【精编】河北省武邑中学2019届高三上学期期中考试数学(理)试卷(含答案)

武邑中学2018-2019学年上学期高三期中考试
数学(理科)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{1,2},{1,2,3},{2,3,4},()A B C A
B C ===则=
A.{1,2,3}
B.{1,2,4}
C.{2,3,4}
D.{1,2,3,4} 2.复数()32z i i =-(i 为虚数单位)的共轭复数z =
A.23i +
B.23i -+
C.23i -
D.23i -- 3. 在复平面内，复数47(23i
z i i
-=
+是虚数单位）
，则z 的共辄复数在复平面内对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4. 双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>
（ ）
A.2=±y x
B.3=±y x
C.
12=±y x D.3
2=±y x
5. 已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =（ ）
Ａ．2
3
-
Ｂ．1
3
-
Ｃ．
13
Ｄ．
2
3
6.连续抛掷两枚骰子，向上的点数之和为6的概率是（ ）
A. 14
B. 16
C. 19
D. 536
7.设变量,x y 满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥-⎩
,则目标函数2z x y =+的最小值为
A.3
B.2
C.1
D.－1 8. 函数cos ()3
x
f x x =⋅（）的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
9. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（ ）
A ．19、13
B ．13、19
C ．20、18
D ．18、20
10. 已知x,y 满足约束条件，则z=2x+4y 的最小值为（ ）
A ．－14
B ．－15
C ．－16
D ．－17
11.若双曲线22
221x y C :a b
-=(00a ,b >>)的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为则
C 的离心率为
12. 设函数()f x =
，若曲线11cos 22
e e
y x -+=
+上存在()00,x y ，使得()()00f f y y =成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．20,e e 1⎡⎤--⎣⎦
B ．20,1e e ⎡⎤+-⎣⎦
C ．20,e e 1⎡⎤++⎣⎦
D ．
20,e e 1⎡⎤-+⎣⎦ 二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量,a b 满足||1a =,2a b ⋅=,则()
2a a b ⋅+=_________________.
14. 已知曲线()32ln 3x
f x x x
=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+=
15. 已知函数()3
2
331f x x ax x =-++在区间()2,3上至少有一个极值点，则a 的取值范围为
16.设实数0λ>,若对任意的()0,x ∈+∞,不等式ln 0x
x
e λλ
-
≥恒成立,则λ的取值范围是______.
三.解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分 17.(12分)
已知函数f (x )＝x 2
－4x ＋a ＋3，a ∈R.
(1)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )在[－1,1]上存在零点，求a 的取值范围.
18.(12分)
某地区高考实行新方案,规定:语文,数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理,化学,生物,历史,地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理,化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理,化学和生物”为其选考方案.
某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:
⑵假设男生,女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的8位男生中随机选出1人,从选考方案确定的10位女生中随机选出1人,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率;
⑶从选考方案确定的8名男生中随机选出2名,设随机变量1,22,2ξ⎧=⎨
⎩名男生选考方案相同，
名男生选考方案不同，
,求ξ
的分布列及数学期望.
19.( 12分)
如图，在ABO ∆中，4,2OA OB ==，且OA 与OB 的夹角为60，3BP PA =． （1）求OP AB 的值；
（2）若OQ QA =，PQ x OA y OB =⋅+⋅，求,x y 的值．
20.(12分)
已知椭圆:C 22221(0)y x a b a b
+=>>的短轴长为2，且椭圆C 的顶点在圆2
21:(22M x y +-=上． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦,AB CD ，求||||AB CD +的最小值． 21.(12分)
已知函数f(x)＝xln x －ax 2
－x.
(1)当a ＝1
2时，证明：f (x )在定义域上为减函数；
(2)若a ∈R ，讨论函数f (x )的零点情况
(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分) 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t α
α=⎧⎨
=+⎩
（t 为参数，0απ≤<）．以坐标原点O 为
极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：2
cos 4sin ρθθ=．
（Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B ，若8
AB =，求a 的值．
23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知函数|1||12|)(-++=x x x f . （1）解不等式3)(≥x f ；
（2）记函数)(x f 的最小值为m ，若c b a ,,均为正实数，且
m c b a =++22
1，求222
c b à
++的最小值
数学理答案
1. D
2. C
3. B
4. A
5. D
6. D
7. A
8. B
9. A 10. B 11. D 12. A 13.5 14.
87； 15.55,43⎛⎫
⎪⎝⎭
16.1e λ≥
17. 解 (1)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴无交点，
则方程f (x )＝0的根的判别式Δ<0，即16－4(a ＋3)<0， 解得a >1.
故a 的取值范围为a >1.
(2)因为函数f (x )＝x 2
－4x ＋a ＋3图象的对称轴是x ＝2， 所以y ＝f (x )在[－1,1]上是减函数． 又y ＝f (x )在[－1,1]上存在零点， 所以⎩⎪⎨
⎪
⎧
f (1)≤0，f (－1)≥0，
即⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ≤0，a ＋8≥0，
解得－8≤a ≤0. 故实数a 的取值范围为－8≤a ≤0.
