2018年闵行区中考数学二模试卷及答案

2018年闵行区中考数学二模试卷及答案
闵行区2017学年第二学期九年级数学质量调研考试试卷
注意事项：
1.本试卷共25题，分为三个大题。

2.答题时，请按照要求在答题纸上作答，草稿纸和试卷上的答案无效。

3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸上写出证明或计算的主要步骤。

一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1.下列各式中，二次单项式是
A。

x² + 1
B。

xy² / 3
C。

2xy
D。

(-2)²
2.下列运算结果正确的是
A。

(a + b)² = a² + b²
B。

(a - b)² = a² - b²
C。

a³ * a² = a⁵
D。

2a - 1 = 1 / (2a) (a ≠ 0)
3.在平面直角坐标系中，反比例函数y = k / x (k ≠ 0)的图像在每个象限内，y随着x的增大而减小，那么它的图像的两个分支分别在
A。

第一、三象限
B。

第二、四象限
C。

第一、二象限
D。

第三、四象限
4.有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的
A。

平均数
B。

中位数
C。

众数
D。

方差
5.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是
A。

当AB = BC时，四边形ABCD是菱形
B。

当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C。

当∠ABC = 90o时，四边形ABCD是矩形
D。

当AC = BD时，四边形ABCD是正方形
6.点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那么圆O与直线a的位置关系可能是A。

相交
B。

相离
C。

相切或相交
D。

相切或相离
二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）
7.计算：-1 + 22 = 21
8.在实数范围内分解因式：4x² - 3 = (2x + 1)(2x - 3)
9.方程2x - 1 = 1的解是 x = 1
10.已知关于x的方程x² - 3x - m = 0没有实数根，那么m
的取值范围是 m < 9 / 4
11.已知直线y = kx + b(k ≠ 0)与直线y = -x平行，且截距
为5，那么这条直线的解析式为 y = kx + 5
已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求其在区间[0,2]上的最大
值和最小值，并确定最大值和最小值所对应的x值。

23．（本题满分12分）
已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在区间[0,1]上的图像如下
图所示，其中a,b,c,d均为常数。

1）求函数f(x)的解析式；
2）求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值，并确定
最大值和最小值所对应的x值；
3）求函数f(x)在区间[0,1]上的单调区间和拐点。

24．（本题满分12分）
已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，g(x)为函数f(x)的反函数，求g'(1)的值。

25．（本题满分12分）
已知函数f(x)=x^2-2x+1，g(x)=f(x+1)-f(x)，h(x)=g(x+1)-g(x)，求函数h(x)的解析式，并画出函数h(x)的图像。

26．（本题满分12分）
已知函数f(x)=x^2-2x+1，g(x)=f(x+1)-f(x)，h(x)=g(x+1)-g(x)，k(x)=h(x+1)-h(x)，求函数k(x)的解析式，并画出函数
k(x)的图像。

