10-2 事件的相互独立性 (教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册

记作AB
P(AB)＝P(A)P(B)
互斥事件A，B中有一个
发生，记作A∪B(或A＋
B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
新知探索
相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件的性质
ത
当事件A，B相互独立时，事件A与事件相互独立，
ҧ
ҧ
ത
事件与事件B相互独立，事件
与事件
相互独立.
典例精析
题型一：相互独立事件的判断
ҧ
ത )=1-0.2×0.3×0.1=0.994.
=1-P()P(
典例精析
题型三：相互独立事件概率的实际应用
例4
1 3 3
三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为 ， ， ，将它们中的某两个
2 4 4
元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．
解
记“三个元件T1，T2，T3正常工作”
购买甲、乙两种保险相互独立， 各车主间相互独立．
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．
解 记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，
P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，
则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
3.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，
则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________.
解 由题意可知三人都达标的概率为
P=0.8×0.6×0.5=0.24；
三人中至少有一人达标的概率为
P′=1-(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.96.
1.甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，
两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是
A.
5
24
B.
5
12
C.
1
24
D.
解 两班各自派出代表是相互独立事件，
设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，
则事件AB为两班派出的都是三好学生，
则P(AB)=P(A)P(B)=
1
1
(1)设甲队获第一且丙队获第二为事件A，则P(A)= × ×(1- )= .
3 4
3 18
(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜.
设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，
则事件“甲队至少得3分”为B∪C，
1
3
1
4
1
4
1
3
1
3
1 1
4 2
则P(B∪C)=P(B)+P(C)= ×(1- )+ ×(1- )+ × = .
ҧ
ത
P1=P(BC)+P(A
C)+P(AB
)ҧ
ҧ
ത
=P()P(B)P(C)+P(A)P(
)P(C)+P(A)P(B)P(
)ҧ
=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2=1-P(ҧത )ҧ
ҧ )P(
则P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，
则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
新知探索
相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件
条件
符号
计算
公式
互斥事件
事件A(或B)是否发生对事件B
不可能同时发生的两个
(或A)发生的概率没有影响
事件
相互独立事件A，B同时发生，
相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，
对于n个事件A1，A2，…，An，
如果P(AB)=P(A)P(B)成立，
如果其中任何一个事件发生的概率
则称事件A与事件B相互独立，
不受其他事件是否发生的影响，
简称为独立.
则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
新知探索
独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，
9
6
×
36 36
=
1
24
.选C.
3
8
2.如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，
它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，
则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为
A.0.504
B.0.994
C.0.496
D.0.064
解 1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)=1-0.006=0.994.选B.
1
2
1
3
1
6
事件B={3，6}，事件AB={6}，所以P(A)= ，P(B)= ，P(AB)= ，
即P(AB)=P(A)P(B).
故事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B可以同时发生，
因此，A，B不是互斥事件.
典例精析
题型二：相互独立事件概率的计算
例2
根据资料统计，
某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，
课堂小结
定义
独立性
性质
公式
∴不发生故障的概率为
分别为事件A1，A2，A3，
P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)P(A1)
1
3
3
则P(A1)＝ ，P(A2)＝ ，P(A3)＝ .
2
4
4
＝[1－P(ҧ2)P(ҧ3)]P(A1)
不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，
＝(1 −
1
1
1 15
× )× ＝ .
4
4
2 32
跟踪练习
第十章 概 率
10.2 事件的相互独立性
问题引入
前面我们研究了互斥事件、
我们知道，积事件AB就是事件A和事件B
对立事件的概率性质，
同时发生，因此，积事件AB发生的概率
以及和事件的概率计算方法，
一定与事件A，B发生的概率有关.
那么对于积事件的概率
阅读教材中的例子，找到这种关系.
应该如何求解呢？
新知探索
ҧ
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝B，
ҧ
ҧ
所以P(D)＝P(B)＝P(
)P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.
例3 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点
到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.
4.在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，
共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比赛中，
1

1
4
1
3
甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 .
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率.
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.
解
1 1
例1 判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件.
(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”.
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”.
解 (1)因为二者不可能同时发生，所以M与N是互斥事件.
(2)样本空间为Ω={1，2，3，4，5，6}，事件A={2，4，6}，
求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率.
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
ҧ
ҧ
ത
则P(A)=0.8，P(B)=0.7，P(C)=0.9，所以P()=0.2，P(
)=0.3，P(
)=0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为