【2020年高考必备】河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)及解析

河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■
1. （5分）复数工（i为虚数单位）等于（）
i
A. - 1 - 3i
B.- 1+3i
C. 1 - 3i
D. 1+3i
2. （5分）设集合A={x|1v x v2}, B={x|x v a}，若A H B=A,则a的取值范围是
（）
A. {a| a<2}
B. {a|a< 1}
C. {a| a> 1}
D. {a| a>2}
3. （5 分）设向量；=（1，m），b = （m- 1，2），且；工匸，若（；-E）丄；，贝U
实数m=（）
A. 2
B. 1
C. —
D.
3 2
4. （5分）下列说法正确的是（）
A. 若a> 1,则a2> T的否命题是若a> 1，则a2< T
B. 若am2v bm2，则a v b”的逆命题为真命题
C. ? x o€（0，+x），使3%>4%成立
D. 若….「亠，则「是真命题
26
5. （5分）我国古代数学典籍《九章算术》盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相
逢？” 现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）
开始
结束
A. 4
B. 5
C. 2
D. 3
6. （5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，贝U该几何体的体积等于
（）
正视囹侧视图
A. 10cm3
B. 20cm3
C. 30cm3
D. 40cm3
7. （5分）若将函数f （x）=7n（2x+二）图象上的每一个点都向左平移三个
单位，得到g （x）的图象，则函数g （x）的单调递增区间为（）Jl JT / 、JI 371 / 〜
A. [k n-—, k n+ ] (k€ Z)
B. [k n+ , k n+ ] (k€Z)
9jr IT IT RJT
C. [k n- , k n-—] ( k€ Z)
D. [k n- —, k n^ , ] ( k€ Z)
8. (5 分)已知数列｛a n｝的前n 项和为S n, a1=1, a2=2，且a n+2- 2a n+什a n二
0(n€
9. （5分）已知函数*V°（aER），若函数f （x）在R上有两个零
2x-a, x>0
点，则实数a的取值范围是（）
r
◎二马,A-1A S=S-a+A
n=^-l
£?=M=1!S=0±W=1
2018
—【广：，则T2018=（
2018
C 4036
20192019
/输出川/
-
■
5
r
俯视圏
N ),记T n
A .（0，1]
B . [1，+x ）
C . （0, 1） D. （-X, 1]
2
2
10. （5分）已知椭圆—I — I b'-n'的左顶点和上顶点分别为 A ，B,
a b z
左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 丄PF 2,则椭 圆的离心率的平方为（ ）
A . 〔 B. C. 一」D.二
2 2 2 2
11.
（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出 7名学生参加2018年 全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图 所示，其中甲班学生成绩的中位数是 81,乙班学生成绩的平均数是86,若正实 数a,b 满足a,G,b 成等差数列且x,G,y 成等比数列，贝「J 的最小值为（
）
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
'垃>1
13. _____ （5分）设变量x , y 满足约束条件r 十则目标函数z=4x- y 的最小值 为 . 14. （5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+ （a - 1） y=a - 7平行，则a ___ . 15. （ 5 分）已知数列｛氏｝满足〔匚：：「「：，且 a i +a 2+a 3+^+a i0=1, 贝U log 2 （a ioi +a io2+…+a iio ） = ____ .
2 2
16. （5分）已知双曲线：.J ：-'-的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近
甲
乙
8 7
6
8 x Q 8 0 2 y
6
5 g
1 3
6
A
冷
B. 2 C 9
D
.
9
12. (5 分） 若对于任意 :的
正
实数 x , y 都有血 —)-ln —成立,
e x me
的取值范围为（ )
A .(-
e
・1) B.
e 1]
C . 爲 e ,e]
D .
(0,丄] e 则实数m
界I?
线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N,若」则双曲线的渐近线方
程为 ______ .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （i2分）在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2ccosB=2e+b. （1）求角C;
（2）若厶ABC的面积为::斗,求ab的最小值.
18. （i2分）20i7年i0月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校iOOO名（男生800名，女生200 名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取i00名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：
女生测试情况
（1）现从抽取的i000名且测试等级为优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；
（2）若测试等级为良好”或优秀”的学生为体育达人”其它等级的学生（含病残免试）为非体育达人”根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.0i0的前提下认为是否为体育达人”与性别有关？
非体育达人
总计
临界值表:
P (K2》k0) 0.100.050.0250.0100.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879
n(ad-bc) 2
附:，其中n=a+b+c+d)
19. (12分)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PABL平面ABC, AB=6, h .h 7, 工&汀D, E为线段AB上的点，且AD=2DB PD丄AC.
