双剪统一强度理论在挡土墙朗肯主动土压力计算中的应用_董强

式中：α＝σｔ／σｃ，为材料拉压强度比；σ１ 为大主 应
力；σ２ 为中主应力；σ３ 为 小 主 应 力；σｔ 为 拉 伸 强 度 极
限；σｃ 为压缩强度极限；ｂ（０≤ｂ≤１）为 中 间 主 剪 应 力
的 影 响 系 数 （简 称 中 主 应 力 系 数 ）。
ｂ实际上是 一 个 选 用 不 同 强 度 准 则 的 参 数，如
由土体极限平 衡 理 论 公 式 可 知，大 小 主 应 力 应 满足下述关系。
黏性土：
σ３＝σ１ｔａｎ２（４５°－φ２ｔ）－２ｃｔｔａｎ（４５°－φ２ｔ） 砂性土：
（９）
σ３＝σ１ｔａｎ２（４５°－φ２ｔ）
（１０）
将σ３＝ｐａ 和σ１＝γｚ 代入 式 （９）和 式 （１０），即 可 得朗肯主动土压力计算公式。
Ｅａ
＝
１ ２
（Ｈ
－ｚ０）ｐｂ
（１９）
合力作用点距墙底距离为：
ｄ＝
１ ３
（Ｈ
－ｚ０）
（２０）
参考文献：
［１］ Ｙｕ Ｍａｏ－Ｈｏｎｇ．Ｕｎｉｆｉｅｄ Ｓｔｒｅｎｇｔｈ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｉｔｓ Ａｐ－ ｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ：Ｂｅｌｉｎ，２００４．
［２］ Ｙｕ Ｍａｏ－Ｈｏｎｇ．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ ｓｔｒｅｎｔｈ Ｔｈｅｒｉｅｓ ｏｆ Ｍａｔｅｒｉ－ ａｌｓ ｕｎｄｅｒ ｃｏｍｐｌｅｘ ｓｔｒｅｓｓ ｓｔａｔｅ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｅｈａｎｉｃｓ Ｒｅｖｉｅｃｅｓ，２００２，５５（２）：１６９－２１８．
（４５°－φ２ｔ）。
可以 看 出，主 动 土 压 力 ｐａ 沿 深 度ｚ 呈 直 线 分 布，如图１（ｂ）、图 １（ｃ）所 示。 作 用 在 单 位 长 度 挡 土 墙上 的 主 动 土 压 力 合 力 Ｅａ 即 为ｐａ 分 布 图 形 的 面 积，其作用点位 置 位 于 分 布 图 形 的 形 心 处。 对 于 砂
ｚ０
＝
２ｃｔ
γｔａｎ（４５°－φ２ｔ
－ｑ ）γ
（１７）
墙底处主动土压力值为：
ｐｂ＝（１７×７＋１５）×ｔａｎ２（４５°－φ２ｔ）－２ｃｔｔａｎ（４５°
－φ２ｔ） 主动土压力分布如图２所示。
（１８）
计 算 结 果 汇 列 于 表 １。 由表１可知，朗肯主动土压力Ｅａ 随着中间主剪 应 力 影 响 系 数ｂ 的 增 大 而 减 小 。 这 是 由 于 土 体 内 摩 擦角φｔ 随着ｂ 值的增大而 增 大，土 体 的 抗 剪 强 度 随 之 提 高 ，挡 土 墙 墙 背 所 承 受 的 主 动 土 压 力 随 之 减 少 。 随着ｂ 值 的 增 大，土 压 力 作 用 点 距 墙 顶 的 竖 直 距 离 ｄ 减小。
性土有：
Ｅａ ＝ １２γＫａＨ２
（１３）
合力 Ｅａ 作用在距挡土墙底面１３Ｈ 处。 对于黏性土，当ｚ＝０时，由式（１１）知ｐａ＝ －２ｃｔ
