湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学九年级(上)第一次月考数学试卷含解析

湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学九年级（上）第一次月考数学
试卷
一、选择题（在下列各题的选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本小题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2017的绝对值是（）
A．﹣2017 B．﹣C．2017 D．
2．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3
3．（3分）下列计算正确的是（）
A．a3•a3=a9 B．（a+b）2=a2+b2C．a2÷a2=0 D．（a2）3=a6
4．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．
D．
6．（3分）下列说法正确的是（）
A．“打开电视机，正在播放体育节目”是必然事件
B．了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况适合用普查
C．抛掷一枚普通硬币，“这枚硬币正面朝上”，这一事件发生的概率为D．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分2=0.3，S乙2=0.5，则乙的射击成绩较稳定
别是S
甲
7．（3分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1=55°，下列条件中能判定AB ∥CD的是（）
A．∠2=35° B．∠2=45°C．∠2=55°D．∠2=125°
8．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（x，y）向左平移2个单位长度到点P，则点P的坐标为（）
A．（x+2，y）B．（x﹣2，y）C．（x，y+2）D．（x，y﹣2）
9．（3分）甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价10%，乙超市一次性降价20%，在哪家超市购买此种商品更合算（）
A．甲B．乙
C．同样D．与商品的价格有关
10．（3分）对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x=1，最小值是2
B．对称轴是直线x=1，最大值是2
C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2
D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是2
11．（3分）如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（）
A．3米 B．4米 C．4.5米D．6米
12．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：
①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为
．
其中正确的结论有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）世界文化遗产长城总长约6700 000m，用科学记数法表示这个数为．
14．（3分）因式分解：2x2﹣8=．
15．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=．
17．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=cm．
18．（3分）如图，已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过
A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k=．
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．
19．（6分）计算：|﹣3|+（+π）0﹣（﹣）﹣2．
20．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．
21．（8分）为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是°；
（2）请补全条形统计图；
（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB、AC边上的中点，
连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF、CD．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．
23．（9分）松雷中学图书馆近日购进甲、乙两种图书，每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元，花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同．
（1）求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？
（2）松雷中学计划购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过4000元，则最多购进甲种图书多少本？
24．（9分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA 的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．
25．（10分）对平面直角坐标系中的点P（x，y），定义d=|x|+|y|，我们称d为P（x，y）的幸福指数．对于函数图象上任意一点P（x，y），若它的幸福指数d ≥1恒成立，则称此函数为幸福函数，如二次函数y=x2+1就是一个幸福函数，理由如下：设P（x，y）为y=x2+1上任意一点，d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|，∵|x|≥0，|x2+1|=x2+1≥1，∴d≥1．∴y=x2+1是一个幸福函数．
（1）若点P在反比例函数y=的图象上，且它的幸福指数d=2，请直接写出所有满足条件的P点坐标；
（2）一次函数y=﹣x+1是幸福函数吗？请判断并说明理由；
（3）若二次函数y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函数，试求出m的取值范围．
26．（10分）如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．
（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式．
（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上一点，求△AMC的面积最大时点M的坐标及S△AMC的最大值．
（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C 相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学九年级（上）第一次
月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本小题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2017的绝对值是（）
A．﹣2017 B．﹣C．2017 D．
【分析】根据绝对值的定义即可解题．
【解答】解：∵|﹣2017|=2017，
∴答案C正确，
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值的定义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离．
2．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3
【分析】根据二次根式与分式有意义的条件即可求出a的范围．
【解答】解：由题意可知：a﹣3＞0
∴a＞3
