理由如下；证明：⊥AD⊥MN，BE⊥MN，⊥⊥ADC=⊥CEB=⊥ACB=90°，同理可得⊥CAD=⊥BCE，⊥在△ADC和△CEB中，CAD BCEADC CEBAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥ADC⊥⊥CEB（AAS）；⊥CE=AD，CD=BE，⊥DE=CE-CD=AD-BE；（3）解：（1）中结论不成立，结论应为DE=BE-AD．。
三角形全等的判定(6种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)
三角形全等的判定（6种题型）【知识梳理】一、全等三角形判定——“边边边”全等三角形判定——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .二、全等三角形判定——“边角边”1. 全等三角形判定——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.三、垂直平分线：1.定义：垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.2.性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等四、全等三角形判定——“角边角”全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .五、全等三角形判定——“角角边” 1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.六、角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.【考点剖析】题型一、全等三角形的判定——“边边边”例1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 用全等三角形的性质和判定.【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边 ∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）【变式2】、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠BAD ＝∠CAE.【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SSS ）∴∠BAD ＝∠CAE （全等三角形对应角相等）.【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD ＝∠CAE ，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE ，然后证这两个三角形全等.题型二、全等三角形的判定——“边角边”例2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.【变式】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD例3、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．【思路点拨】延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．通过证全等将AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，AD DE ADB EDC BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝．∴△ABD ≌△ECD （SAS ）．∴AB ＝CE ．∵AC ＋CE ＞AE ，∴AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞．【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB ＋AC ＞2AD ，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点D 逆时针旋转180°得到△CED ，也就把AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．例4、已知，如图：在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC ，求证：AB ＝CD －BD ．【思路点拨】在DC 上取一点E ，使BD ＝DE ，则△ABD ≌△AED ，所以AB ＝AE ，只要再证出EC ＝AE 即可．【答案与解析】证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE∵ AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADE在△ABD 和△AED 中，BD DE ADB=ADE AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠∠＝∴△ABD ≌△AED （SAS ）．∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AED ．又∵∠B ＝2∠C ＝∠AED ＝∠C ＋∠EAC ．∴∠C ＝∠EAC ．∴AE ＝EC ．∴AB ＝AE ＝EC ＝CD —DE ＝CD —BD ．【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB ＝CD －BD ，把CD －BD 转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD 沿AD 翻折，使线段BD 运动到DC 上，从而构造出CD －BD ，并且也把∠B 转化为∠AEB ，从而拉近了与∠C 的关系.【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝12（AB ＋AD ）， 求证：∠B ＋∠D ＝180°. AE D CB【答案】证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°.题型三、全等三角形的判定——“角边角”例5、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】（2022•长安区一模）已知：点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE ＝CF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】先利用平行线的性质得到∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再证明BC＝EF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，{∠B=∠DEF BC=EF∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF（ASA）．5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．例6、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF【答案与解析】证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高，∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ）∴PM ＝HN题型四、全等三角形的判定——“角角边”例7.（2021秋•苏州期末）如图，在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠ACD ，∠CED +∠B ＝180°．求证：△ADE ≌△CAB ．【分析】由等角对等边可得AC＝AD，再由平行线的性质可得∠DAE＝∠ACB，由∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，得∠AED＝∠B，从而利用AAS可判定△ADE≌△CAB．【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE与△CAB中，{∠DAE=∠ACB ∠AED=∠BAD=AC，∴△ADE≌△CAB（AAS）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是由已知条件得出相应的角或边的关系．例8、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 题型五：线段的垂直平分线 例9．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图所示，在ABC 中，8AC =，5BC =，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BCE 的周长为（ ）A ．13B ．18C ．10.5D ．21【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE BE =，再将BCE 的周长转化为AC BC +的长，即可求解.【详解】解：DE 是AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∴BCE 的周长为BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+，8AC =，5BC =，∴BCE 的周长为8513AC BC +=+=，故选：A ．