动力系统的概念

动力系统的概念

这一章是对于事实的调查，而且来源于应用于全书的动力系统理论。我们的主要目的是为后面的章节确定固定使用的常用符号和专业术语，并且回想一些常常在课本的前言中不被讨论的理论的一些方面。为了更容易的阅读，我们保持讨论时采用非专业术语，并尽可能地避免技术上的符号和观点。然而许多遗漏的细节可以从研究生使用的动力系统的课本的前言中找到，一些更加先进的课题仅仅在研究性的文章中涉及到。在某些情况下，我们将提供一些在更深的章节中关于这个主题的参考。另外，我们鼓励读者使用附录A 和B 作为基于不同的几何和函数分析的参考。

1.1 流量，映射，动力系统

对于任意的集合P ，一个变换群:P P t

F →中的任意的一个参数t 属于实数，如果()x x F =0对于所有的x 属于集合P ，并且s t s t F F F =+对于任意的 ,t s , 属于实数都成立,则被称为一个流。这两个属性表明t F 和它的逆t F -是不可以转化的。这一组合t (,)p F 叫做基于空间P 的一个连续的动力系统。换句话说，一个连续的动力系统包括一个可能状态集合和唯一决定将来状态)(x F t 的当前的状态函数x 的变化规则。通过x 这一点的变化轨迹是集合)()(x F U x t R t ∈=γ。一个固定点的流是一个点x 且x x F t =)(对于任意的R t ∈都成立。这个流的一个周期的轨迹就是通过这一点x 对于那些存在的正数T,并且满足x x F T =)(的这样的轨迹。

如果用以上所说的映射族t F 定义只需0≥t ，且对于所有的t ，s 满足()x x F =0和s t s t F F F =+，则t F 叫做半流形。注：半流形通常是不可逆的，动力系统的一个典型的特征是在无穷大的空间中是确定的。

当有单独向映射P P f →:且存在()f P ,时，离散动力系统是确定的。这样的系统还有一些性质即通过f 的迭代次数可以得出唯一的当前状态决定所有的将来状态

()(),...,2x f x f 。这时x 的取值范围是确定的在集合()() Z

n n x f x ∈=γ中，其中 ()()10,,--≡⋅⋅⋅≡≡n

n n n f f f f f f x x f

。

上面离散动力系统的定点x 是点P x ∈且()x x f =的点。k 点的周期是对于点P x ∈有()x x f k =且对于所有的j k <有()x x f j ≠。对于P x ∈，()x ω的极限集合是确定的，

()(){}q x f n P q x i n i →∞→∃∈=:ω。

如果f 是可逆的，则x 的α极限集合可以定义x 的关于1-f ω极限级。

注：连续型动力系统的一一映射()x F x l 定义与离散型动力系统在相同的拓扑空间中。一一映射不能得到基础流量的全部性质，但是能够继承很多相似的特征。

另一个庞加莱映射提供了流的频闪图片，它的构造如下：假设P 是 上的一个开集合，∑是在P 中一个超曲面（即光滑的(1)m -维流行）。假设()x γ的任意轨道，∑∈x ，横向的相交于一点是不同于x 的。然后第一个返回时间()x τ是确定的对于∑∈x 即

()(){}min 0t x F x τ=>∈∑。

映射 ,:∑→∑P

()(),x F x x τ

叫做第一返回映射或庞加莱映射设联系在一起的流量t F 。超曲面通常被称作相应的庞加莱

截面。一一映射和第一返回映射和基础流和庞加莱截面一样光滑。

1.2 常微分方程和动力系统

这本书大部分叙述的常微分方程形式

().,t x f x =∙

(1.1)

这里n R P x ⊂∈，f 是一个充分光滑的向量场确定的R P ⨯。集合P 叫做方程的象空间，同时R P ⨯叫做扩充相空间。

常微分方程叫做独立存在的如果f 没有明确的时间相依性，如下()()x f t x f ≡,。流量和自治的方程结合起来单参数变换群

,:n t R P F →

()00,x t x x ，

0x 表示为解决()t x 的初始状态，如下，()00x x =。根据常微分方程的基本理论，函数t F 的像（1.1）的右边一样光滑，同时关于t 也是光滑的。如果f 依赖于r C 形状的参数，那么t F 也是r C 类的随着关于那些参数的变量。

非自治的常微分方程不能产生流，因为解()00,;x t t x 明确取决于初始时间0t 且()0000,;x x t t x =。其结果是，我们可以得到

()()()00000,;,;,;x t t x t s x x t s t x ≠+

在一般情况下。然而，产生的映射

,:0P P F t t →

具有两个参数的集合存在，解的唯一性能保证和流类似的性能

,00t t s t t s F F F =

因为()()().,;,;,;00000x t t x t s x x t s t x =+ 注：在扩充的相空间R P ⨯上扩充的常微分方程

(),,t x f x =∙

1=∙t ，

认为流()()()τττ+=+t x F t x F t t ,,。

和常微分方程（1.1）等价的公式是积分方程

()()()τττd x f x t x t

t ⎰+=0,0 （1.2） 作为未知函数()t x 。一些方程承认自治的线性项在它们的右边，当常微分方程能够写成()t x g Ax x ,+=∙，和相应的积分方程

()()()()()ττττd x g e x e t x t

t t A t t A ,0

000⎰--+= (1.3) 这个公式可以通过改进非齐次的，线性常微分方程()()t t x g Ax x ,+=∙的通解获得。 积分方程是在估计进展的解之间的距离或关于初始条件或参数的偏导数非常有用的。例如，一个有连续独立解的常微分方程的初始条件能够涉及到在积分方程（1.2）中，写作

()000;,,x x t t x