江西省九校2018届高三联考文科数学试题含答案

数学试卷（文科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟.
2．本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷 的无效.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、 选择题：本大题共12小题,每小题５分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．已知R n m ∈,，集合
{}
m A 7
log
,2=，集合{}n m B ,=，若{}1=B A ，则n m +=（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
2．已知是实数，是实数，则
7c o s
3a π
的值为( )
A. 1
2 B. 21
- C.0 D.2
3．在矩形ABCD 中，2,4==AD AB ，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与
ADP ∆的面
积都不小于2的概率为（ ）
A ．81
B. 41
C. 21
D. 43
4．下列语句中正确的个数是（ ）
①R ∈∀ϕ,函数)2sin()(f ϕ+=x x 都不是偶函数 ②命题“若y x = 则y x sin sin =”的否命题是真命题
a
i
1i a +-
③若p 或q 为真 则p ，非q 均为真
④“b a ⋅0>”的充分不必要条件是“a 与b 夹角为锐角” A. 0 B ．1 C ．2 D ．3
5．阅读如下程序框图，如果输出5=i ，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）
A ．8<s
B ．8≤s
C ．9<s
D ．9≤s
6．一个空间几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．3
2
3+π
B ．3
3
+π
C ．32+π
D ．3
3
2+π
7．已知实数
y
x ,满足：⎪⎩⎪
⎨⎧≤-≤+≥-6
26
02y x y x x ， 则1
2x --=y Z 的最大值（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
8．将函数
ϕ
π
ϕsin )2
2cos(cos )sin
21()(2
+
+-=x x x f 的图象向右平移
3π
个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的取值可能为（ ）
A ．
3π
-
B ．
6π-
C ．3π
D ．65π
9．函数
x
x
x y --=
3
3
3
的图像大致是（ ）
10．已知定义在R 上的函数
)
(x f 是奇函数，且满足
)
()2
3(
x f x f =-，2)2(-=-f ，数列
{}n a 满足1
1
-=a ，且1
2
+=n
a n
S n n
（
{}
n a S n 为的前项和n ），则
=
)(5a f （ ）
A ．3-
B ．2-
C ．3
D ．2
11．在正方体1111D C B A ABCD -中边长为2，点P 是上底面1111D C B A
内一动点，若三棱锥
ABC P -的外接球表面积恰为4
41π
,则此时点P 构成的图形面积为（ ）
A ．π
B ．π
16
25
C ．π
16
41
D ．π2
12．若函数)(x f y =，M x ∈对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实
数x ，都有)()(T x f x af +=恒成立，此时T 为)(x f 的假周期，函数)(x f y =是M 上的a 级假
周期函数，若函数)(x f y =是定义在区间[)∞+，0内的3级假周期且2=T ，当，)2,0[∈x ⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤-=)21)(2()
10(221)(f 2
x x f x x x 函数m x x x x g +++-=2
21ln 2)(，若[]8,61∈∃x ，
)
0(2∞+∈∃，x 使0)()(12≤-x f x g 成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．
]
2
13,
(-∞ B ．]12,(-∞ C ．]39,(-∞ D ．),12[+∞
第2卷（非选择题共90分）
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13．已知向量()()R a ∈+-=ααα3sin ,1cos ,()
1,4=b
+的最小值为 .
14．曲线
2
x
y =在点()1,1P 处的切线与直线l 平行且距离为5，则直线l 的方程为 .
15．在△ABC
|
|53cos ||AB A CA B =
-则)tan(B A -的最大值为 .
16．已知椭圆1
5
92
2
=+
y
x
的右焦点为F ,P 是椭圆上一点，点)32,0(A ，当点P 在椭圆上
运动时，
APF ∆的周长的最大值为.
____________
三、解答题：共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分）
数列{}n a 的前n 项和
2232
n n
n S +
=
，数列{}n b 满足()
*1log
32
N n b a n n ∈-=
（1）求数列{}
n a ，
{}
n b 的通项公式； （2）求
{}
n n b a ⋅的前n 项和
n
T .
18．（本小题满分12分）
如图，已知多面体PABCDE
的底面ABCD 是边长为2的菱形，ABCD PA 底面⊥，
E D
P A
，且22P A E D ==．
（1）证明：平面P A C ⊥平面P C E ；
（2）若60A B C ∠=，求点P 到平面ACE 的距离.
19．（本小题满分12分）
进入高三，同学们的学习越来越紧张，学生休息和锻炼的时间也减少了。