【点睛】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【变式1】（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，点D 是ABC 边AC 的中点，过点D 作AC 的垂线交BC 于点E ，已知6AC =，ABC 的周长为14，则ABE 的周长是（ ）A ．6B ．14C ．8D ．20【答案】C 【分析】由题意可知：ED 垂直平分AC ,故EA EC =，结合6AC =，ABC 的周长为14，即可得出答案．【详解】解：∵点D 是ABC 边AC 的中点， ED AC ⊥,∴ED 垂直平分AC ,∴EA EC =，∵6AC =，ABC 的周长为14，∴1468AB BC +=−=,∴8AB BC AB BE EC AB BE AE +=++=++=,∴ABE 的周长是8．故选：C ．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质和判定，掌握垂直平分线的性质和判定是解题的关键．【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质可知，到A ，B ，C 表示三个居民小区距离相等的点，是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，由此即可求解．【详解】解：如图所示，分别作AC ，BC 两边垂直平分线MN ，PQ 交于点O ，连接OA，OB，OC，∵MN，PQ是AC，BC两边垂直平分线，==，∴OA OB OC∴点O是到三个小区的距离相等的点，即点O是AC，BC两边垂直平分线的交点，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．八年级专题练习）如图，在ABC中，是ABC外的一点，且【分析】根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可证明A、D都在BC的垂直平分线上，由此即可证明结论．AB AC，【详解】证明：∵=∴点A在BC的垂直平分线上，BD CD，∵=∴点D在BC的垂直平分线上，∴A、D都在BC的垂直平分线上，∴AD垂直平分BC．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知线段垂直平分线的判定条件是解题的关键．【变式】．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上．【分析】由三角形的外角性质得到∠EBC=∠A+∠ACB，结合已知推出∠BCE=∠EBC，得到BE=CE，即可得到结论．【详解】证明：∵∠BCE=∠A+∠ACB，∠EBC=∠A+∠ACB，∴∠BCE=∠EBC，∴BE=CE，∴点E在BC的垂直平分线上．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，用到的知识点：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．题型六：角平分线【答案】A【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等即可解答．【详解】根据题意要使集贸市场到三条公路的距离相等即集贸市场应建在三个角的角平分线的交点．故本题选A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解答本题的关键． 的中点，ABC ，则BED 的面积为（ 【答案】C【分析】作DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥于点M ，根据角平分线的性质求出DM ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥于点MAD 是ABC 的角平分线DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥，112122AC DF AB DM ∴⋅+⋅=，112122AC DM AB DM ⋅+⋅=∴即：3421DM DM +=得3DM =8AB =， E 是AB 的中点，142BE AB ∴== 1143622BEDS BE DM ∴=⋅=⨯⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键． 例12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，90B C ∠=∠=，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．(1)若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论；(2)线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．【答案】(1)AM 平分BAD ∠，证明见解析(2)DM AM ⊥，理由见解析【分析】（1）过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，证明ME MC MB ==即可得证．（2）利用两直线平行，同旁内角互补，证明1390∠+∠=．【详解】（1）AM 平分BAD ∠，理由为：证明：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，∵DM 平分ADC ∠，∴12∠=∠，∵ME AD ⊥，MC CD ⊥∴MC ME =（角平分线上的点到角两边的距离相等），又∵MC MB =，∴ME MB =，∵MB AB ⊥，ME AD ⊥，∴AM 平分BAD ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．（2）DM AM ⊥，理由如下：∵90B C ∠=∠=，∴,DC CB AB CB ⊥⊥，∴DC AB ∥（垂直于同一条直线的两条直线平行），∴180DAB CDA ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）又∵111,322CDA DAB ∠=∠∠=∠（角平分线定义） ∴2123180∠+∠=，∴1390∠+∠=，∴90AMD ∠=．即DM AM ⊥．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，平行线的性质，熟练掌握以上的知识是解题的关键． 【变式1】（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图 90B C ∠=∠=︒，E 为BC 上一点，AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠．(1)求AED ∠的度数；(2)求证：E 是BC 的中点．【答案】(1)90︒(2)见解析．【分析】（1）利用已知条件可以得到180BAD CDA ∠+∠=︒，想要求AED ∠的度数，只需要根据三角形内角和定理和角平分线的性质即可得到结论．（2）过点E 做EF AD ⊥，根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可得结论．【详解】（1）解：∵90B C ∠=∠=︒，∴DC AB ∥，∴180BAD CDA ∠+∠=︒，∵AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠， ∴12EAD BAD ∠=∠，12EDA CDA ∠=∠， ∴1()902EAD EDA BAD CDA ∠+∠=∠+∠=︒，∴180()90AED EAD EDA ∠=︒−∠+∠=︒；（2）证明：过点E 作EF AD ⊥于点F ，∵AE 平分BAD ∠，90B Ð=°，EF AD ⊥，∴EF EB =．∵DE 平分CDA ∠，90C ∠=︒，EF AD ⊥，∴EF EC =．∴EB EC =，即E 是BC 的中点．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线上的点到角两边距离相等的性质，熟记性质和定理并做出辅助线是解题的关键．【变式2】．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在ABC 外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中90DAB CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =．连接DC 、BE 交于F 点．(1)求证：DAC BAE ≌△△； (2)直线DC 、BE 是否互相垂直，试说明理由；(3)求证：AF 平分DFE ∠．【答案】(1)见解析(2)DC BE ⊥，理由见解析(3)见解析【分析】（1）由题意可得AD AB =，AC AE =，由90DAB CAE ∠=∠=︒，可得到DAC BAE ∠=∠，从而可证DAC BAE ≌△△；（2）由（1）可得ACD AEB ∠=∠，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论；（3）作AM DC ⊥于M ，AN BE ⊥于N ，利用全等三角形的面积相等及角平分线的判定即可证得结论．【详解】（1）证明：∵90DAB CAE ∠=∠=︒，∴DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，又∵AD AB =，AC AE =，∴()SAS DAC BAE ≌△△；（2）解：DC BE ⊥，理由如下；∵DAC BAE ≌△△， ∴ACD AEB ∠=∠，∵90AEB AOE ∠+∠= ，AOE FOC ∠=∠，∴90FOC ACD ∠+∠=，∴90EFC ∠=，∴DC BE ⊥；（3）证明：作AM DC ⊥于M ，AN BE ⊥于N ，∵DAC BAE ≌△△， ∴DAC BAE S S ∆∆=，DC BE =， ∴1122DC AM BE AN ⋅=⋅，∴AM AN =，∴AF 平分DFE ∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，及直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握判定和性质是解决本题的关键．