故选：A．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
3．（3分）下列计算正确的是（）
A．a3•a3=a9 B．（a+b）2=a2+b2C．a2÷a2=0 D．（a2）3=a6
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=a6，不符合题意；
B、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；
C、原式=1，不符合题意；
D、原式=a6，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x+4≤13，得：x≤3，
解不等式﹣x＜1，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（3分）下列说法正确的是（）
A．“打开电视机，正在播放体育节目”是必然事件
B．了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况适合用普查
C．抛掷一枚普通硬币，“这枚硬币正面朝上”，这一事件发生的概率为
D．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分2=0.3，S乙2=0.5，则乙的射击成绩较稳定
别是S
甲
【分析】分别利用概率的意义以及抽样调查的意义以及方差的意义分析得出答案．
【解答】解：A、“打开电视机，正在播放体育节目”是随机事件，故此选项错误；
B、了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况应该采用抽样调查的方式，故此选项错误；
C、抛掷一枚普通硬币，“这枚硬币正面朝上”，这一事件发生的概率为；正确；
D、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分
2=0.3，S乙2=0.5，则甲的射击成绩较稳定，错误．
别是S
甲
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率的意义以及抽样调查的意义以及方差的意义，正确把握相关定义是解题关键．
7．（3分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1=55°，下列条件中能判定AB ∥CD的是（）
A．∠2=35° B．∠2=45°C．∠2=55°D．∠2=125°
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、由∠3=∠2=35°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；
B、由∠3=∠2=45°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；
C、由∠3=∠2=55°，∠1=55°推知∠1=∠3，故能判定AB∥CD，故本选项正确；
D、由∠3=∠2=125°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
8．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（x，y）向左平移2个单位长度到点P，则点P的坐标为（）
A．（x+2，y）B．（x﹣2，y）C．（x，y+2）D．（x，y﹣2）
【分析】利用平移规律计算即可得到结果．
【解答】解：在平面直角坐标系中，将点P（x，y）向左平移2个单位长度到点P，
则点P的坐标为（x﹣2，y），
故选：B．
【点评】此题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移性质是解本题的关键．
9．（3分）甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价10%，
乙超市一次性降价20%，在哪家超市购买此种商品更合算（）
A．甲B．乙
C．同样D．与商品的价格有关
【分析】此题可设原价为x元，分别计算出两超市降价后的价钱，再比较即可．【解答】解：设原价为x元，则甲超市价格为x×（1﹣10%）×（1﹣10%）=0.81x 乙超市为x×（1﹣20%）=0.8x，
0.81x＞0.8x，所以在乙超市购买合算．
故选：B．
【点评】本题看起来很繁琐，但只要理清思路，分别计算降价后的价格是原价的百分之多少便可判断．渗透了转化思想．
10．（3分）对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x=1，最小值是2
B．对称轴是直线x=1，最大值是2
C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2
D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是2
【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．
【解答】解：由抛物线的解析式：y=﹣（x﹣1）2+2，
可知：对称轴x=1，
开口方向向下，所以有最大值y=2，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．
11．（3分）如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（）
A．3米 B．4米 C．4.5米D．6米
【分析】标注字母，判断出△ACD和△ABE相似，再利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：如图，由题意得，△ACD∽△ABE，
∴=，
即=，
解得BE=6，
即树的高度为6米．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质．
12．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：
①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为
．
其中正确的结论有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由正方形的性质及条件可判断出①△ABE≌△BCF，即可判断出②AE=BF，∠BAE=∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA=90°，可得∠CBF+∠BEA=90°，可得出∠APB=90°，即可判断③，由△BPE∽△BCF，利用相似三角形的性质，结合CF=BE 可判断④；然后根据点P在运动中保持∠APB=90°，可得点P的路径是一段以AB 为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值，可判断⑤．
【解答】解：如图，
∵动点F，E的速度相同，
∴DF=CE，
又∵CD=BC，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故②正确；
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠APB=90°，故③正确；
在△BPE和△BCF中，
∵∠BPE=∠BCF，∠PBE=∠CBF，
∴△BPE∽△BCF，
∴=，
∴CF•BE=PE•BF，
∵CF=BE，
∴CF2=PE•BF，故④正确；
∵点P在运动中保持∠APB=90°，
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，
设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△BCG中，CG===，
∵PG=AB=，
∴CP=CG﹣PG=﹣=，
即线段CP的最小值为，故⑤正确；
综上可知正确的有5个，
故选：D．
【点评】本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质等知识点．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，证明△ABE≌△BCF是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）世界文化遗产长城总长约6700 000m，用科学记数法表示这个数为 6.7×106．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n
是负数．