学校为了提高学生的学习效率，鼓励学生加强体育锻炼。

某中学高三（3）班有学生50人。

现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况，得到如下频率分布直方图。

其中数据的分组区间为：[](](](](](]
,2,4,4,6,6,8,8,10,10,120,2
（1）求学生周平均体育锻炼时间的中位数（保留3位有效数字）； （2）从每周平均体育锻炼时间在 []4,0 的学生中，随机抽取2人
进行调查，求此2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时 的概率；
（3）现全班学生中有40％是女生，其中3个女生的每周平均体育
锻炼时间不超过4小时。

若每周平均体育锻炼时间超过4小时称为经常锻炼，问：有
没有90％
的把握说明，经常锻炼与否与性别有关？
附：
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点)2
3,
2
2(
P ，)
3
6,
3
6(
Q
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线m kx y +=与椭圆交于B A ,两点，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值.
21．（本小题满分12分）
已知函数x
b x x x f ln 13)(+-
=．
（1）当4-=b 时，求函数)(x f 的极小值；
（2）若∃x ∈上，使得114()b x f x x
x
+-
-<-
成立，求的取值范围．
（二）选考题：共10分。

请考生在22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
已知直线:30
l x y +-=，曲线
{()
2c o s 2
:
2sin x C y θθθ
=+=为参数。

以坐标原点O 为极点,
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）分别求直线l 和曲线C 的极坐标方程；
（2）若射线:(,)
4
2
m π
π
θααρ=-
<<
≥0分别交直线l 和曲线C 于M,N 两点（N 点不
同于坐标原
点O ），求O N
O M 的最大值.
23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
().
32+-=x x x f
（1）若对于任意的实数x ，都有()m
m
x f 722
-≥成立，求m 的取值范围；
（2）若(),ax x g =方程()()x g x f =有两个不同的实数解，求a 的取值范围。

九校联考文科数学试卷答案
1—6：DABBDA 7-12:BABDAC 13: 4 14: 240x y -+=或260x y --=
15: 3
4 16: 14 17：解：（1）2≥n 时
1
31-=-=-n S S a n n n
当1=n 时 211==S a
1
3-=∴n a n
由
n
n n b b n 2
1log
3132
=⇒-=- ………………………………………….. 6分
（2）
n
n n n b a 2
)13(-=⋅∴
n
n n n Tn 2
)13(2)1)1(3(2)133(2)123(2)113(1
3
2
1
-+--⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯+-⨯=-
2
1
322
)13(2)1)1(3(2)113(2)113(+-+--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯+-⨯=n n n n Tn
1
4
3
2
2
)13()2222(34+--+⋅⋅⋅++++=-n n
n Tn
1
1
2
)13(2
1)
2
1(434+-----⨯+
=n n n
)
34(2
81
n n -+-=+
8
2)43(1
+-=+n n Tn ……………………………….. 12分
18．解：（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ，
连接OF ，EF ．
因为O ，F 分别为A C ，P C 的中点，
所以
O F P A
，且
12O F P A
=
，
因为
D E P A
，且12
D E P A
=
，
所以DE OF //,且DE OF =
所以四边形O F E D 为平行四边形，所以O D
E F
，即B D
E F
．
因为P A ⊥平面A B C D ，B D ⊂平面A B C D ，所以P A B D ⊥． 因为A B C D 是菱形，所以B D A C ⊥． 因为A AC PA = ,所以⊥BD 平面PAC 因为EF BD //,所以EF ⊥平面PAC
因为⊂EF 平面PCE ,所以平面PAC ⊥平面PCE …………………………………….. 6分
（2）因为60A B C ∠=，所以△A B C 是等边三角形，所以2A C =．
又
因
为
P A ⊥
平面
A B
C ，
A C ⊂
平面
A B
C ，
∴
P A A C ⊥．
2
2
1=⨯⨯=
∴∆AC PA S PAC
因为E F ⊥面P A C ，所以E F 是三棱锥PAC E -的高， 3
=
==BO DO EF ,
33
232313
1=
⨯
⨯=
⨯=
=∴∆--EF S V V PAC PAC E ACE P
,//PA DE P A ⊥
平面A B C D ,.,,CD DE AD DE ABCD DE ⊥⊥∴⊥∴平面
2
2
12251=⨯
⨯=∴=
=∴=∆ACE S CE AE DE ，，
所以点P 到平面ACE 的距离3
3
23
32
31=
=
=
∆-ACE
ACE P S V h .………………………………..12分
19.解：（1）设中位数为a,
因为前三组的频率和为：（0.02+0.03+0.11）×2=0.32 ＜0.5 ，
第四组的频率为：0.14×2=0.28 ，所以（a-6）×0.14=0.5-0.32 , a=
29
.77
51≈
学生周平均体育锻炼时间的中位数是7.29 (4)
分
（2）由已知，锻炼时间在[]2,0 和(]4,2 中的人数分别是 50×0.02×2=2人, 50×0.03×2=3人，分别记在[]2,0的 2人为,
,(]4,2的3人为
,,
则随机抽取2人调查的所有基本事件列举为:
, , , ,
, ,
,
,
,
共10个基本
事件
其中体育锻炼时间都超过2小时包含3个基本事件,所以103
=
p (8)
分
（3）由已知可知，不超过4小时的人数为：50×0.05×2=5人，其中女生有3人，所以男生有2人，因此经常锻炼的女生有50×40％-3=17人，男生有30-2=28人 所以2×2列联表为：
所以
()
706
.2＜27
255
45203017
2328502
2
=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=
k
所以没有90％的把握说明，经常锻炼与否与性别有关。