【变式3】（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）已知：OP 平分MON ∠，点A ，B 分别在边OM ，ON 上，且180OAP OBP ∠∠+=︒．(1)如图1，当90OAP ∠=︒时，求证：OA OB =；(2)如图2，当90OAP ∠<︒时，作PC OM ⊥于点C ．求证：①PA PB =；②请直接写出OA ，OB ，AC 之间的数量关系 ．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②2OA OB AC −=【分析】（1）证明()AAS OPA OPB ≌，即可得证；（2）①作PD ON ⊥于点D ，证明()AAS PAC PBD ≌，即可得证； ②证明()AAS OCP ODP ≌，得出OD =，根据AC BD =，即可得证．【详解】（1）证明：180OAP OBP ∠∠+=︒，且90OAP ∠=︒，90OAP OBP ∠∠∴==︒，OP 平分MON ∠，POA POB ∠∠∴=，OP OP =，()AAS OPA OPB ∴≌，OA OB ∴=；（2）证明：①如图2，作PD ON ⊥于点D ，PC OM ⊥于点C ，PC PD ∴=，90PCA PDB OCP ∠∠∠===︒，180OAP OBP ∠∠+=︒，180DBP OBP ∠∠+=︒，OAP DBP ∠∠∴=，在PAC 和PBD 中，CAP DBP PCA PDBPC PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AAS PAC PBD ∴≌， PA PB ∴=；②结论：2OA OB AC −=．理由：在OCP 和ODP 中，OCP ODP COP DOP OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS OCP ODP ∴≌，OC OD ∴=，OA AC OB BD ∴−=+，AC BD =，2OA OB AC BD AC ∴−=+=．故答案为：2OA OB AC −=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【过关检测】一、单选题 1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，点D 是边AC 上一点，3DA =，若点D 到BC 的距离为3，则下列关于点D 的位置描述正确的是（ ）A ．点D 是AC 的中点B ．点D 是B ∠平分线与AC 的交点 C ．点D 是BC 垂直平分线与AC 的交点D ．点D 与点B 的距离为5【答案】B 【分析】作DE BC ⊥于E ，连接BD ，利用角平分线的判定定理可证明BD 是ABC ∠的角平分线，即可作答．【详解】解：如图所示：作DE BC ⊥于E ，连接BD ，∵3DA =，点D 到BC 的距离为3，∴=AD DE ，∵90A ∠=︒，∴DA BA ⊥，∵DE BC ⊥，∴BD 是ABC ∠的角平分线，即点D 是ABC ∠的角平分线与AC 的交点，故B 项正确；其余选项，利用现有条件均无法得出，故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理，作出辅助线，证明BD 是ABC ∠的角平分线，是解答本题的关键． 2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知BF DE =，AB ∥DC ，要使ABF CDE ≅△△，添加的条件可以是（ ）A．BE DF =B ．AF CE =C ．AB CD = D ．B D ∠=∠【答案】C 【分析】根据AB ∥DC ，可得B D ∠=∠，又BF DE =，所以添加AB CD =，根据SAS 可证ABF CDE ≅△△．【详解】解：应添加AB DC =，理由如下：AB ∥DC ，B D ∴∠=∠．在ABF △和CDE 中，AB CD B DBF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABF CDE ∴≅，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．3．（2023·浙江金华·统考二模）如图，ABC 和DEF 中，AB DE ∥，A D ∠=∠，点B ，E ，C ，F 共线，添加一个条件，不能判断ABC DEF ≌△△的是（ ）A ．AB DE =B ．ACB F ∠=∠C ．BE CF =D ．AC DF =【答案】B 【分析】根据AB DE ∥可得B DEF ∠=∠，加上A D ∠=∠，可知ABC 和DEF 中两组对角相等，因此一组对边相等时，即可判断ABC DEF ≌△△． 【详解】解：AB DE ∥，∴B DEF ∠=∠， 又A D ∠=∠，∴ABC 和DEF 中两组对角相等，当AB DE =时，根据ASA 可证ABC DEF ≌△△，故A 选项不合题意； 当ACB F ∠=∠时，ABC 和DEF 中，三组对角相等，不能判断ABC DEF ≌△△，故B 选项符合题意； 当BE CF =时，BC EF =，根据AAS 可证ABC DEF ≌△△，故C 选项不合题意； 当AC DF =时，根据AAS 可证ABC DEF ≌△△，故D 选项不合题意； 故选B ．【点睛】本题考查添加条件使三角形全等，解题的关键是熟练掌握全等三角形的各种判定方法．．ABC 的三条中线的交点．ABC 三边的垂直平分线的交点．ABC 三条角平分线的交点．ABC 三条高所在直线的交点【答案】C【分析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解．【详解】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应在ABC 三条角平分线的交点处．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别． 5．（2020秋·浙江·八年级期末）如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，2DE =，4AB =，则AC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【分析】先根据角平分线的性质得到2DF DE ==，再利用三角形面积公式得到11242722AC ⨯⨯+⨯⨯=，然后解关于AC 的方程即可．【详解】解：∵AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，2DE =，∴2DF DE ==，∵7ABC S =△，4AB =，又∵ABD ACD ABC S S S +=△△△，∴111124272222AB DE DF AC AC ⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=，∴3AC =．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．理解和掌握角平分线的性质是解题的关键．本题也考查了三角形的面积及等积变换．6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，用B C ∠=∠，12∠=∠，直接判定ABD ACD ≌△△的理由是（ ）A ．AASB ．SSSC ．ASAD ．SAS【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定方法判定即可．【详解】解：在ABD △和ACD 中，12B CAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS ABD ACD ≌，故A 正确． 故选：A ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，解题的关键是掌握证明全等三角形的几种证明方法：AAS 、ASA 、SSS 、SAS 、HL ．A ．2B ．【答案】C 【分析】由FC AB ∥，得F ADE ∠=∠,FCE A ∠=∠，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明CFE ADE ≅，则4CF AD AB BD ==−=．【详解】解：FC AB ∥，F ADE ∴∠=∠，FCE A ∠=∠，在CFE 和ADE V 中，F ADE FCE AFE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS CFE ADE ∴≅， CF AD ∴=，5AB =，1BD =，514AD AB BD ∴=−=−=，4CF ∴=，CF ∴的长度为4．故选：C ．【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明CFE ADE ≅是解题的关键．A ．SSS【答案】B 【分析】根据已知条件两边，及两边的夹角是对顶角解答．【详解】解：在AOB 和COD △中，OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB COD SAS ∴≌． 故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，准确识图判断出两组对应边的夹角是对顶角是解题的关键． 9．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）在联欢会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在ABC 的（ ）A ．三边垂直平分线的交点B ．