【解答】解：将6700 000m用科学记数法表示为：6.7×106．
故答案为：6.7×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（3分）因式分解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．
15．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m＜1．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=﹣2，c=m
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m＞0，
解得m＜1．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= 4.5．
【分析】根据位似图形的性质得出AO，DO的长，进而得出==，求出DE 的长即可．
【解答】解：∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A 点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0），
∴AO=1，DO=3，
∴==，
∵AB=1.5，
∴DE=4.5．
故答案为：4.5．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出==是解题关键．
17．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=5cm．
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理R2=42+（R﹣2）2，计算求出R即可．
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AD=AB=4cm，
设⊙O的半径为R，
由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，
∴R2=42+（R﹣2）2，
解得R=5
∴OC=5cm．
故答案为5．
【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
18．（3分）如图，已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k=﹣2．
【分析】根据反比例函数的性质可以得到△AOB的面积等于|k|的一半，由此可以得到它们的关系．
【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得两个三角形的面积都等于|k|=1，解得k=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．该知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．
19．（6分）计算：|﹣3|+（+π）0﹣（﹣）﹣2．
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值3个考点．在计算时，需要
针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：|﹣3|+（+π）0﹣（﹣）﹣2
=3+1﹣4
=0．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算．
20．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=•
=
当m=3时，
原式=3
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
21．（8分）为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了2000名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是108°；
（2）请补全条形统计图；
（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．
【分析】（1）根据B组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，进而得出C 组的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；（2）根据C组的人数，补全条形统计图；
（3）根据甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种画树状图或列表，即可运用概率公式得到甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．
【解答】解：（1）被调查的人数为：800÷40%=2000（人），
C组的人数为：2000﹣100﹣800﹣200﹣300=600（人），
∴C组对应的扇形圆心角度数为：×360°=108°，
故答案为：2000，108；
（2）条形统计图如下：
（3）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择同一种交通工具的有4种情况，
∴甲、乙两人选择同一种交通工具上班的概率为：=．
【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式的运用，解题的关键是
仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB、AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF、CD．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．
【分析】（1）根据旋转可得AE=CE，DE=EF，可判定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF是菱形；
（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．
【解答】（1）证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，
∴AE=CE，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵D、E分别为AB，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵∠ACB=90°，
∴∠AED=90°，
∴DF⊥AC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：在Rt△ABC中，BC=8，AC=6，
∴AB=10，
∵D是AB边上的中点，
∴AD=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴AF=FC=AD=5，
∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28．
【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
23．（9分）松雷中学图书馆近日购进甲、乙两种图书，每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元，花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同．
（1）求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？
（2）松雷中学计划购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过4000元，则最多购进甲种图书多少本？
【分析】（1）设乙种图书每本的进价为x元，则甲种图书每本的进价是（x+20）元，根据花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同，列方程求解；
（2）设购进甲种图书m本，则购进乙种图书为（70﹣m）本，根据总购书费用不超过4000元，列不等式求解．
【解答】解：（1）设乙种图书每本的进价为x元，则甲种图书每本的进价是（x+20）元，
由题意得，=，
解得：x=45，
经检验，x=45是原分式方程的解，且符合题意，