………………………………….. 12分
20：（1）设椭圆的方程为
1
2
2
=+ny
mx
将)
3
6,
3
6(
)
23,22(
Q P 带入方程，可得
1
,
21==
n m
故椭圆的标准方程为1
22
2
=+y
x
………………………………………….. 4分 （2）设)
,(,
),(2211y x B y x A
1
2
2
2
=++=y
x
m kx y 0
224)21(2
2
2=-+++⇒m
kmx y
k
∆0
)22)(21(4162
22
2
＞-+-=m
k m
k
0122
2
＞m k
-+⇒
2
2
212
21212
2214k
m
x x k
km x x +-=+-=
+
)
12(82114)(1||2
2
2
2212
212
m k k
k x x x x k
AB -+++=
-++=∴
原点到直线l 的距离
2
111k
m d +=
…………………….. 8分
)
12(2121221|
|2212
2
22
2
2
2
m k
m k
m
k k
m d AB S AOB -++=
-++=⋅=∴∆｜｜
由0＞∆得0122
2＞m k -+ 又0≠m 由基本不等式
2
22
122122
2
2
2
=
-++⋅
+≤
∆m
k
m
k
S AOB
当且仅当
2
1
22
2
+=
k
m
时，不等式取“=”号 ……………………….. 12分
21．解：（1）当4-=b 时，
()()
/
2
2
31141()3x x x f x
x
x
---=
+
+=
令/
()x f =
0，得1
3
1==
x x 或 ………………………3分
且)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝
⎛31,0上单调递增，在⎪
⎭⎫
⎝⎛1,31上单调递减，在上单调递增
所以)(x f 在时取得极小值为2)1(=f 。

………………………5分
（2）由已知：∃x ∈
，使得
11114()4()0
b b x f x x f x x
x
x
x
++-
-<-
⇒-
-+
<
11143ln 0
b x x b x x x
x
+⇒-
-+
-+<，即：1ln 0
b x b x x
+-+
<
设，则只需要函数在上的最小值小于
零．
又，
令，得（舍去）或． ………………………8分 ①当
，即
时，
在
上单调递减，
故在上的最小值为，由，可得．
因为，所以． ………………………9分 ②当，即
时，
在上单调递增，
故在
上的最小值为，由
，
可得（满足
）． ………………………10分
③当，即时，
在
上单调递减，在上单调递增，
故在上的最小值为
．
因为，所以
，
所以
，即
，不满足题意，舍去．
综上可得或，
所以实数的取值范围为． ………………………12分
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.解：（1）:(c o s sin )3l ρθθ+=
2
2
2
2
:4404c o s (2)C x x y y x ρθ
+=⇒+-=⇒=- ……………..…4分
（2）由已知可设
12(,),(,),()
4
2
M N π
π
αααρρ-
<<
则
12
3
,4c o s c o s s in α
ρρ
αα
=
=+ ………………..…6分
2
1
42c o s (c o s s in )(c o s 2s in 21)
3
3
221)
o s (2)1334O N O M
ρ
αααααρπ
α∴
=
=
+=
++⎤
=
≤-
+⎥⎦
仅当8πα=
时，取得最大值2
1)
3 …..…10分
23. 解：（1） 由于()()
()
()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤----<-=+-=0,303,333,332x x x x x x x x x f ，
所以()x f 的最小值为()30-=f 。

又因为对任意的实数x ，都有 ()m m x f 722-≥成立，只需3722-≤-m m ，即
03722≤+-m m ，解得3
21
≤
≤m ，故m 的取值范围为
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡3,21。

………5分
（2）方程()()x g x f =有两个不同的实数解，即函数()x f y =与
()x g y =的图像有两个不同的交点，作出这两个函数图像，由图像
可知，a 得取值范围是[){}.21,1-- ………10分。