2017_18学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案

三 直线的参数方程
[对应学生用书P27]
1．直线的参数方程
(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α
(t 为参数)
(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义
参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.
[对应学生用书P27]
[例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离．
[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．
[解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为3
4，设直线的倾斜角为α，
则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝4
5.
又点P (1,1)在直线l 上，
所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋4
5
t ，y ＝1＋3
5
t (t 为参数)．
因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上．
由1＋4
5
t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为
5.
理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0
的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．
1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π
6
，则直线l 的参数方程为________________．
解析：直线l
的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2＋t cos
5π
6
，y ＝－4＋t sin 5π
6
(t 为参数)，即
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2－3
2t ，y ＝－4＋12
t (t 为参数)．
答案：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2－3
2t ，y ＝－4＋1
2
t (t 为参数)
2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π
4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间
的距离．
解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋2
2
t ，y ＝4＋2
2t ，
将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0， 得3(3＋
22t )＋2(4＋2
2
t )＝6. 解得t ＝－112
5
，
∴|MP 0|＝|t |＝112
5
.
[例2] 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π
6，
(1)写出直线l 的参数方程．
(2)设l 与圆x 2
＋y 2
＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．
[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．
[解] (1)∵直线l 过点P (1,1)，倾斜角为π6，
∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos π
6
，y ＝1＋t sin π
6，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋3
2t ，y ＝1＋12
t 为所求．
(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为
A (1＋
32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋1
2
t 2)， 以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2
＋y 2
＝4整理得到t 2
＋(3＋1)t －2＝0，① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.
求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数
t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．
3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2
＝7相交于A 、B 两点．
(1)求弦长|AB |； (2)求A 、B 两点坐标．
解：∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π
6，
∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－4＋3
2
t ，y ＝t 2.
代入圆方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2
＝7. 整理得t 2
－43t ＋9＝
设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9 ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝
t 1＋t 2
2
－4t 1t 2＝2 3.
解得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－4＋3
2t ，y ＝12t ，
得A 点坐标(12，332)，B 点坐标(－52，32
)．
4.如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为4
3，直线l 和抛物线y
2
＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：
(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．
解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为4
3，
设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝4
3
，
cos α＝35，sin α＝4
5，
∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋3
5t ，y ＝45t
(t 为参数)． *
∵直线l 和抛物线相交，
∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2
＝2x 中， 整理得8t 2
－15t －50＝0，Δ＝152
＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，
由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.
由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM | ＝⎪⎪
⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516
.
(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝15
16，
将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋35×1516＝41
16
，
y ＝45×1516＝3
4，
即M ⎝
⎛⎭
⎪⎫4116，34.
[对应学生用书P28]
一、选择题
1．直线的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝－1＋t 2，
y ＝2－3
2
t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和
动点，则t 的几何意义是( )
A ．有向线段M 0M 的数量
B ．有向线段MM 0的数量
C ．|M 0M |
D ．以上都不是
解析：参数方程可化为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1＋
－1
2－t ，
y ＝2＋3
2
－t
答案：B
2．曲线的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3t 2
＋2，
y ＝t 2
－1(t 是参数)，则曲线是( )
A ．线段
B ．双曲线的一支
C ．圆
D ．射线
解析：由y ＝t 2
－1得y ＋1＝t 2
，代入x ＝3t 2
＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D
3．直线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋3t ，
y ＝－1＋t
(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )
A ．1 B.10 C ．10
D ．2 2
解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即
－
2
＋－1－
2
＝10.
答案：B
4．若直线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝t cos α，
y ＝t sin α
(t 为参数)与圆⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4＋2cos φ，
y ＝2sin φ
(φ为参数)相切，那
么直线倾斜角α为( )
A.π
6 B.π4 C.π3
D.π6或5π6
解析：直线化为y x
＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2
＋y 2
＝4， ∴由
|4tan α|
tan 2
α＋1
＝2⇒tan 2
α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π
6
. 答案：D 二、填空题
5．直线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋2
2
t ，y ＝－3－2
2t (t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M 下方的
点的坐标是________．
解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2－2
2
－t ，y ＝－3＋2
2
－t ，把－t 看作参数，所
求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．
答案：(3，－4)
6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1－3
5
t ，y ＝4
5t
(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．
解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝4
5.(θ为倾斜角)．
∴tan θ＝－4
3，即为直线斜率．
答案：－4
3
7．已知直线l 1：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－2t ，
y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝s ，
y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，
则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.
解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得
l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2
＝21
≠4＋k
1
⇒k ＝4.
l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k
2
)＝－1⇒k ＝－1.
答案：4 －1 三、解答题
8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5＋3t ，
y ＝10－4t
(t 为参数)．
(1)求直线的普通方程；
(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －5
3
代入y 的表达式 得y ＝10－
x －
3
，
化简得4x ＋3y －50＝0，
所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5－3
5
－5t ，y ＝10＋4
5－5t ，
令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5－3
5
t ′，y ＝10＋4
5
t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．
9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 2
4＋y 2
＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的
长度．
解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π
4
.
椭圆x 2
4
＋y 2
＝1的右焦点为(
3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋2
2
t ，y ＝22
t (t 为
参数)，代入椭圆方程x 2
4＋y 2
＝1，得⎝ ⎛
⎭⎪
⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫22t 2＝1，
整理，得5t 2
＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－2
5，
|t 1－t 2|＝t 1＋t 2
2
－4t 1t 2
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝8
5
， 所以弦AB 的长为8
5
.
10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋4cos θ，
y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，
直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π
3
.
(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；
(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)曲线C ：(x －1)2
＋(y －2)2
＝16，
直线l ：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋1
2
t ，
y ＝5＋3
2
t (t 为参数)．
(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2
＋(2＋33)t －3＝0，
设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.。