则x+20=65．
答：甲种图书每本的进价为65元，乙种图书每本的进价是45元；
（2）设购进甲种图书m本，则购进乙种图书为（70﹣m）本，
由题意得，65m+45（70﹣m）≤4000，
解得：m≤42.5，
∵m为整数，且取最大值，
∴m=42．
答：最多购进甲种图书42本．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
24．（9分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA 的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．
【分析】（1）根据圆周角定理求得AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；
（2）先求得∠E=∠C，根据等角对等边求得BD=DC=DE=3，进而求得AD=1，然后根据勾股定理求得AB，即可求得圆的半径；
（3）根据题意得到AC=，BC=6，DC=3，然后根据割线定理即可求得EC，进而求得AE．
【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC；
（2）解：∵AB=AC，
∠B=∠C，
∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C，
∴BD=DC=DE=3，
∵BD﹣AD=2，
∴AD=1，
在RT△ABD中，AB==，
∴⊙O的半径为；
（3）解：∵AB=AC=，BD=DC=3，
∴BC=6，
∵∠B=∠E，∠C=∠C，
∴△EDC∽△BAC，
∵AC•EC=DC•BC，
∴•EC=3×6，
∴EC=，
∴AE=EC﹣AC=﹣=．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及割线定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．
25．（10分）对平面直角坐标系中的点P（x，y），定义d=|x|+|y|，我们称d为P（x，y）的幸福指数．对于函数图象上任意一点P（x，y），若它的幸福指数d ≥1恒成立，则称此函数为幸福函数，如二次函数y=x2+1就是一个幸福函数，理由如下：设P（x，y）为y=x2+1上任意一点，d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|，∵|x|≥0，|x2+1|=x2+1≥1，∴d≥1．∴y=x2+1是一个幸福函数．
（1）若点P在反比例函数y=的图象上，且它的幸福指数d=2，请直接写出所有满足条件的P点坐标；
（2）一次函数y=﹣x+1是幸福函数吗？请判断并说明理由；
（3）若二次函数y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函数，试求出m的取值范围．
【分析】（1）设点P的坐标为（m，），根据幸福指数的定义，即可得出关于m 的分式方程，解之经检验即可得出结论；
（2）设P（x，y）为y=﹣x+1上的一点，分x＜0、0≤x≤1和x＞1三种情况找
出d的取值范围，由此即可得出一次函数y=﹣x+1是幸福函数；
（3）设P（x，y）为y=x2﹣（2m+1）x+m2+m上的一点，由y=x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m）（x﹣m﹣1）且m＞0，可知分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1四段寻找m的取值范围，利用配方法以及二次函数的性质结合幸福函数的定义即可求出m的取值范围，综上即可得出结论．
【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，），
∴d=|m|+||=2，
解得：m1=﹣1，m2=1，
经检验，m1=﹣1、m2=1是原分式方程的解，
∴满足条件的P点坐标为（﹣1，﹣1）或（1，1）．
（2）一次函数y=﹣x+1是幸福函数，理由如下：
设P（x，y）为y=﹣x+1上的一点，d=|x|+|y|=|x|+|﹣x+1|，
当x＜0时，d=|x|+|﹣x+1|=﹣x﹣x+1=1﹣2x＞1；
当0≤x≤1时，d=|x|+|﹣x+1|=x﹣x+1=1；
当x＞1时，d=|x|+|﹣x+1|=x+x﹣1=2x﹣1＞1．
∴对于y=﹣x+1上任意一点P（x，y），它的幸福指数d≥1恒成立，
∴一次函数y=﹣x+1是幸福函数．
（3）设P（x，y）为y=x2﹣（2m+1）x+m2+m上的一点，d=|x|+|y|=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|，
∵y=x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m）（x﹣m﹣1），m＞0，
∴分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1考虑．
①当x≤0时，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=﹣x+x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m﹣1）2﹣m﹣1，
当x=0时，d取最小值，最小值为m2+m，
∴m2+m≥1，
解得：m≥；
②0＜x＜m时，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=x+x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x﹣m）2+m﹣1≥1，
∵（x﹣m）2≥0，
∴m﹣1≥1，
解得：m≥2；
③当m≤x≤m+1时，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=x﹣x2+（2m+1）x﹣m2﹣m=﹣（x﹣m﹣1）2+m+1，
当x=m时，d取最小值，最小值为m，
∴m≥1；
④当x＞m+1时，d=|x|+|x2﹣（2m+1）x+m2+m|=x+x2﹣（2m+1）x+m2+m=（x ﹣m）2+m﹣1＞m≥1，
∴m≥1．
综上所述：
∴﹣（m+1）≥1，
解得：若二次函数y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函数，m的取值范围为m≥2．
【点评】本题考查了二次函数的性质、完全平方公式、因式分解法解一元二次方程以及绝对值，解题的关键是：（1）根据幸福指数的定义，找出关于m的分式方程；（2）分x＜0、0≤x≤1和x＞1三种情况找出d的取值范围；（3）分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1四段考虑．
26．（10分）如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．
（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式．
（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上一点，求△AMC的面积最大时点M的坐标及S△AMC的最大值．
（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C 相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据自变量与函数值得对应关系，可得A．C点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据待定系数法，可得函数解析式，根据相似三角形的性质，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）令y=0代入y=x+4，
∴x=﹣3，A（﹣3，0），
令x=0，代入y=x+4，
∴y=4，
∴C（0，4），
设抛物线F1的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），
把C（0，4）代入上式得，a=﹣，
∴y=﹣x2﹣x+4，
（2）如图1，
设点M（a，﹣a2﹣a+4），其中﹣3＜a＜0
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴OA=3，OB=1
=OA•OB=，
∴S
△AOC
过点M作MD⊥x轴于点D，
∴MD=﹣a2﹣a+4，AD=a+3，OD=﹣a，。