正弦函数、余弦函数的图像和性质(第2课时)教案-高一数学湘教版(2019)必修第一册

5.3.1正弦函数、余弦函数的图像和性质（第2课时）
考纲要求：
借助图像正弦函数、余弦函数在[0,2] 上的性质.在上一节在学习了用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，通过平移，得到余弦函数的图象，用五点法作正弦函数的简图的基础上，继续深入学习通过正、余弦函数的图象研究正、余弦函数的性质及简单应用
学习目标：
1.理解正弦函数、余弦函数的图像与性质；掌握正弦函数、余弦函数的周期性、最值与值域、奇偶性、单调性
2.能够利用函数的性质解决一些简单的问题
学习重点：
正弦函数、余弦函数的图像与性质
学习难点：
正弦函数、余弦函数的性质的简单应用以及化归与转化思想方法的应用
核心素养：
直观想象，逻辑推理，数学抽象，数学运算
教学过程
一、复习引入
问题1：（1）正弦函数、余弦函数的定义是什么？
（2）上节课我们是如何通过三角函数线得到正弦函数的图像的？
（3）你能用五点作图法作出正弦函数、余弦函数的大致图像吗？
（4）正弦函数的图像经过怎样的平移可得到余弦函数的图像？
（白板展示问题，引导学生回答问题，教师补充点评学生的回答）
设计意图：复习三角函数的的定义，回顾“五点法”作图
二、新课学习
问题2：既然正弦函数是一个函数，那么我们回忆一下，以前我们研究函数都研究了函数的哪些性质呢？
学生：要研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最大最小值、对称性等.
问题3：由上一节课画正弦函数sin ,y x x R =∈的图像以及诱导公式一sin(2k x )sin x(k Z )π+=∈，当自变量x 增加或者减少2k (k Z )π∈时，sin x 的值呈现怎样的变化规律？
学生：sin x 的值就会重复出现
教师：为了定量的描述这种变化规律，我们可以引入周期函数的概念
知识点：周期函数
一般地，对于函数y f (x )=，如果存在非零常数T ，使当x 取定义域内每一个值时，x T ±都有定义，并且f (x T )f (x )±=，则称这个函数y f (x )=为周期函数，T 称为为这个函数的一个周期.
对周期函数的理解:
（1）任意性,定义中要求对定义域内的任意一个x ,都满足f (x T )f (x )±=.
（2）定义域的特点,由(1)可知,周期函数定义域有什么特点;
（3）如果T 是周期,那么T 的非零整数倍也是周期(如何推导呢) ;
（4）最小正周期.对于函数y f (x )=,如果存在一个最小的正数T 使得f (x T )f (x )+=,则称 T 为函数的最小正周期,最小正周期常简称为周期
设计意图：由诱导公式一学生已经能体会到三角函数具有“周而复始”的特征，只不过没有定义的支持，给出周期性的定义之后学生就明白这种“周而复始”就是周期性。

问题4：认真观察正弦函数的图像，试着总结出正弦函数的性质：如定义域，值域，周期性，奇偶性，单调性
教师：请大家结合正弦函数的图像，总结正弦函数的性质
学生：（1）定义域:R （2）值域: []1,1-（3）奇偶性:奇函数
教师：由图可知,正弦函数的图象关于原点对称,正弦函数应该是奇函数,这是从形上观察到的,同学们还能用之前学过的知识,从代数角度确定正弦函数是奇函数吗?
学生：由诱导公式()sin x sin x -=可知,正弦函数是奇函数.
学生：（4）周期性:周期为2k (k Z )π∈,最小正周期为2π(由周期函数的定义可知)，是根据诱导公式一所得
（5）单调性:我们从图像能看出来正弦函数在整个定义域内既不是增函数也不是减函数，但在某些区间上存在单调性,因为正弦函数最小正周期为2π，所以我们只需要知道一个周期内的单调性，然后加上周期2k (k Z )π∈就可以了.
由图可知, 正弦函数的增区间为2k ,2k (k Z )22ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
, 减区间为32k ,2k (k Z )22ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
（6）对称性:研究正弦函数的对称性,两个角度,一个是对称轴,一个是对称中心. 我们仍然可以类比刚才求单调区间的方法,先找到一条对称轴和一个对称中心,然后在此基础上加上轴和中心的周期就可以了. 从图上可以先找到一条对称轴x 2
π=和一个对称中心（0,0），然后可以发现，相邻的两条对称轴距离为π，相邻的两个对称中心的距离也是π，所以，正弦函数的对称轴为x k (k Z )2π
π=+∈ , 对称中心为(k ,0)π
（7）最大最小值:对于正弦函数y sin x =,当且仅当x 2k (k Z )2π
π=+∈时取得最大值
1,当且仅当x 2k (k Z )2π
π=-∈时取得最小值-1.
设计意图：让学生自主观察、讨论、总结，教师在适当的时候引导，提高学生小组合作和自主探究和表达能力.体现学生的主体地位。

