高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷

高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷
本试卷满分150分，其中选择题共75分，填空题共25分，解答题共50分。

试卷难度：0.63
一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）
1．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）
A．1B．2C．4D．8
2．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
3．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）
A．440B．330C．220D．110
4．（5分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：
①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；
②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）
A．①②都是真命题B．①②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题
5．（5分）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是由关系式a n
+1
（）
A．B．C．D．
6．（5分）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．
7．（5分）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10
C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定
8．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若
（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．
9．（5分）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）
A．{S n}为递减数列
B．{S n}为递增数列
C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列
10．（5分）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）
A．尺B．尺C．尺D．尺
11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于
（）
A．25B．27C．50D．54
12．（5分）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）
A．钱B．钱C．钱D．钱
13．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）
A．4B．C．﹣4D．﹣
14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）
A．6B．7C．8D．9
15．（5分）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）
A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0
二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
16．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．
17．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．
18．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个
整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为．
19．（5分）已知无穷数列{a n }，a 1=1，a 2=2，对任意n ∈N *，有a n +2=a n ，数列{b n }满足b n +1﹣b n =a n （n ∈N *），若数列
中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b 1的值为．
20．（5分）设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为．
三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）
21．（10分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．
（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；
（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．
22．（10分）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n =max {b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }（n=1，2，3，…），其中max {x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．
（1）若a n =n ，b n =2n ﹣1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，
＞M ；或者存
在正整数m ，使得c m ，c m +1，c m +2，…是等差数列．
23．（10分）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1．
24．（10分）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．
（1）求{a n }的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．
25．（10分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3﹣x 2=2． （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1（x 1，1），P 2（x 2，2）…P n +1（x n +1，n +1）得到折线P 1 P 2…P n +1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=x n +1所围成
的区域的面积T n．
高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）
1．（5分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）
A．1B．2C．4D．8
【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．
【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．
【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，
∴，
解得a1=﹣2，d=4，
∴{a n}的公差为4．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．
【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a 的值．
【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，
∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，
∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，
又总共有灯381盏，
∴381==127a，解得a=3，
则这个塔顶层有3盏灯，
故选B．
【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．
3．（5分）（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110
【考点】8E：数列的求和．
【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n ﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．
【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n﹣1，（n∈N+），
则=a i，
由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2，
），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，可知当N为时（n∈N
+
即为2n﹣n﹣2，
容易得到N＞100时，n≥14，
A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．
B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．
C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．
D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．
故选A．
方法二：由题意可知：，，，…，
根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1， (2)
﹣1，
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为N=1+2+3+…+n=，
所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=
﹣n=2n+1﹣2﹣n，
由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，
则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，
②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，
③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，
④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N ＞100，
∴该款软件的激活码440．
故选A．
【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．
4．（5分）（2017•上海模拟）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：
①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；
②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）
A．①②都是真命题B．①②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题
【考点】81：数列的概念及简单表示法．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．
【分析】对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，满足{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但是不满足c n=sinn是递增数列，
对于②根据等差数列的性质和定义即可判断．
【解答】解：对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，
∴{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但c n=sinn不是递增数列，故为假命题，
对于②{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，不妨设公差为分别为a，b，c，∴a n+b n﹣a n﹣1﹣b n﹣1=a，b n+c n﹣b n﹣1﹣c n﹣1=b，a n+c n﹣a n﹣1﹣c n﹣1=c，
设{a n}，{b n}、{c n}的公差为x，y，x，
∴
则x=，y=，z=，
故若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列，故为真命题，
故选：D
【点评】本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题．5．（5分）（2017•徐汇区校级模拟）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是（）
A．B．C．D．
【考点】81：数列的概念及简单表示法．
【专题】31 ：数形结合；51 ：函数的性质及应用．
=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n（n∈N*），根据点与【分析】由关系式a n
+1
直线之间的位置关系，我们不难得到，f（x）的图象在y=x上方．逐一分析不难得到正确的答案．
=f（a n）＞a n知：f（x）的图象在y=x上方．
【解答】解：由a n
+1
故选：A．