(1)求证：PD丄平面ABC
(2)若亠丄二—：，求点B到平面PAC的距离.
fi
20. (12 分)已知圆C: x2+y2+2x- 2y+1=0 和抛物线E: y2=2px (p >0)，圆心C 到抛物线焦点F的距离为—.
(1)求抛物线E的方程；
(2)不过原点的动直线I交抛物线于A，B两点，且满足OA丄OB.设点M为圆
C上任意一动点，求当动点M到直线I的距离最大时的直线I方程.
21. (12分)已知函数f (x) =lnx-a (x+1)，a€ R在(1, f (1))处的切线与x 轴平行.
(1)求f (x)的单调区间；
2 1
(2)若存在X0> 1,当x€( 1, X0)时，恒有：.| ' I .：■ - 1.1■.：成立，求
k的取值范围.
22. (10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1, 0),倾斜角为a,以坐
1 解不等式f (x)v g (x)；
标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是
2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■
1. （5分）复数工（i为虚数单位）等于（）
i
A.- 1 - 3i
B.- 1+3i
C. 1 - 3i
D. 1+3i
［解答】解：二二：•・'=-1-3i
i i-（-i）
故选A
2. （5分）设集合A={x|1v x v2}, B={x|x v a}，若A H B=A,则a的取值范围是
（）
A. {a| a< 2}
【解答】解：
B. {a|a< 1}
C. {a| a> 1}
D. {a| a>2}••• A H B=A,
••• A? B.
•••集合A={x| 1v x v 2}，B={x| x v a}，
••• a> 2
故选：D.
设向量a= （1，m）， b = （m - 1，2），且乞工b，若（乞-b）丄
目，贝U
实数m=（）
A. 2
B. 1
C.
D.
3 2
【解答】解：：（-■'，
(I - ■) ? i=0，
即？- ? 1=0，
3. (5 分)
即1+m2-( m - 1+2m) =0, 即m2- 3m+2=0,
得m=1 或m=2,
当m=1 时，量；=(1, 1), b = (0, 2),满足；工亍，
当m=2 时，量a= (1, 2), b = (1, 2),不满足 a b,
综上m=1,
故选：B.
4. (5分)下列说法正确的是( )
A. 若a> 1,则a2> T的否命题是若a> 1，则a2< T
B. 若am2v bm2,则a v b”的逆命题为真命题
C. ? x o€(0, +x),使3^>4%成立
D. 若…-二，则，一”是真命题
2 6
【解答】解：若a> 1,则a2> 1”的否命题是若a< 1,则a2< 1”故A错；
若am2v bm2，则a v b”的逆命题为假命题，比如m=0,若a v b，则am2=bm2, 故B 错；
对任意x>0,均有3x v4x成立，故C错；
对若■—,则，一”的逆否命题是若a=，则sin a = ”为真命题，
2 6 6 2
则D正确.
故选D.
5. (5分)我国古代数学典籍《九章算术》盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？” 现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=( )
结束
A. 4
B. 5
C. 2
D. 3
【解答】解：模拟执行程序，可得
a=1, A=1, S=0, n=1
S=2
不满足条件S> 10,执行循环体，n=2, a= , A=2, S=''
不满足条件S> 10,执行循环体，n=3, a= , A=4, S=
4 4
不满足条件S> 10,执行循环体，n=4, a—, A=8, S=
8 8
满足条件S> 10,退出循环，输出n的值为4.
故选：A.
6. （5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，贝U该几何体的体积等于（）
正视圏侧视圏
俯视图
A . 10cm 3
B . 20cm 3 C. 30cm 3 D . 40cm 3
【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图:
棱柱的高为5;底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为 3、4,
•••几何体的体积 7= X 3X 4X 5-二
3X 4 X 5=20 (cm 3).
2
3
2
故选B .
7. (5分)若将函数f (x ) sin (2x+=)图象上的每一个点都向左平移
单位，得到g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( A . [k n-
, k n +三](k € Z ) B. [k n +
, k n +
] (k € Z )
4
4
4
4
C. [k n -^, k n -— ] ( k € Z )
D . [k n-= , k n+ ] ] ( k € Z )
【解答】解：将函数f (x ) =「sin (2x+丄)图象上的每一个点都向左平移 2
3 单位，得到 g (x ) ^-sin[2 (x+—) +2L]=-丄sin2x 的图象，
2
3
3
2
u
故本题即求 y=sin2x 的减区间，令 2k n + < 2x < 2k
故函数g (x )的单调递增区间为[kj , ], k e 乙
故选：B.