18.⑴由题可知,选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人,选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人.该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有
1018
4201401830
⨯⨯=人. ⑵由数据可知,选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为
2184
=; 选考方案确定的10位女生中选出1人含有历史学科的概率为
3
10
,所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为
133
41040
⨯=
. ⑶由数据可选,选考方案确定的男生 中有4人选择物理,化学和生物;有2人选择物理,化学和历史,有1人选择物理化学和地理;有1人选择物理,化学和政治.由已知得ξ的取值为1, 2.
()22422
8
1
14C C P C ξ+===;()()1111422228121324C C C C P C ξ++⨯+===. ∴137
12444
E ξ=⨯
+⨯=. （1）由已知，得3331
()4444
OP OB BP OB BA OB OA OB OA OB =+=+
=+-=+，又AB OB OA =-，2231311
()()1212944442
OP AB OA OB OB OA OA OB OA OB ∴⋅=+⋅-=-++⋅=-++=-；
（2）由（1）得1311124444PQ OQ OP OA OA OB OA OB =-=--=--，
1
4x y ∴==-
. 20. 解：(Ⅰ)由题意可知2b ＝2，b ＝1.又椭圆C 的顶点在圆M 上，则a ＝2， 故椭圆C 的方程为y 2
2
＋x 2
＝1.
(Ⅱ)当直线AB 的斜率不存在或为零时，|AB |＋|CD |＝32；
当直线AB 的斜率存在，且不为零时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，y 2
2
＋x 2
＝1消去y ，整理得(k 2＋2)x 2
＋2kx －1＝0，
则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2，故|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝22(k 2
＋1)k 2＋2.
同理可得：|CD |＝22(k 2
＋1)2k 2＋1，∴|AB |＋|CD |＝62(k 2
＋1)
2
(2k 2＋1)(k 2
＋2). 令t ＝k 2
＋1，则t ＞1,0<1t
<1，
∴|AB |＋|CD |＝62t
2
(2t －1)(t ＋1)＝
62⎝ ⎛
⎭⎪⎫2－1t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1t ＝62－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t －122＋94，当0<1t <1时，2＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122＋94≤9
4，
∴833≤|AB |＋|CD |＜3 2 ，综上可知，833≤|AB |＋|CD |≤32，∴|AB |＋|CD |的最小值83
3
.
21. 解 (1)证明：由题意可知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝ln x ＋1－x －1＝ln x －x ，
令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x －1＝1－x x ， 当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0， 所以g (x )max ＝g (1)＝－1，
即g (x )＝ln x －x <0，所以f ′(x )<0，所以f (x )在定义域上为减函数． (2)f (x )＝x ln x －ax 2
－x 的零点情况，即方程x ln x －ax 2
－x ＝0的根的情况， 因为x >0，所以方程可化为a ＝ln x －1
x
， 令h (x )＝ln x －1x ，则h ′(x )＝1－
ln x －1
x
2
＝2－ln x
x 2，
令h ′(x )＝0，可得x ＝e 2， 当0<x <e 2时，h ′(x )>0，
当x >e 2
时，h ′(x )<0，所以h (x )max ＝h (e 2
)＝1
e 2，
且当x →0时，h (x )→－∞；当x >e 2
时，h (x )>0，
所以h (x )＝ln x －1
x 的大致图象如图所示， 结合图象可知，当a >1
e 2时，方程 a ＝ln x －1
x 没有根；
当a ＝1e 2
或a ≤0时，方程a ＝ln x －1x 有一个根； 当0<a <1e 2时，方程a ＝ln x －1
x 有两个根． 所以当a >1
e 2时，函数
f (x )无零点； 当a ＝1
e 2或a ≤0时，函数
f (x )有一个零点；
当0<a <1
e 2时，函数
f (x )有两个零点．22. 解：（Ⅰ）直线l 普通方程为sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，cos ,sin x y ρθρθ==，则22cos 4sin ρθρθ=，24x y ∴=即为曲线C 的普通方程．
（Ⅱ）将cos 1sin x t y t αα
=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）代入曲线2:4C x y =．
22cos 4sin 40t t αα∴⋅-⋅-=，121222
4sin 4
,cos cos t t t t ααα
-∴+=
⋅=
128AB t t =-=
==
cos 24
παα∴=±∴=
或34π．.
23. 解：（1）⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
-≤-<<-+≥=21,3121,21,3)(x x x x x x x f ··········2分
所以3)(≥x f 等价于⎩⎨⎧≥≥331x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<-32121x x 或⎪⎩⎪
⎨⎧≥--≤3
321x x x ··········4分
解得1≥x 或1-≤x ，所以不等式的解集为1|{≥x x 或}1-≤x ·········5分 （2）由（1）可知，当21-=x 时，)(x f 取得最小值2
3
，··········6分 所以23=
m ，即2
3
221=++c b a 由柯西不等式4
9
)22
1()21)2
1
)(((2222222=++≥++++c b a c b a ，··········8分 整理得73222≥
++c b a ，当且仅当22c b a ==时，即74,72,71===c b a 时等号成立，·········9分 所以222c b a ++的最小值为7
3
.··········10分
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