2024年中考数学一轮复习+课件+第23讲 相似三角形
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AB=CD=8．
∴CE= ，即 =3．
∵△ADF
∽△ECF，∴
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
，即 =3．
∵CD=DF+CF，∴DF= CD=6．
B组提升
6．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，
AD=2，EF=
A．
B．
C．
D．
=
且∠B=∠E
=
且∠A=∠E
=
且∠A=∠D
=
且∠A=∠E
2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高．如果
BD=4，CD=6，那么BC∶AC是 （ B ）
A．3∶2
B．2∶3
C．3∶ 3
D．2∶ 3
（第2题）
点对点练习
5．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，
3
△ABE∽△DEF，AB=6，DE=2，DF=3，则BE的长是_________．
（第5题）
考点5图形的位似
知识梳理
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线都
经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似
（第4题）
5．如图，在▱ABCD中，AB=8．在BC的延长线上取一点E，使
CE=
1
BC，连接AE，AE与CD交于点F．
3
（1）求证：△ADF∽△ECF；
（2）求DF的长．
（第5题）
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，即AD∥BE．
∴∠DAF=∠CEF，∠ADF=∠ECF．
∴△ADF∽△ECF．
EH，AD⊥BC，求EH的长．
解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC．∴△AEH∽△ABC．
∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴
=
．
（第6题）
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD－EF=2－2x．
−
∴
= ．解得
∴EH=3x= ．
=
．
7．如图，点D和点E分别在AB，AC边上，BE平分∠ABC，BE，
中心，此时的相似比叫做位似比．
2．性质：①每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中
位似比
心的距离之比都等于___________；②位似图形的面积比等于
位似比的平方
_________________．
3．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似
比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四
个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，AB∥CD，
则△ABE与△CDE的周长比为（ D ）
A．1∶4
B．4∶1
C．1∶2
D．2∶1
（第3题）
4．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，
2
则 =
．
2
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与
原三角形相似；
（2）三边对应成比例，两个三角形相似；
（3）两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；
（4）两角分别相等，两个三角形相似．
点对点练习
4．如图，△ABC中，∠A=76°，AB=8，AC=6．将△ABC沿图示中
的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（
或
中考演练
【例】（2023·广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一
起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为
15
__________．
【变式】把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，
则图中阴影部分的面积是______．
分层达标
A组基础
1．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（ A ）
（第4题）
C）
考点4相似三角形的性质
知识梳理
对应角相等
1．相似三角形的__________________，对应边成比例．
2．相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的
相似比
比都等于____________．
3．相似三角形的周长比等于相似比．
相似比的平方
4．相似三角形的面积比等于___________________．
（即
点对点练习
1．下列四条线段中，成比例线段的是（ C
A．1，2，3，4
B．3，4，5，8
C．1， ， ，2
D．1.1，2.2，3.3，4.4
）
2．如图，直线a∥b∥c，若AB=2，BC=3，EF=2．5，则DE=（
A．
B．
C．
D．
B）
考点2黄金分割
知识梳理
把一条线段分割成两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部
第23讲
相似三角形
思维导图
夯实基础
考点1成比例线段和平行线分线段成比例
知识梳理
1．成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段
的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如
=
ad=bc），我们就说这四条线段成比例．
2．平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
CD相交于点F，∠ABE=∠ACD．
求证：（1）EC2=EF·EB；
（2）DF ∶BF=EC ∶BC．
（第7题）
证明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC．
分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割．其比值为
约为0.618．
如图，点C为线段AB上靠近点B的黄金分割点，则
=
．
−
，
点对点练习
3．（2022·山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦
鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．
这体现了数学中的（ D ）
4．已知图形的位似图形有两个，在位似中心的两侧各有一个．
点对点练习
6．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且位似比
为1∶2，则△ABC与△DEF的周长之比是（ A ）
A．1∶2
B．1∶4
C．1∶3
D．1∶9
7．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍．
解：如图，△A'B'C'即为所求．
A．平移
B．旋转
C．轴对称
D．黄金分割
考点3相似三角形的定义和判定
知识梳理
1．相似三角形的定义
三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似
相似比
三角形对应边的比叫做__________，通常用字母k表示．全等三角形