8. (5 分)已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n , a i =1, a 2=2，且 a n +2- 2a n +什a n =0(n €
―【广：，则 T 2018=( )
C
4036 D
2018
m .
【解答】解：数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 1=1, a 2=2,且
a n +2- 2a n +什a n =0 (n €
■■个
,求得 k n +
< x <
N ),
则：数列为等差数列.
设公差为 d ,则:d=a?- a i =2 - 1=1, 贝U: a n =1 + n - 1=n .
所
以： 2*2018 4036 ^Oia^OlS+l "2019 故选：
C
9. (5分)已知函数f&)二"«°@€或，若函数f (x )在R 上有两个零 2x-a, x>0 点，则实数a 的取值范围是(
)
A . (0, 1]
B . [1, +x)
C . (0, 1) D. (-X, 1]
【解答】解：当x < 0时，f (x )单调递增，••• f (x )< f (0) =1 - a , 当x >0时，f (x )单调递增，且f (x )>- a . ••• f (x )在R 上有两个零点，
•••・汙,解得O v a < 1.
-a<0
I
故选A .
2 2
10. (5分)已知椭圆：I 「的左顶点和上顶点分别为 A , B, a b
左、右焦点分别是F 1, F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 丄PF 2,则椭 圆的离心率的平方为(
)
=八
,
=
故:
(n+l) 2
A 返B3^/^ C_]+码D
'~ ' 2 ' ~2~ ' 2
【解答】解：方法一：依题意，作图如下：A (- a, 0), B (0, b), F i ( - c, 0), F2 (c, 0),
•直线AB的方程为厶丄j,整理得：bx- ay+ab=0,设直线AB上的点P -a b
y),
贝U bx=ay- ab, x=—y - a, ••• PF 丄PF2,则777^\= (- c- x,- y) ? (c-x,- y) =x2 3+y2- c2=(令)
1J b
(7y- a)x f+2y,
•••由f'(y) =0得：y="；'，于是x=- _-
2丄1 22丄L 2
a +
b a +b
•疋?可二(
整理得：
2K2
' =c?,又b2=a2- c2,整理得：c4+3c?c2- a4=0,两边同时除以a4, a2+b2
由e2= ,• e4- 3e2+ 仁0,二e2=_ ,,，又椭圆的离心率e€( 0, 1),
• e2_-；— !
■-°= Y * _
椭圆的离心率的平方」,
£
故选B.
方法二：由直线AB的方程为••- - •，整理得：bx- ay+ab=0,
-a b
由题意可知：直线AB与圆O: x2+y2=c2相切，
可得d= 亍_=c,两边平方，整理得：c4+3c?c2-a4=0,两边同时除以a4,由Va2 + b2
2
e2= , e4- 3e2+1=0,
a (X, 2+y2
令 f (y)=(皂)2+y2- c2,则f'(y) =2
b
...e
2/土丑，又椭圆的离心率 e €（ 0, 1）, ••• e 2壬亞.
2 2
椭圆的离心率的平方上丄
2
11. （5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出 7名学生参加2018年 全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图 所示，其中甲班学生成绩的中位数是 81,乙班学生成绩的平均数是86,若正实 数a,b 满足a,G,b 成等差数列且x,G,y 成等比数列，贝厂J 的最小值为（
）
【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1;
由茎叶图可知乙班学生的总分为 76+80X 3+90X 3+ （0+2+y+1+3+6） =598+y , 乙班学生的平均分是86,且总分为86X 7=602，所以y=4, 若正实数a 、b 满足：a, G , b 成等差数列且x , G , y 成等比数列, 则 xy=G ?, 2G=a^b ，即有 a+b=4, a >0, b >0, 则 1
(a+b )(丄+：)二丄(1+4+二+」)』(5+2_.也..,匚门)二丄X 9二一,
a b 4
a b 4
a b 4
7 a b 4
4
A . 甲
8
6
8 x
0 8
0 6 5 g 1 1
2
3
2
4
6
D . 9
4
.B 2 C
乙
当且仅当b=2a=:时，------ 的最小值为
3 a%4
12. (5分)若对于任意的正实数x, y都有成立，则实数m e K me
的取值范围为( )
A •丄. .B. - - C. ^^ - D. 11,—
e e e e
【解答】解：根据题意，对于(2x- - ) ?ln：< '，变形可得一(2x- J In- < e x me y
e x
I
!5
m
即(2e-上)In上< —
x x m
设t=i，贝U( 2e- t) Int< —，t>0，
X ID
设 f (t) = (2e-1) Int， (t > 0)
则其导数f (t) =- lnt+迦—1，
t
又由t>0,则f (t)为减函数，且f (e) =—lne+ 一-仁0,
则当t €(0, e)时，f (t)> 0, f (t)为增函数，
当t €( e, +x)时，f (t)v 0, f (t)为减函数，
则f (t)的最大值为f (e),且f (e) =e,
若f (t) = (2e —t) lnt w丄恒成立，必有e w ,
m ID
解可得0v m w ■，即m的取值范围为(0, * ];
e e
故选：D.