三杂中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条高所在直线的交点【答案】A【分析】根据题意可知，当木凳所在位置到A 、B 、C 三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质即可求解．【详解】解：由题意可得：当木凳所在位置到A 、B 、C 三个顶点的距离相等时，游戏公平，∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴木凳应放的最适当的位置是在ABC 的三边垂直平分线的交点，故选：A ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． ）可说明ABC 与△ 【答案】A 【分析】先根据垂直的定义可得90ACB ADB ∠=∠=︒，再根据角平分线的定义可得CAB DAB ∠=∠，然后根据AAS 定理即可得．【详解】解：,BC AC BD AD ⊥⊥，90ACB ADB ∴∠=∠=︒，AB 平分CAD ∠，CAB DAB ∴∠=∠，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB CAB DABAB AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABC ABD ∴≌，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．二、填空题【答案】CA FD =，B E ∠=∠，A D ∠=∠，AB DE ∥等【分析】可选择CA FD =添加条件后，能用SAS 进行全等的判；也可选择B E ∠=∠添加条件后，能用ASA 进行全等的判定；也可选择A D ∠=∠添加条件后，能用AAS 进行全等的判定；也可选择AB DE ∥添加条件后，能用ASA 进行全等的判定即可；【详解】解：添加CA FD =，∵12∠=∠，BC EF =，∴()SAS ABC DEF ≌△△，故答案为：CA FD =；或者添加B E ∠=∠，∵BC EF =，12∠=∠，∴()ASA ABC DEF ≌△△，故答案为：B E ∠=∠；或者添加A D ∠=∠，∵12∠=∠，BC EF =，∴()AAS ABC DEF ≌△△，故答案为：A D ∠=∠；或者添加AB DE ∥，∵AB DE ∥，∴B E ∠=∠，∵12∠=∠，BC EF =，∴()AAS ABC DEF ≌△△，故答案为：AB DE ∥．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一．【答案】AB DC =【分析】添加条件AB DC =，利用SAS 证明ABC DCB △≌△即可．【详解】解：添加条件AB DC =，理由如下：在ABC 和DCB △中，AB DC ABC DCBBC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABC DCB △≌△， 故答案为：AB DC =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS SAS AAS ASA HL ，，，，． 13．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知AC DB =，要使得ABC DCB ≅，根据“SSS”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．【答案】ABDC =【分析】要使ABC DCB ≅，由于BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS 判定其全等．【详解】解：添加AB DC =．在ABC 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()ABC DCB SSS ≅△△， 故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．14．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）如图，在ABC 中，CD 是边AB 上的高，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，6BC =，若BCE 的面积为9，则DE 的长为______．【答案】3【分析】过E 作EF BC ⊥于F ，根据角平分线性质求出EF DE =，根据三角形面积公式求出即可．【详解】解：过E 作EF BC ⊥于F ，CD 是AB 边上的高，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，DE EF ∴=，192BCE S BC EF =⋅=，1692EF ∴⨯⨯=，3EF DE ∴==，故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出3EF DE ==是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 八年级期末）如图，在ABC 中， 【答案】4【分析】根据线段垂直平分线的性质得到2AD BD ==，则4CD AC AD =−=．【详解】解：∵AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点D ，∴2AD BD ==，∵6AC =，∴4CD AC AD =−=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 16．（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在ABC 中，DE 是AC 的中垂线，分别交AC ，AB 于点D ，E ．已知BCE 的周长为9，4BC =，则AB 的长为______．【答案】5【分析】先利用三角形周长得到5CE BE +=，再根据线段垂直平分线的性质得到EC EA =，然后利用等线段代换得到AB 的长．【详解】解：∵BCE 的周长为9，9CE BE BC ∴++=，又4BC =，5CE BE ∴+=，又DE 是AC 的中垂线，EC EA ∴=，5AB AE BE CE BE ∴=+=+=；故答案为：5．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．17．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，已知12∠=∠，要说明ABC BAD ≌，（1）若以“SAS ”为依据，则需添加一个条件是__________；（2）若以“ASA ”为依据，则需添加一个条件是__________．【答案】 BC AD = BAC ABD ∠=∠【分析】（1）根据SAS 可添加一组角相等，故可判定全等；（2）根据ASA 可添加一组角相等，故可判定全等；【详解】解：（1）已知一组角相等和一个公共边，以“SAS ”为依据，则需添加一组角，即BC AD =故答案为：BC AD =；（2）已知一组角相等，和一个公共边，以“ASA ”为依据，则需添加一组角，即BAC ABD ∠=∠． 故答案为：BAC ABD ∠=∠．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．添加时注意：AAA SSA 、不能判定两个三角形全等． 18．（2019秋·浙江嘉兴·八年级校考阶段练习）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB=DE ，BE=CF ，AC=6，则DF=________【答案】6.【分析】根据题中条件由SAS 可得△ABC ≌△DEF ，根据全等三角形的性质可得AC=DF=6．【详解】∵AB ∥DE ，∴∠B=∠DEF∵BE=CF ，∴BC=EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE B DEFBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴AC=DF=6．考点：全等三角形的判定与性质．。
全等三角形的判定方法50道经典题
全等三角形的判定方法50道经典题摘要：1.全等三角形的判定方法概述2.边边边（SSS）判定法3.边角边（SAS）判定法4.角边角（ASA）判定法5.角角边（AAS）判定法6.斜边，直角边（HL）判定法7.经典题型一：已知三边长度，判断全等8.经典题型二：已知两边和夹角，判断全等9.经典题型三：已知两角和夹边，判断全等10.经典题型四：已知两边和等角对边相等，判断全等11.经典题型五：已知斜边和直角边，判断全等12.经典题型六：综合运用判定法，判断全等13.解题技巧与注意事项14.巩固练习：50道经典题解答与解析正文：全等三角形的判定方法是数学中非常重要的内容，掌握判定方法有助于解决许多实际问题。
本文将详细介绍全等三角形的判定方法，并通过50道经典题进行巩固练习。
1.全等三角形的判定方法概述全等三角形判定方法有六种，分别为：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、斜边，直角边（HL）。
2.边边边（SSS）判定法当两个三角形的三条边分别对应相等时，这两个三角形全等。
例如，若给出三条线段长度ABc，BCa，ACb，我们可以通过以下步骤确定全等三角形：步骤一：确定一边AB。
步骤二：分别以AB为圆心，做半径为b，a长的圆，交于点C。
步骤三：连接AC，BC。
这样，三角形的大小和形状就都被确定出来。
3.边角边（SAS）判定法当两个三角形的两边和它们的夹角分别相等时，这两个三角形全等。
例如，已知ABc，CAB，我们可以通过以下步骤确定全等三角形：步骤一：画射线AE，并在射线AE上截取ACc。
步骤二：在射线AD上截取ABc。
步骤三：连接BC。
这样，三角形的大小和形状就都被确定出来。