【点评】本题考查了数列与函数的单调性、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（5分）（2017•河东区二模）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．
【考点】82：数列的函数特性．
【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．
【分析】由a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，可得：（﹣1）n+2016•a＜2+，对n分类讨论即可得出．
【解答】解：a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，
∴（﹣1）n+2016•a＜2+，
n为偶数时：化为a＜2﹣，则a＜．
n为奇数时：化为﹣a＜2+，则a≥﹣2．
则实数a的取值范围是．
故选：D
【点评】本题考查了数列通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5分）（2017•宝清县一模）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）
A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10
C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定
【考点】82：数列的函数特性．
【专题】54 ：等差数列与等比数列．
【分析】由于{b n}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{a n}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．【解答】解：∵{b n}是等差数列，
∴b4+b10=2b7，
∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，
∵数列{a n}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，
∴a3+a9≥b4+b10．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．
8．（5分）（2017•湖北模拟）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若
（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）
A．B．λ＜1C．D．
【考点】82：数列的函数特性．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】根据数列的递推公式可得数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公
=（n﹣2λ）•2n，根据数列的单调性即可求出λ的范围．比为2，再代值得到b n
+1
【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*），
∴=+1，化为+1=+2
∴数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公比为2，
∴+1=2n，
=（n﹣2λ）（+1）=（n﹣2λ）•2n，
∴b n
+1
∵数列{b n}是单调递增数列，
＞b n，
∴b n
+1
∴（n﹣2λ）•2n＞（n﹣1﹣2λ）•2n﹣1，
解得λ＜1，
但是当n=1时，
b2＞b1，∵b1=﹣λ，
∴（1﹣2λ）•2＞﹣λ，
故选：A．
【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．（5分）（2017•海淀区校级模拟）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△
A n
B n
C n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，
则（）
A．{S n}为递减数列
B．{S n}为递增数列
C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列
【考点】82：数列的函数特性．
【专题】54 ：等差数列与等比数列；58 ：解三角形；59 ：不等式的解法及应用．
【分析】由a n
=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n
+1
﹣2a n），b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n
﹣c n+1=（c n﹣b n），得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，+1
据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．
【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，
∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，
又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴c1，
+c n+1=+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），
由题意，b n
+1
∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，
﹣c n+1=，
又由题意，b n
+1
∴b n
﹣（2a1﹣b n+1）==a1﹣b n，b n+1﹣a1=（a1﹣b n）=（b1 +1
﹣a1）．
∴b n=a1+（b1﹣a1），c n=2a1﹣b n=a1﹣（b1﹣a1），=•
=单调递增．
可得{S n}单调递增．
故选：B．
【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题．
10．（5分）（2017•汉中二模）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【考点】84：等差数列的通项公式．
【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差．
【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a1，a2，a3，…，a n，
其公差为d，
则a1=5，S30=390，
∴=390，
∴d=．
故选：B．
【点评】本题查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等
差数列的性质的合理运用．
11．（5分）（2017•徐水县模拟）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）
A．25B．27C．50D．54
【考点】84：等差数列的通项公式．
【专题】11 ：计算题．
【分析】由题意得a2=3a4﹣6，所以得a5=3．所以由等差数列的性质得S9=9a5=27．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公差为d，
因为a2=3a4﹣6，
所以a1+d=3（a1+3d）﹣6，
所以a5=3．
所以S9=9a5=27．
故选B．
【点评】解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题．12．（5分）（2017•安徽模拟）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）
A．钱B．钱C．钱D．钱
【考点】84：等差数列的通项公式．
【专题】11 ：计算题；21 ：阅读型；33 ：函数思想；51 ：函数的性质及应用；
54 ：等差数列与等比数列．
【分析】设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，列出方程组，能求出E所得．
【解答】解：由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，
则，
解得a=，
故E所得为钱．
故选：A．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、等差数列的性质的合理运用．
13．（5分）（2017•南开区模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣
【考点】84：等差数列的通项公式．
【专题】54 ：等差数列与等比数列．
【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，代入两点求直线的斜率公式得答案．
【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S2=10，S5=55，
得，解得：．
∴过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）的直线的斜率为k=．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，训练了两点求直线的斜率公式，是基础题．
14．（5分）（2017•枣阳市校级模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）
A．6B．7C．8D．9
【考点】84：等差数列的通项公式．
【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．
【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S3=9，a2a4=21，可得3a1+d=9，（a1+d）
（a1+3d）=21，可得a n．由数列{b n}满足，利用递推关系可得：=．对n取值即可得出．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，
∵S3=9，a2a4=21，∴3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，
联立解得：a1=1，d=2．
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
∵数列{b n}满足，
∴n=1时，=1﹣，解得b1=．
n≥2时，+…+=1﹣，
∴=．
∴b n=．
若，则＜．
n=7时，＞．
n=8时，＜．
因此：，则n的最小值为8．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、数列递推关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（5分）（2017•安徽一模）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）
A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0
【考点】84：等差数列的通项公式．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】由函数图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】解：函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），
可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，
所以a1+a100=a50+a51=﹣2，
则{a n}的前100项的和为=﹣100
故选：B．
【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．
二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
16．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．
【考点】88：等比数列的通项公式．
【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，
∵S3=，S6=，∴=，=，
解得a1=，q=2．
则a8==32．
故答案为：32．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．
【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．
【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，
S n=，=，
则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．
故答案为：．
【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．18．（5分）（2017•汕头三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134．
【考点】81：数列的概念及简单表示法．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．
【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，
故a n=15n﹣14．
由a n=15n﹣14≤2017
得n≤135，
∵当n=1时，符合要求，但是该数列是从2开始的，
故此数列的项数为135﹣1=134．
故答案为：134
【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题
19．（5分）（2017•闵行区一模）已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，=a n，数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在有a n