二、填空题(本题共4小题，每题5分，共20分)
'垃>1
13. (5分)设变量x, y满足约束条件r+y-4<0则目标函数z=4x- y的最小值
为 1 .
垃＞1
【解答】解：设变量x, y满足约束条件r+yr-X,。

在坐标系中画出可行域三角形，平移直线4x- y=0经过点A (1, 3)时，4x- y最小，最小值为：1 ,
则目标函数z=4x- y的最小值：1.
故答案为：1.
14. (5分)如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+ (a- 1) y=a- 7平行，则a= 3
【解答】解：•••直线ax+2y+3a=0与直线3x+ (a- 1) y=a- 7平行，
• - ：__ -r -L
解得a=3.
故答案为：3.
15. ( 5 分)已知数列｛ a n｝满足「| [ I I」；| ' ■:,且a1+a2+a3 + ・・+a10=1，
贝U log2 (a101+a102+・・+an o) = 100 .
【解答】解：T | 「打1 ：「•，
a田
•g卄-log2an=1,即：八
•••数列｛&｝是公比q=2的等比数列.
则a ioi+a io2+°・+a iio= (81+82+33+^+a io) q100=2100.
Iog2 (a ioi+a io2+・・+a iio) 故答案为：100.
2 2
16. (5分)已知双曲线：1 -- -的右焦点为F,过点
/ b2
线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N,若 "'I
程为y=±一x_.
【解答】解：由题意得右焦点F( c, 0)，
设一渐近线0M的方程为y=$x,
且
则另一渐近线ON的方程为y=- x,
由FM的方程为y=-「(x- c),
联立方程y=—x,
a
2
可得M的横坐标为—,
由FM的方程为y=-2 (x- c),联立方程y=-^x,
b a
2
可得N的横坐标为一:
a -b
由2UI,
2 2
可得2( — c) = --------------- c,
c a -b2
2 2
即为亠-c= ,
c2a Z-c Z
由e=，可得三-仁，，
a孑2-e2
即有e4- 5e2+4=0，解得e2=4或1 (舍去)，
即为e=2,即c=2a, b= "a,F向双曲线的一条渐近，则双曲线的渐近线方
可得渐近线方程为y=± ■:x,
故答案为：y=±；x.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. ( 12分)在厶ABC中，角A，B, C的对边分别为a，b，c,且2ccosB=2s+b.
(1)求角C;
(2)若厶ABC的面积为厂子「，求ab的最小值.
【解答】解：(1)由正弦定理可知：一^ =卫=2 =2R, a=2RsinA b=2RsinB sinA sinB
sinC
c=2Rsi nC
由2ccosB=2aHb，贝U 2sinCcosB=2sin(B+C) +sinB，
••• 2si nBcosGsi nB=0,
由O v B v n，sinB M0，cosC=—丄，
2
O v C v n，则;
(2)由S= absinC= - c，贝U c= ab，
2 2 2
2E2
由c2=a+b2—2abcosC=a+b2+ab，：_—=a2+b2+ab>3ab，
当且仅当a=b时取等号，
• ab> 12，
故ab的最小值为12.
18. (12分)2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了
考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名(男生800名，女生200
名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如
下统计图表：
男生测试情况：
女生测试情况
（1）现从抽取的1000名且测试等级为优秀”的学生中随机选出两名学生，求选
出的这两名学生恰好是一男一女的概率；
（2）若测试等级为良好”或优秀”的学生为体育达人”其它等级的学生（含病残免试）为非体育达人”根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为是否为体育达人”与性别有关？
临界值表:
附：—：»，其中n=a+b+c+d）
【解答】解：（1）按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20 名;
••• x=80-（5+10+15+47）=3，
y=20-（2+3+10+2）=3;
抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A，B，C;
两位女生设为a，b;从5名任意选2名，总的基本事件有
AB，AC, Aa, Ab，BC, Ba, Bb, Ca, Cb, ab，共10 个；
设选出的两名学生恰好是一男一女为事件A” ；
则事件包含的基本事件有Aa, Ab, Ba, Bb, Ca, Cb共6个;
二一二 _ ；
10 5；
则匸〜9091；
80X 20X 55X 45 ''
••• 9.091 >6.635 且P （K2》6.635）=0.010,
•••在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为是否为体育达人'与性别有关
19. (12分)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PABL平面ABC, AB=6,二•二,
AC=2Ve, D, E为线段AB上的点，且AD=2DB PD丄AC.