4.角边角（ASA）判定法当两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等时，这两个三角形全等。
例如，已知ABc，CAB，我们可以通过以下步骤确定全等三角形：步骤一：先确定一边ABc。
步骤二：在AB同旁画DAB，EBA，AD，BE交于点C。
全等三角形的判定(SSS)--教案
《全等三角形的判定(SSS)》教案第一课时一、内容和内容解析1．内容判定两个三角形全等的条件（SSS）．2．内容解析本节课的内容是探索三角形全等条件的第一课时，是在学习了全等三角形的概念，全等三角形的性质后展开的．它不仅是下节课探索三角形全等其它条件的基础，还是证明线段相等、角相等的重要依据，同时也为今后探索直角三角形全等的条件以及三角形相似的条件提供很好的模式和方法．因此本节课的知识具有承前启后的作用，占有相当重要的地位．边边边公理是通过学生探究获得的．用直尺、圆规画三角形，为了获得边边边公理，通过让学生动手作图、剪图、比较图的过程，感悟基本事实的正确性，归纳出“三边对应相等的两个三角形全等”这一判定公理．边边边公理也是证明线段相等、角相等的重要途径，关键是三角形全等条件的分析与探索．二、目标和目标解析1．目标（1）掌握边边边条件的内容；能初步应用边边边条件判定两个三角形全等．（2）会运用边边边条件证明两个三角全等．2．目标解析达成目标（1）的标志是：通过学生动手画一画，把所画的三角形剪下去与同伴所画的三角形进行比较，发现规律．得出判定两个三角形全等的条件（边边边公理），并运用它进行简单的说理和证明．达成目标（2）的标志是：要求学生能够熟练利用边边边条件证明两个三角全等．三、重点、难点教学重点：能应用边边边条件判定两个三角形全等．教学难点：探究三角形全等的条件．四、教学过程设计（一）知识回顾，提出问题已知△ABC≌△A′B′ C′,找出其中相等的边与角：思考：满足这六个条件可以保证△ABC ≌△A ′B ′C ′吗？ 师生活动：师提出问题，学生回答.问题1：当满足一个条件时, △ABC 与△ABC ′全等吗？师生活动：让学生经历画图的过程后，总结经验． 达成共识：不一定全等． 如图所示： 一条边分别相等时：一个角分别相等时：问题2：当满足两个条件时, △ABC 与△A ′B ′C ′全等吗？师生活动：让学生通过画图、展示交流后得出结论． 达成共识：不一定全等． 如图所示： 两条边分别相等时：45°BC AA ’B ’C ’45° ABC4cmA B C C ′B ′A ′A ’ C ’B ’4cmA ’A两个角分别相等时： 一边一角分别相等时：问题3：当满足三个条件时， △ABC 与△A ′B ′C ′全等吗？满足三个条件时，又分为几种情况呢？师生活动：让学生交流讨论后、得到以下几种情况．师问：我们现在研究第①种情况．当两个三角形满足三边对应相等时，这两个三角形全等吗？设计意图：先提出“全等判定”问题，构建出三角形全等条件的探索路径，然后以问题串的方式呈现探究过程，引导学生层层深入地思考问题．（二）动手操作，感悟新知活动：尺规作图，探究“边边边”判定方法先任意画出一个△ABC ，再画出一个△A ′B ′C ′，使A ′B ′= AB ，B ′C ′= BC ，A ′C ′= AC ．把画好的△A ′B ′C ′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？ABC45°65°ABCB ’C ’A ’ 45° 65°9cmB ’C ’A ’C ’B ’4cmACB4cm解：画法（1）画线段B ′C ′=BC ；（2）分别以B ′、C ′为圆心，BA 、BC 为半径画弧，两弧交于点A ′； （3）连接线段A ′B ′，A ′Ｃ′． ΔA ′B ′Ｃ′就是所求三角形．师生活动：教师引导学生用尺规作图作出△A ′B ′C ′．然后剪图、进而让不同小组的学生比较图的形状、大小．最后达成共识．探究（1）：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言概括吗？师生活动：学生回答，并归纳概括出边边边公理，教师加以补充，形成结论． 归纳总结: 边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等． 探究（2）：如何用符号语言表示边边边公理呢？师生活动：学生探讨，试写出表示边边边公理的符号语言，师巡视后在班内形成规范表达（先让出错的学生写，然后规范）．用符号语言表达:在△ABC 和△A ′B ′C ′中∵⎪⎩⎪⎨⎧==='B'BC 'A'AC ''C C B A AB ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）设计意图：教师引导学生动手作图、剪图、比较图的过程，感悟基本事实的正确性，获得三角形全等的“边边边”判定方法．在概括基本事实的过程中，引导学生透过现象看本质，锻炼学生用数学语言概括结论的能力．（三）初步应用，巩固知识问题：我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了．你能解释其中的道理吗？C ′B师生活动：学生用“边边边”判定方法进行解释， 感悟数学源于生活，数学又服务于生活．设计意图：用所学知识解释生活现象，进一步体会判定方法的作用，感悟数学的应用价值．例1：如图所示的三角形钢架中，AB =AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架．求证△ABD ≌△ACD ．板书如下：证明：∵D 是BC 的中点． ∴BD=DC （线段中点的定义）．在△ABD 和△A CD 中∵⎪⎩⎪⎨⎧===（公共边）（已证）已知）AD D CD D AC AB A B ( ∴△ABD ≌△A CD （SSS ）师生活动：学生讨论思路后，让一个学生口述步骤，教师板演，强调每一步注明理由． 设计意图：运用“边边边”判定方法证明简单的几何问题，感悟判定方法的简捷性，体会证明过程的规范性．例2：用尺规作一个角等于已知角． 已知：∠AOB ．A OB A ’B ’O ’EDE ′求作： ∠A ′O ′B ′=∠AOB ． 解：画法（1）画射线O ′B ′；（2）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 于点D ，交OB 于点E ； （3）以点O ′为圆心，以OD 长为半径画弧，交O ′B ′于点E ′ ； （4）以点E ′为圆心，以ED 长为半径画弧，交前弧于点A ′ ； （5）连接线段O ′A ′． ∠A ′O ′B ′就是所求的角．师生活动：教师指导学生用尺规作图.学生动手作图，教师巡视指导．然后教师提出问题：为什么这样作出的两个角是相等的？理由：连接DE ，A ′E ′．在△DOE 和△A ′O ′E ′中∵⎪⎩⎪⎨⎧===''''''E A DE E O OE A O OD ∴△DOE ≌△A ′O ′E ′（SSS ） ∴∠A ′O ′B ′=∠AOB ．设计意图：让学生运用“SSS ”条件进行尺规作图，同时体会作图的合理性，增强作图技能．（四）课堂小结教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，请学生回答下列问题： （1）什么是边边边公理？三角形具有什么性？边边边公理是如何得到的的？ （2）你是怎样用边边边公理进行计算和说理的？设计意图：通过问题对本节课内容进行梳理，巩固边边边公理及应用． （六）布置作业课本P43页习题12.2第1、9题. 五、目标检测1.当△ABC 和△DEF 具备（ ）条件时，△ABC ≌△DEF. ( ) A. 所有的角相等 B.三条边分别对应相等 C.面积相等 D.周长相等2.如图，已知B 、D 为AE 上的两点，AD=BE,AC=DF,BC=EF,则下列说法中错误的是（ ）A. AC ∥DFB.∠C=∠FC. BC ∥EFD.∠A=∠E3.如图，AF=CD ， AB=ED,EF=BC,那么△ABC ≌△DEF 的理由是__________.4.如图，若OA=OB,AC=BC,∠ACO=30O,则∠ACB=________.5.如图，已知AB=AC,AD=AE,BD=EC ，则△ABD ≌____，△ABE ≌____．6.如图，在ΔABC 和ΔDCB 中，AC 与BD 相交于点O ， AB = DC ，AC = BD . 求证: △ABC ≌△DCB ；AOCBCAA DB EFCAFCDB E7.如图，已知AC 、BD 相交于O,且AB=DC,AC=BD,能得到∠A=∠D 吗？为什么？答案：1. B2. D3. SSS4. 60O5. △ACE ，△ACD6. 证明：在ΔABC 和ΔDCB 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧===（公共边）（已知）已知）CB BC DB AC (DC AB ∴ΔABC ≌ΔDCB （SSS ）7.解：能． 理由如下： 连接BC ．在ΔABC 和ΔDCB 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧===（公共边）（已知）已知）CB BC DB AC (DC AB ∴ΔABC ≌ΔDCB （SSS ）∴∠A=∠D （全等三角形的对应边相等）．ADB CO。
人教版数学八年级上册《全等三角形判定(SAS、AAS)》教学设计
人教版数学八年级上册《全等三角形判定（SAS、AAS）》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册《全等三角形判定（SAS、AAS）》是全等三角形判定部分的最后一节，前面已经学习了SSS、SAS判定全等三角形。
本节课通过探究活动让学生理解并掌握AAS判定全等三角形的方法，能运用SAS、AAS判定三角形全等。
教材通过丰富的图片、例题、练习，引导学生主动探究，发现规律，培养学生的空间想象能力和思维能力。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了全等图形的概念，对全等图形有了一定的认识。
