2008 年线性代数考研试题

2008年线性代数考研试题
[数一]
1．设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若，则[ C ]
O =3A （A ）E-A 不可逆，E+A 不可逆 （B ）E-A 不可逆，E+A 可逆
（C ）E-A 可逆，E+A 可逆 （D ）E-A 可逆，E+A 不可逆
【考点】 矩阵的可逆性
2．设A 为二阶矩阵，21αα，为线性无关的二维列向量，21212A 0A αααα+==，，则A 的非零特征值为 1
【考点】 矩阵的特征值
3．设βα，为三维列向量，矩阵，其中的转置，的转置.
T T A ββαα+=αα为T ββ为T (1) 证明 （2）若2 (A)≤r βα，线性相关，则2 (A)<r
【考点】 矩阵的秩
【祥解】 （1）βα，为三维列向量，则 1)()(,1)()(T ≤≤≤≤βββαααr r r r T 211)()()(r(A)T T =+≤+≤+=T T r r r ββααββαα，即2 (A)≤r .
(2) 已知βα，线性相关，不妨设αβk =，
则，
21)())1(()))((()(r(A)2T T <≤=+=+=+=T T T T r k r k k r r ααααααααββαα
即有.
2 (A)<r 4．设n 元线性方程组，其中 b Ax = ， ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2a a 012a a 012a A 22%%%T T n b x )0,...0,1(,),...,(x x 1==（1） 证明行列式n
a n )1(A +=
（2） a 为何值，方程组有唯一解？求x 1
（3） a 为何值，方程组有无穷多解？求通解.
【考点】 线性方程组解的结构和通解
【祥解】 （1）利用行列式的性质可证n a n )1(A +=.
(2) 若使方程组有唯一解，则00)1(A ≠≠+=a a n n ，即.则由克莱姆法则得
a
n n x )1(1+=. (3) 若使方程组有无穷多解，则00)1(A ==+=a a n n ，即.
把代入矩阵A 中，显然有0=a 1)()(−==n A r B A r #，方程组有一个基础解向量.取自
由未知量x 1=1，得到它的基础解系为；代入后方程组化为，特解取为，则方程组的通解为
为任意常数）
k k T ()0,0,0,1("0=a ⎩⎨⎧====0
1432n x x x x "T )0,...0,0,1,0( . 为任意常数）k k T T ()0,...0,1,0()0,...0,0,1(+。