[整理]12有关三角函数的计算(1)

1.2有关三角函数的计算(1)
【课前热身】
1. sin30°= , cos45°= , tan60°= .
答案：
1
2
2. 用计算器求：（1）sin18°= ；(2)cos36°= ；(3)tan63°= . 答案：(1)0.3090 (2)0.8090 (3)1.9626
3. 用计算器比较大小:：sin20° sin40°；cos55° cos75°. 答案：< >
4.计算: °
tan 40tan 50 = . 答案：1
【讲练互动】
【例1】 (1)用计算器求：sin20°= ；sin40°= ；sin60°= ；sin80°= ； 由此，可用不等号连接：sin20° sin40° sin60° sin80°
(2)用计算器求：cos15°= ；cos35°= ；cos55°= ； cos75°= ； 由此，可用不等号连接：cos15° cos35° cos55° cos75° ； 由此你能得到什么结论吗?
【解】(1) 0.3420 0.6428 0.8660 0.9848 < < < (2) 0.9659 0.8192 0.5736 0.2588 > > >
结论：锐角的正弦值随着角度的增大而增大；锐角的余弦值随着角度的增大而减小.
【变式训练】
1. 用计算器求下列各式的值．（精确到0.0001 ) (1) sin15°18/+cos7°30/-tan54°42/； (2) sin48°25/+cos23°27/-tan48°•tan 81°52/. 【解】(1)
2.6677 (2) 9.4366
【例2】在△ABC 中，∠C =90°，已知AB =10cm, A ∠=42°, 求△ABC 的周长和面积.(精确到0.1cm)
【解】∵∠C =90°，∴sin A =
BC AB , cos A =AC
AB
, ∴BC =AB sin42°, AC =AB cos42°. ∴△ABC 的周长=AB (1+ sin42°+ cos42°)≈24.1cm ；
△ABC的面积=1
2
AB2·sin42°·cos42°≈24.9cm2.
【绿色通道】求值时选项将所求的周长和面积表示成已知边长和已知角的三角函数的代数形式, 再将边长和角度代入计算.
【变式训练】
2. 在某一时刻测得太阳光线与水平地面成44°角, 一棵竖起生长的松树在水平地面上的影子长为12m,则这棵松树的高度为(精确到0.1m).
解析：树高=12·tan44°≈11.6m
答案：11.6m
【同步测控】
基础自测
1. 四位学生用计算器求cos27°40′的值正确的是……………………………………（）
A. 0.8857
B.0.8856
C. 0. 8852
D. 0.8851
答案：B
2. 锐角A>60°时,∠A的余弦值…………………………………………………………（）
A. B.大于3
2
C.大于
1
2
D.小于
1
2
答案：D
3. 下列不等式中能成立的是………………………………………………………（）
A. cos5°<cosl0°<cos20°
B. tan15°>tan35°＞tan55°
C. cosl0°<tan70°<tan60°
D. sin80°>sin55°>sin30°
答案：D
4. 给出下列式子：①cos45°>sin60°，②sin78°＞cos78°，③sin30°>tan45°, ④sin25°=cos65°. 其中正确的是……………………………………………………………（）A．①③B．②④C．①④D．③④
答案：B
5. 与
°
°
sin34
cos34
的值相等的是……………………………………………………………（）
A. sin68°
B. cos68°
C. tan68°
D. tan34°答案：D
6.计算: sin25°+cos25°= .(保留四个有效数字)
答案：1.329
7. 用不等号连接右面的式子：cos40°_____cos20°. 答案：<
8. 若α为锐角，且sin α=3
5
，则tan α等于 . 答案：
34
9.计算：(1) sin20°·cos20°(结果保留四个有效数字)； (2) sin 266°+cos 266°-tan27°·tan63°. 答案：(1) 0.3214 (2) 0
10. 如图，小红从A 地向北偏东28°的方向走100米到B 地，再从B 地向正西走200米到C 地，求这时小红距A 地的距离.
解：∵AB =100m, ∠B =28°, ∴AD =AB ·sin B =100sin28°, BD = AB ·cos B =100cos28°. ∴CD =200-100cos28°. ∴AC
121.17m.
能力提升
11.(2007滨州)如图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为A ，关于A ∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，
叙述正确的是…………（ ） A ．sin A 的值越大，梯子越陡 B ．cos A 的值越大，梯子越陡 C. tan A 的值越小，梯子越陡 D ．陡缓程度与A ∠的函数值无关 答案：A
12. ∠
A 是锐角，则∠A ……………………………………………………（ ） A ．小于30°
B ．大于30°
C ．小于60°
D ．大于60° 答案：B
13. 下列结论中(其中α是锐角)；①sin cos 1αα+≤；②cos22cos αα=；③当°°090αβ<<<时, 0sin sin 1αβ<<<；④sin cos tan ααα=⨯其中正确的 .
答案：③④
14. 如图,为了测量一条河的宽度,一测
量员在河岸边的C 处测得对岸一棵树A 在正
北
东
第15题
南方向,测量员向正东方向走180米到点B 处,测得这棵树在南偏西68°的方向,求河的宽度（结果保留四个有效数字）.
解：在Rt △ABC 中, BC =180m, ∠A =68°. ∴AC =
180
77.72tan tan 68
BC A =≈m.
15.?°|tan50tan60|.-
解：原式=tan50°-tan30°+tan60°-tan50°=. 创新应用
16. 阅读下面的材料, 再回答问题.
三角函数中, 常用公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. 求sin75°的值,
即sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=
. 请你用公式cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. 求cos75°的值.