通过前面的学习，学生已经掌握了SSS、SAS判定全等三角形，但对AAS判定全等三角形可能还存在理解上的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索并掌握AAS判定全等三角形的方法。
三. 教学目标1.理解并掌握AAS判定全等三角形的方法。
2.能运用SAS、AAS判定三角形全等，解决一些实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：理解并掌握AAS判定全等三角形的方法。
2.教学难点：如何引导学生通过探究活动，发现并总结AAS判定全等三角形的方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索并掌握AAS判定全等三角形的方法。
2.利用多媒体课件，展示全等三角形的图片和实例，帮助学生直观地理解全等三角形的概念。
3.注重变式训练，让学生在不同的情境中运用SAS、AAS判定三角形全等，提高学生的运用能力。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.三角板、直尺、圆规等学具。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示全等三角形的图片，引导学生回顾全等三角形的概念。
然后提出问题：“我们已经学习了SSS、SAS判定全等三角形，那么还有没有其他的方法可以判定两个三角形全等呢？”2.呈现（10分钟）引导学生观察两个三角形，已知其中一个三角形的两个角和它们夹的边分别与另一个三角形的两个角和它们夹的边相等。
【苏科版】八年级上册数学《全等三角形》复习练习（含答案）
【苏科版】⼋年级上册数学《全等三⾓形》复习练习（含答案）⼋年级上册数学《全等三⾓形》复习练习（满分：120分时间：90分钟）⼀.选择题(每题3分，共24分)1.如图，若OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC的度数为( )A.60°B.50°C.45°D.30°2.如图，⼩敏做了⼀个⾓平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在⾓的两边上，过点A，C画⼀条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线.此⾓平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠P AE.则说明这两个三⾓形全等的依据是( )A.SASB.ASAC.AASD.SSS3.已知△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2.对于上述两个判断，下列说法正确的是( )A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①②都错误D.①②都正确4.如图，已知点A，D，C，F在同⼀条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加⼀个条件是( )A.∠BCA=∠FB.∠B=∠EC.B C∥EFD.∠A=∠EDF5.如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件的个数是( )A.4B.3C.2D.16.如图，△ABD与△ACE均为正三⾓形.若AB( )A.BE=CDB.BE>CDC.BED.⼤⼩关系不确定7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE.上述结论⼀定正确的是( )A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④8.如图，已知△ABC和△DCE均是等边三⾓形，点B，C，E在同⼀条直线上，AE与BD相于点O，AE与CD相交于点G，AC与BD相交于点F，连接OC，FG，有下列结论：①AE=BD；②AG= BF；③F G∥BE；④∠BOC=∠EOC.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4⼆.填空题(每题2分，共20分)9.如图，为了使⼀扇旧⽊门不变形，⽊⼯师傅在⽊门的背⾯加钉了⼀根⽊条，这样做的道理是.10.如图，△ABC≌△DCB，点A，B的对应顶点分别为点D，C，如果AB=7 cm，BC=12cm，AC=9 cm，DO=2 cm，那么OC的长是cm.11.如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB.在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的⼀个条件可以是.12.两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图，四边形ABCD是⼀个筝形，其中AD=CD，AB=CB，有如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=12AC；③△ABD≌△CBD.其中正确的结论是.(填序号)13.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，B E⊥AD，垂⾜为点E.若四边形ABCD的⾯积为16，则BE= .14.如图，在△ABC中，A D⊥BC，C E⊥AB，垂⾜分别为点D，E，AD，CE交于点H.若EH=EB=3，AE=4，则CH= .15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2 cm，C D⊥AB，垂⾜为点D.在AC上取⼀点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若EF=5 cm，则AE= cm.16.如图，A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在⼀条东西⾛向公路的沿线上，BD=DC=lkm，村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北⾛向，AC=3 km，只有AB之间由于间隔了⼀个⼩湖，所以⽆直接相连的公路.现决定在湖⾯上造⼀座斜拉桥，测得AE=1.2 km，BF=0.7 km，则建造的斜拉桥长⾄少为km.17.如图，坐标平⾯上，△ABC≌△DEF，其中A，B，C的对应顶点分别为D，E，F，且AB=BC.若A，B，C的坐标分别为(－3，1)，(－6，－3)，(－1，－3)，D，E两点在y轴上，则点F到y轴的距离为.18.如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂⾜为点A，点C是射线上⼀动点，分别以AC，BC为直⾓边作等腰直⾓三⾓形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为.三.解答题(共76分)19.(本题12分) 如图，把⼤⼩为4×4的正⽅形⽅格分割成两个全等图形，如图1.请在下图中，沿着⽅格线画出四种不同的分法，把4×4的正⽅形⽅格分割成两个全等图形.20.(本题8分) 如图，△ABC和△EFD分别在线段BF的两侧，点C，D在线段BF上，AB=EF，BC=DF，AB∥EF.求证：AC=ED.21.(本题10分) 如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂⾜分别为点D，E，且BD=CE，BE交CD于点O.求证：AO平分∠BAC.22.(本题10分) 如图，在四边形ABCD 中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的⼀动点(不与点A重合)，在点E移动的过程中BE和DE是否相等? 若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由.23.(本题10分) 如图，在四边形ABCD中，AD=DC，DF是∠ADC的平分线，AF∥BC，连接AC，CF.求证：CA是∠BCF的平分线.24.(本题12分) 两个⼤⼩不同的等腰直⾓三⾓形三⾓板按图1所⽰的位置放置.图2是由它抽象出的⼏何图形，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，B，C，E在同⼀条直线上，连接DC.(1) 请找出图2中与△ABE全等的三⾓形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2) 求证：DC⊥BE.25.(本题14分)【问题背景】(1) 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.⼩王同学探究此问题的⽅法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是.【探索延伸】(2) 如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B＋∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成⽴? 请说明理由.参考答案⼀.选择题1.A2.D3.D4.B5.B6.A7.D8.D (提⽰：可先证得△ACE≌△BCD和AGC△≌△BFC)⼆.填空题9.三⾓形具有稳定性10.7 11.BC=DC(或∠BAC=∠DAC) 12.①②③13.4 14.1 15.3 16.1.1 17.4 18.4 (提⽰：过点E作E H⊥AN，垂⾜为点H，可证得△ABC≌△HCE，∴CH=AB=8，EH=AC=CD.⼜∵E H⊥AN，C D⊥AN，∴E H∥CD，∴CM=MH，即CM=12CH=4)三.解答题19.四种不同的分法如图所⽰20.∵AB∥EF，∴∠B=∠F.在△ABC和△EFD中，BC=DF，∠B=∠F，AB=EF，∴△AB C≌△EFD，∴AC=ED21.∵O D⊥AB，OE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO=90°.