北师大版初中数学八年级(上)第一章勾股定理1-3勾股定理的应用教学详案

第一章勾股定理
3 勾股定理的应用
教学目标
1.利用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.
2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性.
教学重难点
重点：构建直角三角形，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
难点：从实际问题中合理抽象出数学模型.
教学过程
导入新课
游乐场有一个圆柱形的大型玩具,如图所示,现要从点A开始环绕圆柱侧面修建梯子,正好到达A点的正上方B点,已知圆柱形玩具的底面周长是12米,高AB为5米,那么梯子的长度是多少米?
探究新知
一、合作探究
【探究1】确定立体物体表面上两点之间的最短距离.
【例1】如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
(1)在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？
(2)如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？
(3)蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
∵AB2 = 122+92，∴AB = 15(cm).
答：蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm.
变式训练：
如图,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5 cm.如果一根细线从点P开始经过四个侧面绕一圈到达点Q,那么所用细线最短需要_________cm.
答案：13
【探究2】应用勾股定理解决实际问题
【例2】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.
【解】设滑道AC的长度为x m,则AB的长度为x m,AE的长度为（x-1）m.
在Rt△ACE中，∠AEC = 90°，
由勾股定理得AE2+CE2 = AC2，
即(x-1)2+32 = x2，
解得x = 5.
故滑道AC的长度为5 m.
变式训练：在一次消防演习中,消防员架起一架25米长的云梯,如图所示那样斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米.
(1)这架云梯的顶端距地面有多高?
(2)如果消防员接到命令,要把云梯的顶端下降4米(云梯长度不变),那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米?
解：(1)由题图可以看出云梯、墙、地面可围成一个直角三角形,即云梯为斜边,云梯底部到墙的线段为一条直角边,云梯顶端到地面的线段为另一条直角边.
根据题意252-72 = 242，
所以云梯顶端距地面有24米.
(2)当云梯顶端下降4米后,云梯顶部到地面的距离为20米.
因为252-202 = 152,且15-7 = 8(米)，
所以云梯底部应水平滑动8米.
课堂练习
1.有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，则问这根铁棒应有多长？
2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离为____.
m=0.33m)的正方形.在水池正中央
3.有一个水池，水面是一个边长为10尺(1尺=1
3
有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
4.如图，台风过后，某小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂的吗？
参考答案
1.解：如图，由题意得当铁棒在B处：AC = 1.5米，BC = 2米.
∵AB2 = AC2+CB2 = 2.52，
∴AB = 2.5米.
∵油桶外的部分是0.5米，
∴AD = 2.5+0.5 = 3(米).
当铁棒垂直进入，得出油桶中的长度1.5米+桶外的0.5米= 2米.
答：这根铁棒的长度范围是2米到3米.
2.25
3.解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺.
根据题意得x²+5² =（x+1）².
解得x =12.
x+1=12+1=13（尺）.
答：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺和13尺.
4.解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，由题意得
x2+82 = (16-x)2,
解得x = 6米.
答：旗杆在离底部6米的位置断裂.
课堂小结
确定立体物体表面上两点之间的最短距离的方法：将其转化为平面上两点间的距离，利用两点之间，线段最短来求解.
布置作业
习题1.4第1，2，3，4题
板书设计
3 勾股定理的应用
1.确定立体物体表面上两点之间的最短距离
例1 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
2.应用勾股定理解决实际问题
例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.。