解：cos75°=cos(30°+45°)=cos30°·cos45°-sin30°·sin45°
1.2有关三角函数的计算(2)
【课前热身】
1. 用计算器求下列三角函数值．
(1)sin37°= ； (2)cos15°48/= ；(3)tan56°38/16//= . 答案：(1)0.6018 (2)0.9622 (3)1.5188 2.若tan 1α=, 且α为锐角,则α= 度. 答案：45
3.若sin 0.4515β=, 则锐角β= . 答案：26°50/24//
4.已知,αβ为锐角, 若cos cos αβ>, 则α β(填”>””=”或”<”) 答案：<
【讲练互动】
【例1】已知锐角α的三角函数值，使用计算器求锐角α.(精确到1′) (1)sin α=0.4853；(2)cos α=0.3456；(3)tan α=2.808. 【解】(1) α≈29°02/；(2) α≈69°47/；(3)α≈70°24/.
【变式训练】
1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC =5, BC =12, 求△ABC 的各个锐角(精确到1′). 【解】在Rt △ABC 中，12
tan 5
BC A AC ===2.4, ∴∠A ≈67°
23/. ∴∠B =90°-∠A =22°37/.
【例2】如图, ⊙O 中, 直径AB ⊥弦CD 于点E , 若BE =1
4
CD =4, 求∠COD 的度数.
【解】∵直径AB ⊥弦CD , ∴∠COD =2∠EOC , CE =
1
2
CD =8. 设⊙O 的半径为R . 在Rt △OCE 中, OC 2=CE 2+OE 2, 即R 2=82+(R -4)2. 解得R =10. ∴tan ∠COE =
84
1043
CE OE ==-, ∴∠COE ≈53°
08/, ∴∠COD =2∠COE =106°16/. 【变式训练】
2. 某幼儿园中的滑梯如图, 已知滑梯长AB =10m, BC =4m,
求
A
B
C
α
此滑梯的坡角A 的大小(精确到1′).
解：在Rt △ABC 中, sin A =
4
0.410
BC AB ==, ∴∠A ≈23°
35/. 【同步测控】
基础自测
1.(2007韶关)已知1sin 2
A =
，且∠A 为锐角，则∠A =…………………………………（ ） A.30° B.45° C.60° D.75° 答案：A
2.Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ：b ＝3：4，运用计算器计算，∠A 的度数(精确到1°)（ ）
A. 30°
B. 37°
C. 38°
D.39°
答案：B
3. 已知β为锐角，且tan β=3.387, 则β等于……………………………………………（ ） A.73°33′ B. 73°27′ C. 16°27′ D. 16°21′ 答案：A
4. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果sin A =
1
2
，那么，下列等式中正确的是…………（ ）
A. tan A
B.cos B =2
C.tan B
D. tan B =3
答案：C
5.1A =,则锐角A 的度数为 . 答案：45°
6.已知若sin α=cos30°，则锐角α= . 答案：60°
7. 要把7米长的梯子上端放在距地面5米高的阳台边沿上，则梯子摆放时与地面所成的角度为 .(精确到1°)
答案：46°
8.已知锐角α的三角函数值,使用计算器求锐角α(精确到1秒). (1) sin 0.8792α=； (2) cos 0.3469α=； (3) tan 1.6982α=. 答案：(1) 61°33′；(2) 69°42′；(3) 59°30′.
9. 已知α的锐角，且sin α=0.7，则cos(90°-α)= ,由此你能发现sin α与
cos(90°-α)的关系吗？
答案：0.7 sin α=cos(90°-α)
10.若用三根长度分别为50,50,40cm cm cm 的钢条焊成一个等腰三角形,求这个等腰三角形的各个角的度数(精确到1′).
解：如图, AB=AC =50cm, BC =40cm. 作AD ⊥BC 于D , CE ⊥AB 于E , 则BD=DC =20cm, 则AD
=cm.
∵
12BC ·AD =1
2
AB ·CE , ∴CE
=BC AD AB ⋅==在Rt △ABD 中, cos B =20
0.450
BD AB ==, ∴∠ACB =∠B ≈66°
25′.
在Rt △ACE 中, sin ∠BAC
=CE AC ∴∠BAC ≈47°09′. 能力提升
11. 已知 5.0cos <α，那么锐角α的取值范围是…………………………………（ ） A. 60°＜α＜90° B. 0＜α＜60° C. 30°＜α＜90° D. 0°＜α＜30°
答案：A
12. 在△ABC 中，∠A ，∠B
都是锐角，且2
1
(sin )cos 02
A B -+=，则△ABC 的形状是………………………………………………………………………………………（ ）
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D.不能确定 答案：B
13. 李红同学遇到了这样一道题：3tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是……（ ） A.40° B.30° C.20° D.10° 答案：D
14.已知°
3
tan cos302
α=,求锐角α的值. E
D
C
B
A
解：
tan 32α=
=∴α=60°
. 15. 如图, Rt △ABC 中，∠C ＝90°, AD 平分∠B A C. 若AD =5, AC =4, 求∠B 的度数.
解：在Rt △ACD 中, cos ∠CAD =4
5
AC AD =, ∴∠CAD ≈36°
52′.
∵AD 平分∠BAC , ∴∠BAC =2∠CAD =73°44′. ∵∠C =90°, ∴∠B =16°16′. 创新应用
16.如图,拱形桥的水面上部分呈圆弧形AB ,测得AB 两端的距离是200m, AB 所在的圆的半径是1000m,求AB 的长.
解：设AB 的圆为O 点, 作OD ⊥AB 于C , 交AB 于D . 则AC =
1
2
AB =100m, ∠AOB =2∠AOC . 在Rt △OAC 中, sin ∠AOC =
100
0.11000
AC OC ==, ∴∠AOC =5.74°, ∴∠AOB =11.48°. ∴1000200.4180
AOB
AB π∠=⨯≈m.
B
A。