同时数形结合贯穿始终，使学生体会到数形结合的基本思想方法
问题5：类比正弦函数的性质，通过观察余弦函数的图像总结余弦函数的相应性质
学生：（1）定义域:R （2）值域: []1,1-（3）奇偶性:偶函数
（4）周期性:周期为2k (k Z )π∈,最小正周期为2π
（5）单调性:增区间为[]2k ,2k (k Z )πππ-+∈,减区间为[]2k ,2k (k Z )πππ+∈ （6）对称性:对称轴为x k (k Z )π=∈ , 对称中心为(k ,0)2π
π+ (k Z )∈
（7）最大最小值:当且仅当x 2k (k Z )π=∈时取得最大值1,当且仅当x 2k (k Z )ππ=+∈时取得最小值-1.
设计意图：同样由学生自主完成，体会合作的乐趣，同时体验数形结合在数学研究中的重要作用
问题6：正弦函数与余弦函数的图像与性质有哪些共同点和不同点？请试着列表归纳对比
学生1：由于余弦函数可以由正弦函数向右平移2
π个单位得到，所以单调性与单调区间、对称轴、对称中心都相差2
π个单位，同时奇偶性也发生了变化。

学生2：定义域、值域、最值都没有发生变化
设计意图：通过学生对正、余弦函数的异同点加以对比分析，加深对正弦函数、余弦函数性质的理解和记忆。

三、例题讲解
例1.判断函数33f (x )sin(x )42
π=+的奇偶性 解: 对定义域内的任意一个 x ，
33f (x )cos(x )cos x f (x )44
-=--=-=所以函数f (x )为偶函数 教师强调,在判断函数的奇偶性时， 判断“定义域是否关于原点对称”是第一个步骤．定义域关于原点对称是一个函数具备奇偶性的必要非充分条件，对于可以化简的函数，先化简再判断，往往能简化解题的过程.
例2：求下列函数的最大值及取得最大值时的自变量x 的集合：
(1)2sin 2,;(2)2cos ,.3x y x x R y x R =∈=-∈
例2：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
1112(1)sin(1),sin( 1.1);(2)cos ,cos .77ππ--
例2、求函数f (x )sin(2x )3π
=+的单调递增区间．
解：令z 2x 3π
=+,那么函数y sin z =的单调增区间为
2k ,2k (k Z )22ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
． 由2x 3π+
的范围，可以得到 x 的范围，也就是我们所要求解的单调递增区间.
由 2k 2x 2k (k Z )232π
π
π
ππ-+≤+≤+∈得5k x k (k Z )1212
ππππ-+≤≤+∈ 故函数y sin z =的单调增区间为 5k ,k (k Z )1212ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
四、课堂练习
练习1：求使下列函数取得最大值、最小值时自变量x 的集合，并写出最大值、最小值：
(1)2sin 1,;(2)2cos(2),.3y x x R y x x R π=-+∈=-∈
练习2：判断下列函数的奇偶性：
1(1)cos 2;(2)sin cos .2y x y x x =-=
练习3：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
1189(1)sin ,sin ;(2)cos ,cos ;2355
47(3)sin1,sin 2;(4)cos ,cos .99ππππ
练习4：求下列函数的单调区间：
(1)cos ;(2)3sin(2).26x y y x π=-=+
五、课堂小结
本节课你学到了什么？
（1）正弦函数、余弦函数的性质
（2）数形结合在研究数学中的重要作用
六、布置作业
七、板书设计。