不等式的解法(共28张PPT)

1 (1) 5 4x x x; ( 2) 3 x x 1 ; ( 3) a(a x) a 2x. 2 a(a-x) ≥0
不等式的解法
五无理不等式解法 练习9. 设A={x|3-x≥ x 1}，B={x| |x-1|<a, a>0 }，若 A∪B=B, 求a 的取值范围. 3-x≥0 解：A= {x| 3-x≥ x 1}，则 x-1≥0 (3-x)2≥x-1 得A={x|1≤x ≤2} 由B： |x-1|<a (a>0 ) 得1-a<x<1+a
2
3
1
2
不等式的解法
5 2x x( x 1)(x 2) 练习6. 解不等式：(1) ≥0 ; (2) >3. 2 x x1 ( x 2)(x 1)
分析：(1)方程x(x+1)(x-2)=0 的根为：-1, 0, 2;
方程(x+2)(x-1)=0 的根为：-2, 1; 采用数轴标根法，将根标在数轴上：-2 -1 原不等式解集: {x| -2<x ≤-1或0≤x<1或x≥2 }
←讨论2
←讨论3
不等式的解法
三、一元二次不等式: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 ; 练习3. ①不等式x2>x的解集为 {x|x>1或x<0} ②不等式(2-x)(x+1)>0的解集为 (-1, 2)
; ③不等式-x2+2x-1<0 的解集为 {x|x∈R且x≠1} .
练习4. 解不等式：①x2+3x-4>0 ; ② x2+x+1>0 ; ③ x2+6x+9≤0 .
x 2 px q 0 的解集为： 2 x 5x 6
A. (1, 2) C. (-1, 1)∪(2,6) B. (-∞, -1)∪(6, + ∞) D. (-∞, -1)∪(1, 2)∪(6, + ∞)
分析：不等式x2+px+q<0的解集为{x|1<x<2 }，则
方程x2+px+q=0的根为1, 2，
∴ B ={x |1-a<x<1+a, a>0 }
∵ A∪B=B ∴ A B
∴ 1-a<1 且 1+a>2，故a的取值范围是：(1, +∞)
不等式的解法
五、无理不等式解法 2x 1 练习10. 解不等式： (1) | 3x 2 3 | 1; ( 2) 1. x1 分析：(1)原不等式等价于： (I) 3x 2 3 1 或 (II) 3x 2 3 1 3x-2≥0 解(I) ： 3x 2 4 即 解得 x>6 3x-2>16 2 3x-2≥0 解得 ≤x<2 解(II) ： 3x 2 2 即 3x-2<4 3 (2)原不等式化为： (I) x-1>0
答案：①{x|x<-4 或 x>1 }; ② R; ③ {x|x=-3} . 练习5. 关于x的不等式ax2+5x+b>0 的解集为{x|1<x<2}，则
5 10 a= , b= . 3 3
高考：(天津08)已知函数f(x)= 解集是(
A
)
x+2, x≤0 ，则不等式f(x)≥x2的 -x+2, x>0
3-x ≥0 则 x+1 ≥0
∴
不等式的解法
五、无理不等式解法 f(x)≥0 (1) f (x) a ： a≥0 或 f(x)>a2 练习8. 解下列不等式：
2
f(x) ≥0 a<0
f(x)≥0 (2) f (x) a ： a≥0 f(x)<a2
解：(3)原不等式等价于： a-2x ≥0 a(a-x)< (a-2x)2 x≤a x≤ a ① 当a >0时， x≤a/2 解得{x| x<0} 即 x≤a/2 x(4x-3a)>0 x<0或x>3a/4 x ≥a 3a ② 当a <0时， x≤a/2 解得{x|a ≤x< } 4 x<3a/4或x>0 ③ 当a =0时，-2x>0，解得 {x| x<0 }.