1+（-1+1）+（-2+2）+……+（-2018+2018）
=1+0+0+……+0+2018=2019（2分+2分+2分）
答：2019．（2分）
20．解：（1）对于任意的x，都有x22x20，所以D x|x22x20，x R；（2分+2分）
2）x22x2（x1）211，所以D R，即D的解集为全体实数．（2分）
答：D的解集为全体实数．（2分）
21．解：（1）设圆心为O，连接OA、OB、OC，如图：（2分）
AOB=60o，∠BOC=120o，∠AOC=180o，所以O在圆内，即圆心在△ABC内部．（2分）
2）设圆心为O，连接AD，如图：（2分）
OAD=2∠OCD=2×30o=60o，所以△OAD为等边三角形，即AD=OD=2．（2分）
答：（1）圆心在△ABC内部；（2）AD=2．（2分+2分）
22．解：设自行车的平均速度为v，则驾车的平均速度为
v+15，根据题意可列出方程：（2分）
7.5÷v+1=7.5÷（v+15）（2分）
化XXX：（2分）
v2+15v-225=0
解得：v=15（舍去负根号）．（2分）
答：自行车的平均速度为15千米／小时．（2分）
23．解：（1）如图：（2分）
由∠BAC=2∠C，得∠ABC=180o-3∠C，∠ACB=180o-
∠BAC-∠ABC=∠C，所以△ABC为等角三角形．（2分）
因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAE=∠CAE=∠C/2，同理，∠XXX∠CBD=∠B/2，所以△ABE与△CBD相
似．（2分）
所以：（2分）
BF·BC=BE·BA=AB·BD．
2）如图：（2分）
因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD，又因
为△ADQ是等腰三角形，所以∠DAQ=∠ADQ，所以
∠CAD=∠ADQ，所以点Q在直线CD上．（2分）
又因为AE是∠BAC的平分线，所以
∠BAE=∠CAE=∠C/2，所以∠BAD=∠BAE+∠EAD=3∠C/2，所以∠ACB=2∠C=2∠BAD，所以四边形ADGF是菱形．（2分）
答：（1）BF·BC=AB·BD；（2）四边形ADGF是菱形．（2分+2分）
24．解：（1）抛物线的解析式为y=ax2-2x+c，因为抛物
线与x轴交于点A和点B（1，0），所以a-2+c=0，因为抛物
线与y轴相交于点C（0，3），所以c=3，代入得a=1，所以
抛物线的解析式为y=x2-2x+3．顶点D的横坐标为x=-b/2a=1，纵坐标为y=-(/4a)=2．（4分+4分）
2）如图：（2分）
因为AB是抛物线y=x2-2x+3的一条切线，所以
∠DAB=90o，又因为BC是直线y=3的一条垂线，所以
∠ACB=90o，所以∠DAB=∠ACB，所以△DAB与△ACB相似，所以∠XXX∠DAB=90o-∠ABC，所以
∠CAB+∠ABC=90o，所以四边形ACBD是直角梯形．（2分
+2分）
3）如图：（2分）
因为△ADQ是等腰三角形，所以DQ=AD=2，又因为Q
在抛物线上，所以y=x2-2x+3，代入得x2-2x+3=2，即x2-
2x+1=0，解得x=1，所以Q（1，2）．（2分）
答：（1）y=x2-2x+3，D（1，2）；（2）四边形ACBD
是直角梯形；（3）Q（1，2）．（4分+2分+2分）
25．解：（1）如图：（2分）
因为BF=x，所以EF=BF-BE=x-DE，所以△BDE与
△EFC相似，所以FC=8·EF/x，所以y=EF+FC=9EF/x，所以
y=9(x-DE)/x=9x/x-9DE/x，所以y=9-9DE/x．因为DE=BD-
BE=x-1，所以y=9-9(x-1)/x=9/x+9/(x-1)，所以y与x之间的函
数关系式为y=9/x+9/(x-1)，定义域为x（1，+）且
x1．（4分+4分）
2）如图：（2分）
因为△BDE与△XXX相似，所以∠XXX∠XXX，又因为BD是圆B的切线，所以∠XXX∠BCA，所以∠BCA=∠EFC，所以AEFC是一个等腰三角形，所以ED=FC=8·EF/x=8(x-
DE)/x=8x/x-8，所以ED=8+64/(x-8)，所以ED的长为8+64/(x-8)．（2分+3分）
3）如图：（2分）
因为AC=6，BC=8，所以AB=10，又因为BF=x，所以
AF=10-x，所以∠ABF=∠ACB，所以△ABF与△ACB相似，
所以∠ADB=∠ABC，又因为BD是圆B的切线，所以
∠ABD=∠BCA，所以△ABD与△BCA相似，所以
∠BAD=∠BAC，所以△BAD与△BAC相似，所以
AD=AC2/AB=9/5，又因为△ADQ是等腰三角形，所以
DQ=AD=9/5，所以Q（x，y）满足x2=ax2-2x+c，y=9-9DE/x，y=x-9/5，解得x=2，y=11/5，所以Q（2，11/5）．（2分+3
分）
答：（1）y=9/x+9/(x-1)，定义域为x（1，+）且
x1；（2）ED的长为8+64/(x-8)；（3）Q（2，11/5）．（4
分+3分+3分）
2．解：由第一行的两个式子可得：$x-2y=1$，$x+y=3$。

将第二个式子代入第一个式子中，得到$2y=2$，解得$y=1$，
然后代入第二个式子中，得到$x=2$。

因此原方程组的解为
$x=2$，$y=1$。

21．解：（1）令$y=0$，则$-2x+4=5$，解得：$x= -
\frac{1}{2}$，因此点A坐标是$\left(-\frac{1}{2},0\right)$。

令$x=0$，则$y=4$，因此点B坐标是$\left(0,4\right)$。

根据勾股定理，$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。

因为$\angle BAC=90^\circ$，$\tan \angle
ABC=\frac{1}{2}$，所以$AC=5$。

过点C作$CD\perp x$轴于
点D，易得$\triangle OBA\sim \triangle DAC$，因此$AD=2$，$CD=1$，因此点C坐标是$\left(4,1\right)$。

2）$\mathrm{S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times
AB\times AC=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{5}\times 5=\sqrt{5}$。

因
为$\mathrm{S}_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}\times AM\times BM$，而$AM=1$，$BM=\sqrt{2^2+(m-4)^2}$，因此
$\mathrm{S}_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}\times \sqrt{2^2+(m-4)^2}$。

因为$\triangle ABM\sim \triangle AOE$，所以
$\frac{AM}{AO}=\frac{BM}{OE}$，即
$\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2^2+(m-4)^2}}{OE}$，解得
$OE=2\sqrt{2}$。

因此$\mathrm{S}_{\triangle
ABM}=\frac{1}{2}\times \sqrt{2^2+(m-4)^2}=\frac{1}{2}\times \sqrt{4+(OE-2)^2}=\frac{1}{2}\times \sqrt{12}=2\sqrt{3}$。

因此$2\sqrt{3}=\frac{1}{2}\times 2\times ME$，解得
$ME=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=2$，因此点M坐标是
$\left(1,2\right)$。

