高三C专题(二倍角公式2星)

专题： 二倍角公式 ★★

教学目标

掌握二倍角公式。

【解读：利用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行三角式的求值、化简、证明，特别是二倍角余弦公式的多种变形方式，在解题过程中应用非常广泛。】

知识梳理

5 min.

1. 试推导cos2α的公式：

解：利用两角和的余弦公式，将2α视为αα+，得

22cos 2cos()cos sin ααααα=+=-

由三角恒等式 2

2

sin cos 1αα+=，还可以推得

2

2

2

2

2

cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-

22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-。

【同理，可以利用两角和的正弦公式与正切公式，还可以推得sin 2α，tan 2α的公式。】 2. 二倍角公式：

sin 22sin cos ααα=；

2

2

2

2

cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-； 2

2tan tan 21tan α

αα

=

-. 典例精讲

33 min.

例1. 不用计算器，求下列各式的值.

（1）ο

ο

15cos 15sin （2）8

sin 8

cos

2

2

π

π

-

（3）ο

ο5

.22tan 15.22tan 22- （4）ο

75sin 212- 解: （1）sin15cos15o

o

=

121sin 304

=o ； （2）2

2

cos

sin 8

8

π

π

-＝2

cos

4

2

π

=

；

（3）22tan 22.51tan 22.5

-o

o

＝tan 451=o ； （4）212sin 75-o

＝3cos150=-

o

． 例2. 已知5sin ,(,)132π

ααπ=

∈，求sin 2α，cos2α，tan 2α的值 解：∵5sin ,(,)132πααπ=∈ ，∴212

cos 1sin 13

αα=--=-

120sin 22sin cos 169ααα∴==-，cos2α=2

11912sin 169α-=，120tan 2119

α=-。

例3. 已知3

sin()cos cos()sin 5αβααβα---=

，那么β2cos 的值为 （ ） A. 725 B. 18

25

C. 725-

D. 1825-

解：3

sin()cos cos()sin 5

αβααβα---=Q ，

由两角差的正弦公式，得 3sin()5αβα--=，即3

sin 5

β=-

由余弦的二倍角公式2cos 212sin αα=-，得 2

7cos 212sin 25

ββ=-=，选A 。

总结：

例4. 已知4cos 5θ=

，(),2θππ∈，则sin 2θ=______，cos 2

θ

=_______. 【本题属于公式的逆用。三角部分的公式除了要掌握公式的正向运用之外，还要灵活掌握公式的逆用。】

解：由余弦的二倍角公式2

cos 212sin αα=-，得 2

1cos 2sin 2α

α-=

由余弦的二倍角公式2cos 22cos 1αα=-，得 2

1cos 2cos 2

αα+=

所以 21cos 21sin 2210θθ-==，21cos 29cos 2210

θθ+== (),2,

,,sin 0,cos 0.2222

θ

πθθθπππ⎛⎫

∈∈>< ⎪⎝⎭

因此， 10310sin

,cos 2

10210

θ

θ-=

=。 总结：（1）sin 2sin cos 2ααα=

；21cos 2sin 2αα-=；2

1cos 2cos 2

αα+=； （2）逆用二倍角公式时要注意公式的逆用。

课堂检测

1. 已知2

sin 3

α=，则cos(2)πα-= 解：2sin 3=

αQ ，2

1cos(2)cos 2(12sin )9

πααα∴-=-=--=-. 2. 函数()2sin cos f x x x =，则()f x 是 （填序号）

（1）最小正周期为2π的奇函数 （2）最小正周期为2π的偶函数

（3）最小正周期为π的奇函数 （4）最小正周期为π的偶函数 解：()2sin cos sin 2f x x x x ==，周期为π的奇函数.选（3）

3. 已知α为第二象限的角，3

sin 5α=,则tan 2α= 解：因为α为第二象限的角,又3sin 5α=, 所以4cos 5α=-，sin 3

tan cos 4

ααα==-,

所以 2

2tan 24

tan 21tan 7

ααα==--. 4. 若3

16sin =⎪⎭⎫

⎝⎛-απ，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=

解：1sin cos 633ππαα⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而22cos 22cos 133ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2

17139⎛⎫

=-=- ⎪⎝⎭

. 5. 函数2

2cos sin 2y x x =+的最小值是______________ 解：()cos 2sin 212sin(2)14

f x x x x π

=++=++，所以最小值为12-.

6. 已知1sin

cos

,0,4

462α

α

πα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭

， 则sin α= . 解：42sin 9

α=

. 回顾总结

：2 min.

不要

记错公式哦！