直线圆圆锥曲线基础知识总结

《直线·圆·圆锥曲线》基础知识总结
第一章. 直线与方程
1.直线的倾斜角与斜率：
⑴.直线的倾斜角及斜率：直线
l 与x 轴正方向所成的角称为直线的倾斜角。

0,⑵.直线的斜率：
定义i tan k （2），当0,2时，k ＞0，且k 随的增大而增大；当
,2时，k ＜0，也有k 随的增大而增大。

如：若3＜k ＜3，则2
0,,33等。

定义ii 经过A 11,x y 、B 22,x y 两点的直线的斜率2
121y y k x x ，（210x x ）
2.直线方程的几种形式：
⑴.点斜式：00,p x y ，斜率k,则直线的方程为：
00()y y k x x ⑵.斜截式：斜率为
k,纵截距为b, 则直线的方程为：y kx b ⑶.两点式：已知两点112(,)p x x 和222(,)p x y ，则：（2
1x x ）（1y y ）＝211y y x x ⑷.截距式：设a 为横截距，b 为纵截距，则直线方程为：1x
y a b （a ≠o,b ≠0）
在两坐标轴上截距相等的直线，要么过原点，要么
k ＝－1。

⑸.一般式：Ax+By+C=0,其中A,B 不同时为0。

3.两条直线的位置关系：
设直线1l ：11111(0)y k x b A x B y C ,222222:()l y kx b A x B y C ⑴.相交：121221()k k A B A B ,两条直线的交点坐标就是方程组1
2
l l 的解。

方程111222()()0A x B y C A x B y C （120l l ）表示经过两条直
线交点的所有直线（但不包括2l ）―――――直线系方程。

如：直线（m+3）x+(2-m)y+3-2m=0所过定点为m(x-y-2)+(3x+2y+3)=0,即方程组20
3230x y x y 的解。

★设,f x y Ax By C ，线段AB 与直线l 有公共点的充要条件：
f A f B ≤0 ⑵.平行：1l ∥2l ，则12k k 且12b b 或1
11222A B C A B C ,
022Ax By C d A B (点到直线)，12
22c c d A B (两平行线)
⑶.垂直：1l ⊥2l 121k k ，1l ⊥2l 12120
A A
B B 4.关于直线的对称问题：
⑴.点00,P x y 关于x 轴，y 轴，原点，直线
y=x,直线y=-x,及直线y=x+c 对称点的坐标分别是：00,x y ，00,x y ，
00,x y ，00,y x ，00y x 及00,y c x c 。

⑵. 点00,P x y 关于0Ax By C 的对称点为A 求法：1AA l
k k AA l 的中点坐标满足方程
第二章、圆的方程
1.圆的方程：⑴.圆的标准方程：
222x a y b r ，圆心（a,b ）,半径为r ⑵.圆的一般方程：22220(4x y Dx
Ey F D E F ＞0) 其中，圆心,22D
E ,半径r=22142D E F
⑶.圆的参数方程：cos sin x
a r y
b r ，圆心为（a,b ）,半径为r
⑷.圆系方程：经过两个圆交点的曲线方程为：
120C C ,特别的，当1时，1
20C C 表示经过两个圆的公共弦所在直线方程。

2.直线和圆的位置关系：
设直线为：Ax+By+C=0,圆的方程为：
222x a y b r ，22aA bB C d A B 若d ＞r,则直线与圆相离；若
d=r,则，直线与圆相切；若d ＜r,则，直线与圆相交。

3.圆与圆的位置关系：
设圆1O 的半径为1r ，圆2O 半径为2r ，d
12O O 为圆心距，则，当12d r r 时，两圆外切；当12d
r r 时，两圆内切；
当d ＞12r r 时，两圆相离；当12r r ＜d ＜12r r 时，两圆相交。

第三章.圆锥曲线
1.椭圆：
⑴.定义1：M ︳122MF MF a ，2a ＞12F F ｝,当12F F ＝2a 时，M 点的轨迹为线段.
定义2：定点F ，定直线l ,动点M 到定直线l 的距离为d,若MF
e d ，
当0＜e ＜1时，点M 的轨迹为以F 为焦点，以
l 为相应准线的椭圆；当e ＞1时，点M 的轨迹为以F 为焦点，以
l 为相应准线的双曲线；当e=1时，点M 的轨迹为以F 为焦点，以
l 为相应准线的抛物线。

⑵.椭圆的标准方程：22221x y a b （a ＞0,b ＞0,222a b c ）或22221
y
x
a b 参数方程：
cos sin x a y b ，其中为参数。

⑶.椭圆的几何性质：①.范围：－a ≤x ≤a , -b ≤y ≤b
②.对称性：中心对称图形。

③.顶点：曲线与其对称轴的交点叫顶点
. 1,0A a ,2,0A a ,10,B b ,20,B b
长轴长为2a, 短轴长为2b ④.离心率：c
e a ，0＜e ＜1,焦点1,0F c ，2,0F c ，焦距为2c
⑤.焦半径：10PF a ex ，20PF a ex ，准线: 2a x
c ;通径长：22b a ⑥.近地点、远地点：
11A F a c ，21A F a c ⑦.焦点角：
P 为椭圆上任一点，则0≤∠12F PF ≤∠12F BF 2.双曲线：
⑴.定义：
M ︳122MF MF a ，2a ＜12F F ｝当12F F =2a 时，M 点的轨迹是两条射线。

⑵.标准方程：22221x
y
a b ，（a ＞0,b ＞0，222a b c ）22221
y
x a b
⑶.几何性质：
①.范围：x ≤-a 或x ≥a , y
R ②.对称性：中心对称图形
③.顶点：1,0
A a 2,0A a ，实轴长为2a,虚轴长为2b ④.离心率：c
e a ＞1，准线：2a x c
；通径长：22b a ⑤.渐近线：b
y x a
（22
220x y a b ）⑥.等轴双曲线：22x y （0），2e ，渐近线：y x
⑦.共轭双曲线：
22221x y a b 互为共轭双曲线，共轭双曲线有共同的渐近线。

3.抛物线：
⑴.定义：M ︳MF
d , F l ﹜,F 为焦点，l 为准线。

⑵.标准方程：22y px 22x p y （FN ＝P ）
⑶.几何性质：（22y px ）
①.范围：x ≥0,y
R ；对称性：关于y 轴对称；顶点O(0,0) ;离心率e=1。

②.准线：2p
x ，(,0)2
p F ；通径长：2p ；焦半径：2p ③.焦点弦问题：1222sin p
AB x x p ；2124p x x ；2
12y y p ④. (,0)M a 到抛物线上动点P 的最小距离：当a ≤p 时，min PM a
当a ＞p 时，
2min 2PM ap p 4.直线与圆锥曲线的位置关系：
①. 24b ac ,＞0时，相交；＝0时，相切；＜0时，相离。

②.弦长公式：221212(1)()4AB k x x x x 21212
2114y y y y k。