相似比为1
是______________的特殊的相似三角形．
2．相似三角形的判定方法
∴CE= ，即 =3．
∵△ADF
∽△ECF，∴
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
，即 =3．
∵CD=DF+CF，∴DF= CD=6．
B组提升
6．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，
AD=2，EF=
A．
B．
C．
D．
=
且∠B=∠E
=
且∠A=∠E
=
且∠A=∠D
=
且∠A=∠E
2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高．如果
BD=4，CD=6，那么BC∶AC是 （ B ）
A．3∶2
B．2∶3
C．3∶ 3
D．2∶ 3
（第2题）
点对点练习
5．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，
3
△ABE∽△DEF，AB=6，DE=2，DF=3，则BE的长是_________．
（第5题）
考点5图形的位似
知识梳理
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线都
经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似
（第4题）
5．如图，在▱ABCD中，AB=8．在BC的延长线上取一点E，使
CE=
1
BC，连接AE，AE与CD交于点F．
3
（1）求证：△ADF∽△ECF；
（2）求DF的长．
（第5题）
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，即AD∥BE．
∴∠DAF=∠CEF，∠ADF=∠ECF．
∴△ADF∽△ECF．
EH，AD⊥BC，求EH的长．
解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC．∴△AEH∽△ABC．
∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴
=
．
（第6题）
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD－EF=2－2x．
−
∴
= ．解得
∴EH=3x= ．
=
．
7．如图，点D和点E分别在AB，AC边上，BE平分∠ABC，BE，
中心，此时的相似比叫做位似比．
2．性质：①每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中
位似比
心的距离之比都等于___________；②位似图形的面积比等于
位似比的平方
_________________．
3．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似
比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四
个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，AB∥CD，
则△ABE与△CDE的周长比为（ D ）
A．1∶4
B．4∶1
C．1∶2
D．2∶1
（第3题）
4．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，
2
则 =
．
2
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与
原三角形相似；
（2）三边对应成比例，两个三角形相似；
（3）两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；
（4）两角分别相等，两个三角形相似．
点对点练习
4．如图，△ABC中，∠A=76°，AB=8，AC=6．将△ABC沿图示中
的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（
或
中考演练
【例】（2023·广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一
起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为
15
__________．
【变式】把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，
则图中阴影部分的面积是______．
分层达标
A组基础
1．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（ A ）
（第4题）
C）
考点4相似三角形的性质
知识梳理
对应角相等
1．相似三角形的__________________，对应边成比例．
2．相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的
相似比
比都等于____________．
3．相似三角形的周长比等于相似比．
相似比的平方
4．相似三角形的面积比等于___________________．
（即
点对点练习
1．下列四条线段中，成比例线段的是（ C
A．1，2，3，4
B．3，4，5，8
C．1， ， ，2
D．1.1，2.2，3.3，4.4
）
2．如图，直线a∥b∥c，若AB=2，BC=3，EF=2．5，则DE=（
A．
B．
C．
D．
B）
考点2黄金分割
知识梳理
把一条线段分割成两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部
第23讲
相似三角形
思维导图
夯实基础
考点1成比例线段和平行线分线段成比例
知识梳理
1．成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段
的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如
=
ad=bc），我们就说这四条线段成比例．
2．平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
CD相交于点F，∠ABE=∠ACD．
求证：（1）EC2=EF·EB；
（2）DF ∶BF=EC ∶BC．
（第7题）
证明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC．
分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割．其比值为
约为0.618．
如图，点C为线段AB上靠近点B的黄金分割点，则
=
．
−
，
点对点练习
3．（2022·山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦
鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．
这体现了数学中的（ D ）
4．已知图形的位似图形有两个，在位似中心的两侧各有一个．
点对点练习
6．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且位似比
为1∶2，则△ABC与△DEF的周长之比是（ A ）
A．1∶2
B．1∶4
C．1∶3
D．1∶9
7．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍．
解：如图，△A'B'C'即为所求．
A．平移
B．旋转
C．轴对称
D．黄金分割
考点3相似三角形的定义和判定
知识梳理
1．相似三角形的定义
三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似
相似比
三角形对应边的比叫做__________，通常用字母k表示．全等三角形
相似比为1
是______________的特殊的相似三角形．
2．相似三角形的判定方法