+2
该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．
【考点】81：数列的概念及简单表示法．
【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；5M ：推理和证明．
【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满足b n
﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，+1
，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，
【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，
∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，
∴a n=
﹣b n=a n=，
∴b n
+1
﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2，
∴b2n
+2
﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3
∴b2n
+2
∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，
b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1，
，，，，，，…，=b4n
﹣2
∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，
∴b2=b6=b10=…=b4n﹣2，
b4=b8=b12=…=b4n，
解得b8=b4=3，
b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，
故答案为：2
【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．
20．（5分）（2017•青浦区一模）设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．
【考点】82：数列的函数特性．
【专题】35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．
【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得∀n∈N*，a n+1＞a n，化简整理，再利用数列的单调性即可得出．
【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，
∴∀n∈N*，a n
＞a n，
+1
（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，
化为：b＞﹣（2n+1），
∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，
∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，
∴b＞﹣3．
即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．
故答案为：（﹣3，+∞）．
【点评】本题考查了数列的单调性及其通项公式、不等式的解法，考查了推理能
力与计算能力，属于中档题．
三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）
21．（10分）（2017•江苏）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．
（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；
（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．
【考点】8B ：数列的应用．
【专题】23 ：新定义；35 ：转化思想；4R ：转化法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n ，根据“P （k ）数列”的定义，可得数列{a n }是“P （3）数列”；
（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n }从第3项起为等差数列，再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系，可知{a n }为等差数列．
【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，
则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3，
=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1），
=2a n +2a n +2a n ，
=2×3a n ，
∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；
（2）证明：当n ≥4时，因为数列{a n }是P （3）数列，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ，①，
因为数列{a n }是“P （2）数列”，所以a n ﹣3+a n ﹣3+a n +a n +1=4a n ﹣1，②，
a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1，③，
②+③﹣①，得2a n =4a n ﹣1+4a n +1﹣6a n ，即2a n =a n ﹣1+a n +1，（n ≥4），
因此n ≥4从第3项起为等差数列，设公差为d ，注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4， 所以a 2=4a 4﹣a 3﹣a 5﹣a 6=4（a 3+d ）﹣a 3﹣（a 3+2d ）﹣（a 3+3d ）=a 3﹣d ，
因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，
也即前3项满足等差数列的通项公式，
所以{a n}为等差数列．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．
22．（10分）（2017•北京）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．
（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．
【考点】8B：数列的应用；8C：等差关系的确定．
【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；
﹣n，c n
+1
（2）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．
【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，
当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，
当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，
当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，
下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，
当n∈N*，且2≤k≤n时，
则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），
=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，
=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），
=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，
则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，
因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，
c n+1﹣c n=﹣1，
∴c2﹣c1=﹣1，
∴c n
﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，
+1
∴数列{c n}是等差数列；
（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，
由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，
考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），
则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，
=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），
下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，
①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，
当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，
则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，
∴数列{c n}是等差数列；
当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，
则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，
﹣c n=d2﹣a1，
此时c n
+1
∴数列{c n}是等差数列；
此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；
②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，
则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），
因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，
此时c n
﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；
+1
③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，
故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，
则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），
因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，
此时==﹣a n+，
=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，
令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，
下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，
当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，
此时命题成立；
若C＜0，取m=[]+1，
当n≥m时，
≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，
此时命题成立，
因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；
综合以上三种情况，命题得证．
【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．
23．（10分）（2017•北京）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．
【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．
【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，
所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，
等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．
∴q2=3，
}是等比数列，公比为3，首项为1．
{b2n
﹣1
b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力．
24．（10分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．
【考点】8E：数列的求和；89：等比数列的前n项和．
【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】（1）由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1==，a2==，由a1+a2=2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{a n}的通项公式；
（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S n，分别求得S n+1，S n+2，显然S n+1+S n+2=2S n，则S n+1，S n，S n+2成等差数列．。