⼜∵∠BOD=∠COE，BD=CE，∴△BO D≌△COE，∴OD=OE.⼜由已知条件得△AOD和△AOE都是直⾓三⾓形，且OD=OE，OA=OA，∴Rt△AOD≌Rt△AOE，∴∠DAO=∠EAO，即AO平分∠BAC 22.相等.理由如下：在△ABC和△ADC中，AB=AD，AC=AC (公共边)，BC=DC，∴△AB C≌△ADC，∴∠DAE=∠BAE.在△ADE和△ABE中，AB=AD，∠DAE=∠BAE，AE=AE，∴△ADE≌△ABE (SAS)，∴BE=DE 23.∵DF是∠ADC的平分线，∴∠CDF=∠ADF.⼜∵AD=DC，DF=DF，∴△ADF≌△CDF，∴AF=CF，∴∠ACF=∠CAF.∵A F∥CB，∴∠CAF=∠ACB，∴∠ACF=∠ACB，即CA平分∠BCF24.(1) 图2中△AC D≌△ABE，∵△ABC与△AED均为等腰直⾓三⾓形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC＋∠CAE=∠EAD＋∠CAE，即∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD(2) 由(1)△ABE≌△ACD，得∠ACD=∠ABE=45°.⼜∵∠ACB=45°，∴∠BCD=∠ACB＋∠ACD=90°，∴D C⊥BE25.(1) EF=BE＋DF (2) 结论EF=BE＋DF仍然成⽴理由：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，在△ABE和△ADG中，DG=BE，∠B=∠ADG，AB=AD，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG.∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG＋∠DAF=∠BAE＋∠DAF=∠BAD－∠EAF=∠EAF.在△AEF和△GAF中，AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF.∴EF=FG.∵FG=DG＋DF，BE=DG，∴EF=BE＋DF。
部编版八年级数学上册《全等三角形》评课稿
部编版八年级数学上册《全等三角形》评课稿一、引言数学是一门抽象而精确的学科，具有很高的逻辑性和推理性。
八年级数学上册的《全等三角形》是教学内容中的重要一环。
全等三角形具有广泛的应用，并且对于学生的逻辑思维和几何观念的培养都具有重要意义。
本文将对《全等三角形》这一教学内容进行评课，分析课程设计的合理性以及教学效果，为教学改进提供有益的参考。
二、教学目标《全等三角形》是八年级数学上册的一节重要的几何学内容。
教学目标如下：1.知识目标：了解全等三角形的定义，掌握全等三角形的判定方法和性质，能够灵活运用全等三角形的判定方法解决实际问题，并能够正确使用全等三角形的性质进行证明。
2.能力目标：培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和几何推理能力。
3.情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的坚持不懈和勇于探索的品质。
三、教学内容3.1 全等三角形的定义全等三角形是指具有相同大小的三角形，其中对应的边和角相等。
全等三角形的定义是本节教学的基础。
3.2 全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法包括以下几种：1.SSS判定法：若两个三角形的三条边分别相等，则它们是全等三角形。
2.SAS判定法：若两个三角形的两边和它们夹角的对应边分别相等，则它们是全等三角形。
3.ASA判定法：若两个三角形的两角和夹它们的边的对应边分别相等，则它们是全等三角形。
4.RHS判定法：若两个直角三角形的一条斜边和另一条直角边分别相等，则它们是全等三角形。
3.3 全等三角形的性质全等三角形具有以下几个重要的性质：1.全等三角形的对应角相等。
2.全等三角形的对应边相等。
3.全等三角形的对应中线和中位线相等。
四、教学过程4.1 导入环节在导入环节，教师可以通过一个实际问题引入全等三角形的概念，例如：两座桥的形状相同，两座桥的大小是相等的吗？通过这个问题，引导学生思考全等三角形的定义和特点。
4.2 知识讲解通过清晰简明的语言，讲解全等三角形的定义、判定方法和性质。
湘教版八年级数学上册全等三角形的性质和判定的应用同步练习题
2.5全等三角形第6课时全等三角形的性质和判定的应用1．小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（）A．①B．②C．③D．①和②2．如图，△ABD≌△CDB，且AB，CD是对应边．下面四个结论中不正确的是（）A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．A D∥BC，且AD=BC3．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC ≌△ABC最恰当的理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角4．野营活动中，小明用一张等腰三角形的铁皮代替锅，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后把饼翻身，这块饼能正好落在“锅”中．小丽有四张三角形的铁皮（如图所示），她想选择其中的一张铁皮代替锅，烙一块与所选铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后，将饼切一刀，然后将两小块都翻身，饼也能正好落在“锅”中．她的选择最多有（）A．1种B．2种C．3种D．4种5．（2013秋•吉首市校级期末）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．S AS B．A SA C．S SS D．A AS1．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若∠CBA=32°，则∠FED= 度，∠EFD=度．2．小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD=a，EH=b，则四边形风筝的周长是．3．如图，矩形框架两侧有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高AC 与右边滑梯水平方向DF的长相等，∠ABC=26°，那么∠DEF= 度．4．如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站千米的地方．5．如图所示，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AD=AB=6km，CD=CB=5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则村庄C到公路l2的距离是km．6．如图，有两个长度相同的滑梯BC和EF，滑梯BC的高度AC等于滑梯EF在水平方向上的长度DF，则∠ABC+∠DFE= 度．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是（ ）9．(安顺中考)若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝k x(k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。
八年级数学上册《全等三角形》教案、教学设计
4.教师要对学生的作业进行认真批改，及时给予反馈，指导学生改进学习方法，提高学习效果。
1.介绍全等三角形的定义，强调全等三角形在几何图形中的重要性；
2.详细讲解全等三角形的判定方法，如SSS、SAS、ASA、AAS等，并通过实例进行说明；
3.分析全等三角形的性质，如对应角相等、对应边相等、对应角平分线相等，引导学生理解并掌握；
4.运用多媒体展示全等三角形的动态变化，让学生直观感受全等三角形的特征。
2.教师对本节课的重点知识进行梳理，强调易错点和注意事项；
3.鼓励学生提出疑问，进行解答，确保学生对全等三角形知识的掌握；
4.布置课后作业，要求学生在作业中运用所学知识，提高几何解题能力。
五、作业布置
为了巩固学生对全等三角形知识的学习，提高学生的几何解题能力和思维能力，特布置以下作业：
1.请学生完成课后习题中与全等三角形相关的基础题，旨在巩固全等三角形的判定方法和性质。
-开展课外活动，如几何画板制作、几何模型搭建等，培养学生的动手能力和创新思维。
5.教学评价：
-采用多元化的评价方式，如课堂提问、课后作业、小组讨论、小测验等，全面评估学生的学习效果；
-关注学生在学习过程中的表现，鼓励学生积极参与、勇于探究、善于合作；
-定期对学生的学习情况进行反馈，指导学生调整学习方法，提高学习效率。
1.了解学生的几何知识储备，针对学生的薄弱环节进行巩固；
2.注重启发式教学，引导学生通过自主探究、合作交流等方式，突破学习难点；
3.针对不同学生的学习能力，设计梯度性习题，使学生在原有基础上得到提高；
4.关注学生的学习兴趣和动机，激发学生的学习内驱力，提高学生的课堂参与度。
八年级数学上册《三角形全等的判定》精选练习(8份)
23. 如图，已知 AB=AE，BC=ED，AC=AD. (1) ∠B＝∠E 吗？为什么？ （2）若点 F 为 CD 的中点，那么 AF 与 CD 有怎样的位置关系？请说明理由.
22. 证明：（1）在△EAD 和△FCB 中 AD=CB，AE=CF，DE=BF ∴△EAD≌△FCB（SSS） ∴∠D＝∠B （2）由（1）知：△EAD≌△FCB ∴∠DEA＝∠BFC ∵∠AEO=180-∠DEA,
∠CFO=180-∠BFC, ∴∠AEO＝∠CFO
∴ AE∥CF
23. 解：（1）∠B＝∠E 理由如下：在△ABC 和△AED 中 AB=AE，BC=ED，AC=AD. ∴△ABC≌△AED（SSS） ∴∠B＝∠E.