槡Ｋａ，表明该处出现拉应力。令式（１１）中 的 ｐａ＝０，
即可求得拉应力区的高度为：
ｈ０＝ ２ｃｔ
γ 槡Ｋａ
（１４）
事实 上，由 于 填 土 与 墙 背 之 间 不 可 能 承 受 拉 应
或：
基 金 项 目 ：陕 西 省 交 通 科 技 项 目 ，项 目 编 号 １０－２３ｋ 收 稿 日 期 ：２０１１－１２－１３
２０１２ 年 第 ８ 期 董 强 等 ：双 剪 统 一 强 度 理 论 在 挡 土 墙 朗 肯 主 动 土 压 力 计 算 中 的 应 用
— ３３ —
１ 双 剪 统 一 强 度 理 论
统一强度理论是俞茂宏教授所提出的一种强度
理 论 ［１－５］，其 主 应 力 形 式 为 ：
Ｆ ＝σ１－α（ｂσ２＋σ３）／（１＋ｂ）＝σｔ
（１）
σ２≤（σ１＋ασ３）／（１＋α）
Ｆ′＝（σ１＋ｂσ２）／（１＋ｂ）－ασ３＝σｔ
Байду номын сангаас（２）
σ２＞（σ１＋ασ３）／（１＋α）
力，因此在拉应 力 区 范 围 内 将 出 现 裂 缝 （图 １（ｄ））。 一般在计算墙背上的主动土压力时不考虑拉力区的
作 用 ，则 此 时 的 主 动 土 压 力 合 力 为 ：
Ｅａ
＝
１ ２
（Ｈ
－ｈ０）（γＨＫａ
－２ｃｔ
槡Ｋａ ）
（１５）
合力
Ｅａ
作
用
于
距
挡
土
墙
底
面
１ ３
（Ｈ
－ｈ０）处
。
— ３４ — 公 路 ２０１２年 第８期
１．０ ２４．１６ １８．４９ －１７．６５ ２．４８ ３２．２２ ７２．８２ １．５１
计算过程如下。 填土表面处的主动土压力值为：
ｐａ ＝（γｚ＋ｑ）ｔａｎ２（４５°－φ２ｔ）－２ｃｔｔａｎ（４５°－φ２ｔ）
＝１５ｔａｎ２（４５°－φ２ｔ）－２ｃｔｔａｎ（４５°－φ２ｔ） （１６）
由 ｐａ ＝０ 可 求 出 临 界 深 度ｚ０，即 ：
董 强１， 米 峻２， 景 宏 君３，４， 高 江 平４
（１．陕 西 省 延 安 公 路 管 理 局 延 安 市 ７１６２００；２．陕 西 省 交 通 建 设 集 团 公 司 西 安 市 ７１００７５； ３．陕 西 省 咸 阳 市 交 通 运 输 局 咸 阳 市 ７１２０００；４．长 安 大 学 西 安 市 ７１００６４）
公 路 ２０１２ 年 ８ 月 第 ８ 期
ＨＩＧＨＷＡＹ Ａｕｇ．２０１２ Ｎｏ．８
文 章 编 号 ：０４５１－０７１２（２０１２）０８－００３２－０３ 中 图 分 类 号 ：Ｕ４１７．１ 文 献 标 识 码 ：Ｂ
双剪统一强度理论在挡土墙朗肯主动 土压力计算中的应用
烄φｔ＝ａｒｃｓｉｎ｛［ｂ（１－ｍ）＋（２＋ｂ＋ｂｍ）ｓｉｎφ０］／ 烅 ［２＋ｂ（１＋ｓｉｎφ０）］｝
烆ｃｔ＝［２（ｂ＋１）ｃ０ｃｏｓφ０］／［２＋ｂ（１＋ｓｉｎφ０）ｃｏｓφｔ］ （８）
公式（８）中的φｔ 及ｃｔ 分别为对应于统一强度理 论的新的强度参数。当常规试验方法所确定的强度
参数φ０、ｃ０ 为已知常 量 时，φｔ、ｃｔ 仅 是 材 料 强 度 参 数 ｂ 的函数，它们是包 括 了 考 虑 中 间 主 应 力σ２ 对 各 种 不同材料屈服影 响 的 新 材 料 强 度 参 数。 这 样，对 空