2
f(x) ≥0 a<0
f(x)≥0 (2) f (x) a ： a≥0 f(x)<a2
1 解：(2)原不等式等价于： 3 x x 1 2
1 (1) 5 4x x x; ( 2) 3 x x 1 ; ( 3) a(a x) a 2x. 2
1 2 3 x ( x 1 ) 当-1≤x ≤3 时，原不等于化为： 2 7 即 x 1 2x 4 -1≤x ≤3 -1≤x ≤3 7 7 31 得 x≤ 2 x ≥0 1 解得 -1 ≤ x < 8 8 4 7 31 31 2 x 1 或x 1 x 1 ( 2x ) 8 8 4
方程ax2+bx+c=0 没有实数根 原不等式解集为R
原不等式解集 {x|x∈R且x≠x1}
原不等式解集 {x|x<x1或x>x2} 结束
不等式的解法
四、高次和分式不等式解法 (常用数轴标根法) 解法步骤：(1)将分子、分母的最高次项系数化为正数; (若已分解为因式，则每个因式的x的系数化正) (2)令分子为零，求根；令分母为零，求根. (3)将根标在数轴上，从右上往左方画出波浪线. (4)写出解集. 若(1)中为“>”，则取数轴上方图象； 若(1)中为“<”，则取数轴下方图象. 注意：(1)每个因式的x的系数必须为正; (2)奇重根、偶重根——奇穿偶不穿; (3)分子的根在“≥”或“≤”时标为实心，否则为空心. 例. 求解不等式：(x2-2x-3)(x2-6x+5)<0 解：令(x2-2x-3)(x2-6x+5)=0 ，则该方程的根为：-1, 1, 3, 5 采用数轴标根法，将根标在数轴上： -1 原不等式的解集为：{x|-1<x<1或3<x<5}
1 1 4a 1 1 4a 原不等式的解集为： {x | x } a a
不等式的解法
三、一元二次不等式: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0
开 始 将原不等式化为 ax2+bx+c>0(a>0)
△=b2-4ac
△≥0
是
否
求方程ax2+bx+c=0 的根x1、x2 x1=x2 ?
不等式的解法
三、一元二次不等式: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 求解步骤：(1)判断x2的系数a是否为0: ①a=0: 化为一元一次不等式; ②a<0: 不等式两边同乘-1 (系数化正); (2)令ax2+bx+c=0，求根 注意： ①比较△与0的大小关系； ②若△>0，比较两根的大小. (3)作出y=ax2+bx+c的图象 (4)写出解集 ： ①ax2+bx+c>0 : 取x轴上方的图象; ②ax2+bx+c<0 : 取x轴下方的图象. ←讨论1
1
3
5
不等式的解法
四、高次和分式不等式解法 (常用数轴标根法) 练习5. 解不等式：①(x2-3x+2)(6+x-x2) >0; ②(x2-3x+2)(x2-1)≥0 分析：①先将x2系数化正: (x2-3x+2)(x2 -x -6) <0 方程(x2-3x+2)(x2 -x -6)=0 的根为：-2, 1, 2, 3 原不等式解集: {x| -2<x<1或2<x<3} -2 1 ②方程(x2-3x+2)(x2-1)=0 即(x-1)2(x+1)(x-2)=0 ∴方程的根为：-1, 1, 2 ，其中1是2重根. 解集为: {x| x≤-1或x≥2或x=1} -1
2 ) 5
不等式的解法
二、含绝对值的不等式 高考. 1、(北京07)已知集合A={x||x-a|≤1}，B={x|x2-5x+4≥0}． 若A∩B=φ，则实数a的取值范围是 (2，3) . (0, 2)
2
2、(浙江07) 不等式 |2x-1|-x<1的解集是 { x | 0<x<2 } . 3、(上海08) 不等式|x-1|<1的解集是
2 3 x x2 (2)原不等式化为： 0 2 x x1 2 2 方程3x +x-2=0的根为 ：-1,
四、高次和分式不等式解法 (常用数轴标根法)
0
1
2
3
方程x2+x+1=0无解.
原不等式的 解集为: {x| -1<x<
2 3
}
不等式的解法
四、高次和分式不等式解法 (常用数轴标根法) 练习7. 已知不等式x2+px+q<0的解集为{x|1<x<2 }，则不等式
0 1 2
.