∴△EAC≌△EBC（SSS） ∴∠A＝∠C（全等三角形的对应角相等）
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八年级数学上册《三角形全等的判定》精选练习
21. 解：（1） BD = DC (或点 D 是线段 BC 的中点)， FD = ED ， CF = BE 中 任选一个即可﹒ （2）以 BD = DC 为例进行证明： ∵CF∥BE， ∴∠FCD﹦∠EBD． 又∵ BD = DC ，∠ FDC﹦∠EDB， ∴△BDE≌△CDF．
B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D
D．AC=DC，∠A=∠D
5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有
（）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
6.在△ABC 和 ∆A′B′C′ 中，∠C＝ ∠C′ ,b-a= b′ − a′ ,b+a= b′ + a′ ,则这两个三角形（ ）
八年级数学上册全等三角形 . 三角形全等的判定 用“SAS”判定三角形全等
如图，在△ABC 和△ABD 中，
A
AB =AB，AC = AD，∠B =∠B，
但△ABC 和△ABD 不全等．
B
第十五页，共二十九页。
CD
画△ABC 和△DEF，使∠B =∠E =30°， AB =DE=5 cm ，AC =DF =3 cm ．观察所得的两个(liǎnɡ ɡè)
下来，放到△ABC 上，它们全等吗？
第四页，共二十九页。
画法：
（1） 画∠DA′E =∠A； （2）在射线(shèxiàn)A′D上截取
A′B′=AB，在射线 A′E上截取A′C′=AC； （3）连接B′C′．
现象：两个三角形放在一起(yīqǐ)
能完全重合．
说明：这两个三角形全等． A′
第五页，共二十九页。
又AB = DC，∠B =∠C，
∴△ABF≌△DCE， ∴∠A =∠D.
第十八页，共二十九页。
练习3 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD
= BC，你能得出AB = CD吗？若能，试说明(shuōmíng)
理由.
A
D
B
C
第十九页，共二十九页。
解：连接(liánjiē)AC.
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA.
C′ E
B′ D
归纳概括“SAS”判定方法:
两边和它们的夹角(jiā jiǎo)分别相等的两个三角形全等
（可简写成“边角边”或“SAS ”）．
几何(jǐ hé)语言： 在△ABC 和△ A′B′ C′中，
八年级数学上册《全等三角形判定的应用》优秀教学案例
3.开展学生互评活动，让学生在评价他人的过程中，学会欣赏、借鉴和改进，促进共同成长。
4.定期对学生的学习成果进行展示和交流，提高学生的学习自信心，激发他们持续学习的动力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
3.小组合作，提升团队协作能力
案例中，小组合作是重要的教学策略。学生分组讨论、共同解决问题，不仅有助于提高学习效率，还能培养他们的团队协作能力和沟通能力。在小组合作过程中，学生相互学习、共同成长，实现了优势互补和共同提高。
4.反思与评价，促进自主学习
本案例注重学生的反思与评价，鼓励学生在学习过程中进行自我反思，总结自己的学习方法和经验。同时，教师对学生的学习过程和成果进行评价，关注学生的知识掌握、思维品质和合作能力。此外，学生互评活动也有助于他们学会欣赏、借鉴和改进，促进自主学习。
（五）作业小结
1.教师布置与本节课相关的作业，如全等三角形判定方法的应用题、拓展题等，巩固学生对全等三角形判定方法的理解。
2.学生在完成作业的过程中，注意运用本节课所学知识，提高解题能力和思维品质。
3.教师在课后对学生的作业进行批改和评价，了解学生的学习情况，为下一节课的教学做好准备。
4.教师鼓励学生在课后进行自主学习，探索全等三角形在其他领域的应用，提高数学素养。
2.培养学生严谨、细心的学习态度，使他们养成独立思考、自主学习的好习惯。
3.通过全等三角形的应用实例，让学生认识到数学与实际生活的紧密联系，增强学生的应用意识和实践能力。
4.培养学生的团队协作精神，让他们学会在合作中分享、交流和成长。
三、教学策略
（一）情景创设
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2.5.5 全等三角形判定方法4(SSS)
1．如图2－5－61，点D，E在线段BC上，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，要判定△ABD≌△ACE，较为快捷的方法是( )
图2－5－61
A．SSS B．SAS
C．ASA D．AAS
2．如图2－5－62所示，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以判定
( )
图2－5－62
A．△ABD≌△ACD
B．△BDE≌△CDE
C．△ABE≌△ACE
D．以上都不对
3．]如图2－5－63所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？
答：__________(填“稳定性”或“不稳定性”)．
图2－5－63
4．如图2－5－64所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则△ABD≌△ACD，根据是________，AD与BC的位置关系是________．
图2－5－64
5．如图2－5－65，已知AB＝CD，AD＝BC，∠1＝40°，∠2＝80°，则∠A＝________．
图2－5－65
6．如图2－5－66，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AC∥DF.
图2－5－66
7．如图2－5－67所示，AB＝CD，AE＝DF，CE＝BF.
(1)△ABE能否与△DCF重合？说明理由．
(2)若∠B＝30°，AE⊥AB，则将△CDF从F点沿BC平移至________点，再沿顺时针方向
旋转________才能与△BAE重合．
图2－5－67
8．如图2－5－68所示，AB＝AE，BC＝ED，CF＝FD，AC＝AD.求证：∠BAF＝∠EAF.
图2－5－68
答案解析
1．A 2.C 3．稳定性 4．SSS 垂直
5．60° 【解析】 在△ABD 和△CDB 中，
⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝CD ，AD ＝BC ，BD ＝DB ，
所以△ABD ≌△CDB (SSS)， 所以∠ABD ＝∠1＝40°，
所以∠A ＝180°－∠ABD －∠2＝180°－∠1－∠2＝180°－40°－80°＝180°－120°＝60°.
6．证明：因为BE ＝CF ， 所以BE ＋EC ＝CF ＋EC ， 所以BC ＝EF .
在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝DE ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，
所以△ABC ≌△DEF (SSS)， 所以∠ACB ＝∠F ， 所以AC ∥DF .
7．解：(1)△ABE 与△DCF 能重合．理由如下： 因为CE ＝BF ，所以CE ＋EF ＝BF ＋EF ，所以CF ＝BE .
在△ABE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝CD ，BE ＝CF ，AE ＝DF ，
所以△ABE ≌△DCF . (2)E 180°
8．【解析】 先证明△ABC ≌△AED ，再证明△ACF ≌△ADF ，即可得∠BAF ＝∠EAF .
证明：在△ABC 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AE ，BC ＝ED ，AC ＝AD ，
所以△ABC ≌△AED (SSS)，
所以∠BAC ＝∠EAD (全等三角形对应角相等)．
在△ACF 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AC ＝AD ，CF ＝FD ，AF ＝AF ，
所以△ACF ≌△ADF (SSS)，
所以∠CAF ＝∠DAF (全等三角形对应角相等)， 所以∠BAC ＋∠CAF ＝∠EAD ＋∠DAF ， 所以∠BAF ＝∠EAF .。