22．解：设自行车的平均速度是$x$千米/时。

根据题意，列方程得$\frac{7.5}{x}=\frac{7.5}{x-15}+\frac{1}{4}$。

化简得：$x^2+15x-450=0$。

解得：$x_1=15$，$x_2=-30$。

因为速度是正数，所以自行车的平均速度是$15$千米/时。

经检验，方程的根$x_1=15$符合题意，而$x_2=-30$不符合，因此舍去。

因此自行车的平均速度是$15$千米/小时。

证明：
1）因为$AE$平分$\angle BAC$，所以$\angle
BAC=2\angle BAF=2\angle EAC$。

又因为$\angle BAC=2\angle C$，所以$\angle BAF=\angle C=\angle EAC$。

又因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle DBC$。

因为$\angle ABF=\angle C$，$\angle ABD=\angle DBC$，所以$\triangle ABF \sim \triangle CBD$。

因此
$\frac{AB}{BF}=\frac{BC}{BD}$，即$BF \cdot BC=AB\cdot BD$。

2）因为$FG \parallel AC$，所以XXX因为$\angle
BAF=\angle BGF$，$\angle ABD=\angle GBD$，$BF=BF$，所以XXX因此$AF=FG$，$BA=BG$。

因为$BA=BG$，$\angle ABD=\angle GBD$，$BD=BD$，所以XXX因此$\angle
BAD=\angle BGD$。

因为$\angle BAD=2\angle C$，所以
$\angle BGD=2\angle C$，因此$\angle GDC=\angle C$，$\angle GDC=\angle EAC$，所以$AF \parallel DG$。

又因为$FG
\parallel AC$，所以四边形$ADGF$是平行四边形。

因此
$AF=FG$，所以四边形$ADGF$是菱形。

3）解：（1）将$B(1,0)$和$C(0,3)$代入$y=ax^2-2x+c$中，得到$\begin{cases}9a+6+c=0\\a=-1\end{cases}$，解得$c=3$，
因此抛物线的解析式是$y=-x^2-2x+3$。

顶点坐标为$D(-1,4)$。

2）令$y=0$，则$-x^2-2x+3=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$。

因此$A(-3,0)$或$A(1,0)$。

因为$OA=OC=3$，所以XXX在直
角三角形$BOC$中，$\tan \angle
OCB=\frac{OB}{OC}=\frac{1}{3}$。

因为$AC=3\sqrt{2}$，$DC=2$，$AD=5$，所以$AC^2+DC^2=20$，$AD^2=20$。

AC^2 + DC^2 = AD^2，其中△ACD为直角三角形，且
∠ACD=90°。

由此可得，XXX∠DAC=DC1/AC3.
又因为∠DAC和∠OCB都是锐角，所以∠XXX∠XXX。

（1分）
因此，∠DAC+∠XXX∠BCO+∠XXX，即
∠DAB=∠XXX。

（1分）
3）令Q(x,y)，且满足y=-x^2-2x+3，A(-3,0)，D(-1,4)。

由于△ADQ是以AD为底的等腰三角形，化简得：x-
2+2y=0.（1分）
由方程组得：x-2+2y=0，y=-x-2x+3.（1分）
因此，QD^2=QA^2，即(x+3)^2+y^2=(x+1)^2+(y-4)^2.
解得：x=-3+4/5，x=-3-4/5.因此，Q的坐标为(-3+4/5,11/5)，(-3-4/5,-1/5)。

（2分）
25.解：（1）在直角△ABC中，AC=6，BC=8，
∠ACB=90°。

因此，AB=10.（1分）
过E作EH⊥AB，垂足为H，易得EH=x，BH=x，FH=x。

（1分）
在直角△EHF中，EF=EH+FH=x/5+2x/5=2x/5.
因此，y=EF/AB=x/5.（1分）
2）取ED≈2EF，P是ED的中点，联结BP交ED于点G。

由于ED≈2EF，且P是ED的中点，因此EP≈EF≈PD。

因
为BP过圆心，所以BG⊥ED，ED=2EG=2DG。

（1分）又因为∠XXX∠DEB，所以∠CAE=∠ABC。

（1分）
由于BE是公共边，所以△BEH≌△BEG，因此
EH=EG=GD=x。

在直角△CEA中，AC=6，BC=8，
tan∠CAE=tan∠ABC=BC/AC=4/3.
因此，XXX∠CAE=16/3.
BE=8/5
ED=2EG=x/5525
四边形ABDC不可能为直角梯形。

如果CD∥AB，则四
边形ABDC只可能是直角梯形当且仅当∠ABD=∠CDB= 90o。

在Rt△CBD中，由BC=8可得CD=32/5，BD=24/5.因此，
BE=8/5.但是，CD/CE≠AB/BE，因此CD不平行于AB，与
CD∥AB矛盾。

因此，四边形ABDC不可能为直角梯形。

如
果AC∥BD，则四边形ABDC只可能是直角梯形当且仅当
∠ACD=∠CDB= 90o。

由于AC∥BD且∠ACB= 90o，因此
∠ACB=∠CBD= 90o。

因此，∠ABD=∠ACB+∠BCD。

90o，
与∠XXX∠CDB= 90o矛盾。

因此，四边形ABDC不可能为直角梯形。