1 4、(广东08)已知a∈R，若关于x的方程 x x | a | | a | 0 4 1 有实根，则a的取值范围是 [0, ] . 4 1 分 析： 1 4(| a | | a |) 0 4 1 1 1 0 | a | | a | 4 4 4
1 (1) 5 4x x x; ( 2) 3 x x 1 ; ( 3) a(a x) a 2x. 2
5-4x-x2≥0 x≥ 0 或 (II) 5-4x-x2≥x2
14 2
解：(1)原不等式等价于： (I) -5≤x ≤1 解(I)得 x≥0
1 14 ≤x ≤ 2 1
不等式的解法
一、一元一次不等式 练习1. 解不等式：ax>-1 . (a为常数) 解：(1)若a>0, 则x>
1 1 ; (2)若a=0, 则x∈R; (3)若a<0，则 x< . a a
二、含绝对值的不等式 a 1、绝对值意义：|a|= 0 -a 2、去绝对值号： 或x<-a 或 (1) |x|>a : x>a a≥0
（A）[-1,1]
（B）[-2,2]
（C）[-2,1]
（D）[-1,2]
不等式的解法
三、一元二次不等式: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 练习6. 解不等式：ax2+2x+4>0
解：(1)当a=0时，原不等式的解集为x>-2; (2)当a>0时，令ax2+2x+4=0，则 △=4-16a
解(II)得
1 14 2
5-4x-x2 ≥0 x<0 -5≤x ≤1 x<0
即(I)的解集为: [0,
]，(II)的解集为: [-5, 0]. 14 1 原不等式的解集为: [-5, ]. 2
不等式的解法
五、无理不等式解法 f(x)≥0 (1) f (x) a ： a≥0 或 f(x)>a2 练习8. 解下列不等式：
不等式的解法
二、含绝对值的不等式 练习2. 解不等式：(1)2<|3x+1|≤5; (2) |2x-4| - |6+3x|>0. 2<|3x+1| 3x+1>2或3x+1<-2 即 解：(1)原不等式可化为： |3x+1|≤5 -5≤3x+1≤5 1 x> 或 x<-1 1 4 3 ∴ ∴原不等式解集为：[-2, -1)∪( , ] 4 3 3 -2≤x≤ 3 (2)令2x-4=0，则x=2; 令6+3x=0则x= -2. x ≤- 2 ①当x ≤-2时，有 得 -10<x≤-2 -(2x-4) + (6+3x)>0 -2<x ≤ 2 2 ②当-2<x ≤2时，有 -(2x-4) - (6+3x)>0 得 -2<x< 5 x >2 ③当 x >2时，有 得 x∈φ (2x-4) - (6+3x)>0 ∴原不等式解集为：(-10,
又由于方程x2-5x-6=0的根为-1, 6， ∴原不等式的解集为：(-∞, -1)∪(1, 2)∪(6, + ∞)，选D
不等式的解法
五、无理不等式解法 f(x)≥0 (1) f (x) a ： a≥0 或 f(x)>a2 练习8. 解下列不等式：
2
f(x) ≥0 a<0
f(x)≥0 (2) f (x) a ： a≥0 f(x)<a2
(3)当a<0时，原不等式化为 –ax2 – 2x – 4<0，△=4-16a>0
方程 ax2 + 2x
1 1 4a 1 1 4a + 4=0的根 a a
1 ①若△≥0，即0<a≤ 时， 1 1 4a 1 1 4a 4 a a 解集为：{x | x 1 1 4a 或 1 1 4a } a a 1 ②若△<0，即a> 时，解集为R. 4
(a>0) (a=0) (a<0)
x∈R a<0 ; x∈φ a<x<a |x|<a: 或 a≤0 a>0
(2)零点分段法： 令每个绝对值内的式子为零，求出根，分段去绝对值号 (3)平方法：不等号两边必须非负
(4)几何意义： 将绝对值理解成为距离.
练习2. 解不等式：(1)2<|3x+1|≤5; (2) |2x-4| - |6+3x|>0.