为水平。墙背 ＡＢ 在填土压力作用下背离填土移动 到Ａ′Ｂ′，使墙后土体达到主动极 限平衡状态。 对于 墙后土体深度ｚ 处的单位体，其竖向应力σｚ＝γｚ 是 最大主应力σ１；而 水 平 应 力σｘ 是 最 小 主 应 力σ３，也 即 要 计 算 的 主 动 土 压 力 ｐａ 。
图 １ 朗 肯 主 动 土 压 力 计 算
间应力状态，按双剪 统 一 强 度 理 论 所 确 定 的 强 度 参
数φｔ、ｃｔ 可同时考虑σ１、σ２ 和σ３ 对 材 料 屈 服 强 度 的
贡 献 ，所 以 ，土 压 力 的 计 算 选 用 双 剪 统 一 强 度 理 论 更 为合理。
２ 朗 肯 主 动 土 压 力 计 算 如图１（ａ）所示，挡土 墙 墙 背 直 立、光 滑，填 土 面
的理论。如 采 用 岩 土 工 程 中 常 用 的 剪 切 强 度 参 数
ｃ０、φ０，其与α、σｔ 的关系为：
α＝（１－ｓｉｎφ０）／（１＋ｓｉｎφ０）
（３）
σｔ＝２ｃ０ｃｏｓφ０／（１＋ｓｉｎφ０）
（４）
在力学中，一般规定σ１≥σ２≥σ３，可 假 设 中 间 主
应力为：σ２＝［ｍ（σ１ ＋σ３）］／２。 将 式 （３）、式 （４）代 入
当ｂ＝０时，为 Ｍｏｈｒ－Ｃｏｕｌｏｍｂ强 度 准 则；ｂ＝１ 时 得
到双剪强度理论；当α＝１，ｂ＝０、０．５和１ 时，则分别
得到 Ｔｒｅｓｃａ屈服准则、Ｍｉｓｅｓ屈 服 准 则 的 线 性 逼 近
和双剪屈服准则 。 ［２］ 统一强度理论形成了一个 外 凸
理论，从下限到上限 覆 盖 了 域 内 所 有 区 域 的 系 列 化
２１．２１
２２．１８
２２．９６
１５．９９
１６．８０
１７．４６
－１４．８６
－１５．８１
－１６．５５
１．８６５
２．０６
２．２２
４０．９１
３７．９６
３５．６７
１０５．０４
９３．７６
８５．２４
１．７１
１．６５
１．５９
０．８ ２３．６１ １８．０１ －１７．１５ ２．３６ ３３．７９ ７８．３９ １．５５
３ 算 例 为了 对 比 分 析，采 用 下 例 来 说 明 双 剪 统 一 强 度
理论用于朗肯主动土压力计算的情况。表１的挡土 墙高度为７ｍ，墙背垂直光滑，填土 顶面水 平并 作用
有连续 均 布 荷 载ｑ＝１５ｋＰａ。 填 土 为 黏 性 土，其 主 要物 理 力 学 指 标 为 γ＝１７ ｋＮ／ｍ３，ｃ０ ＝１５ ｋＰａ， φ０＝２０°。
参数
φｔ／（°） ｃｔ／ｋＰａ ｐａ／ｋＰａ ｚ０／ｍ ｐｂ／ｋＰａ Ｅａ／（ｋＮ／ｍ）
ｄ／ｍ
０．０ ２０ １５ －１３．６５ １．６４ ４４．６６ １１９．６９ １．７９
表１ 不同ｂ 值时的挡土墙主动土压力计算结果
下 列ｂ 所 对 应 的 各 参 数 值
０．２
０．４
０．６
（１－ｓｉｎφ０）］σ３＝４ｃ０（１＋ｂ）ｃｏｓφ０
（６）
根据文献［５］，当 土 体 处 于 弹 性 状 态 时，ｍ＜１；
当 土 体 屈 服 时 ，ｍ→１。
统一强度理论的内摩擦角φｔ 由式（７）求解：
ｓｉｎφｔ＝［ｂ（１－ｍ）＋ （２＋ｂ＋ｂｍ）ｓｉｎφ０］／［２＋ｂ
（１＋ｓｉｎφ０）］，ｍ≠１
（７）
４ 结 语 （１）基 于 双 剪 统 一 强 度 理 论 ，推 导 出 了 朗 肯 主 动