(1)求证：PD丄平面ABC
(2)若.. ■ !，求点B到平面PAC的距离.
【解答】证明：（1）连接CD,据题知AD=4, BD=2,
••• A G+B C^A B2,：/ ACB=90,.・. cos.「「. _ ,
厂-J
•二1-1_-二_ - ____ .L_.=8,： CD=2 :,
• CD2+AD2=A C^,： CD丄AB,
又•••平面PABL平面ABC, • CD丄平面PAB • CD丄PD, ••• PD丄AC, CDA AC=C • PD丄平面ABC.
解：(2)：ZPAB 斗，二 PD=AD=4 ••• PA=V^ , 在 RtA PCD 中，PC= J ： 「=2■汀， •••△ PAC 是 等腰三角形，••• 「__.「，
设点B 到平面PAC 的距离为d , 由 V E -PA(=V P -AEG 得—:'
••• d= -
=3, S APAC 故点B 到平面PAC 的距离为3.
20. (12 分)已知圆 C: x 2+y 2+2x- 2y+1=0 和抛物线 E : y 2=2px (p >0),圆心 C 到抛物线焦点F 的距离为.=.
(1) 求抛物线E 的方程；
(2) 不过原点的动直线I 交抛物线于A , B 两点，且满足OA 丄OB.设点M 为圆 C 上任意一动点，求当动点 M 到直线I 的距离最大时的直线I 方程.
【解答】 解：(1)圆 C : x 2+y 2+2x - 2y+1=0 可化为(x+1) 2+ (y - 1) 2=1， 则圆心为(-1，1).
抛物线E:『=2px (p >0)，焦点坐标F (号,0)，
由于：圆心C 到抛物线焦点F 的距离为 =.
则：：‘ I ； • - I.-
解得：p=6.
故抛物线的方程为：y 2=12x
XPD ，
APAC X
(2)设直线的方程为 x=my+t , A (x i , y i ), B (X 2, y 2),
整理得：y 2- 12my - 12t=0, 所以：y i +y 2=12m , y i y 2= - 12t . 由于：OA 丄OB. 贝U ： x i X 2+y i y 2=0.
即：(m 2+1) y i y 2+mt (y i +y 2)+t 2=0. 整理得：t 2- 12t=0,
由于t 工0,
解得t=12.
故直线的方程为x=my+12, 直线经过定点(12, 0).
当CN 丄I 时，即动点M 经过圆心C ( 当CP 丄I 时，即动点M 经过圆心C ( k MP =k CP =- ,
则：m=.
此时直线的方程
为： X 」「_，
即：13x -y - 156=0. 21. (12分)已知函数 f (x ) =lnx -a (x+1), a € R 在(1, f (1))处的切线与 x 轴平行.
(1) 求f (x )的单调区间；
2 1
(2) 若存在 X 0 > 1,当 x €( 1, X 0)时，恒有：.!
| . 1.1 ■.：成立，求
k 的取值范围.
【解答】解：(1)由已知可得f (x )的定义域为(0, +x ),
f'( x ) =— — a ,： f'( 1) =1 - a=0,解得：a=1, x ••• f'(x) =1 ,
令 f'( x )> 0,解得：0v x v 1,令 f'( x )v 0,解得：x > 1,
故f (乂)在(0, 1)递增，在(1, +x)递减;
2 i
(1)不等式 f (x )-二 +2x+ >k (x - 1)
2 2
2 1 可化为 Inx- ' +x-
>k (x - 1),
2 2 1,1)时到直线的距离取最大值.
1, 1)时到动直线L 的距离取得最大值.
人1
令g (x) =lnx-丁+x-专-k (x- 1), (x> 1),
,/、-/+ (17)x+1
g (x)= ,
••• x> 1,令h (x) =-x2+ (1 - k) x+1, h (x)的对称轴是x=,①当二1时，即k>- 1,
2
易知h (乂)在(1,冷)上递减,
•h (x)v h (1) =1 - k, 若k> 1,则h (x)w 0,
•g( (x)w 0,
•g (乂)在(1 , X0)递减,
•g (x)v g (1) =0,不适合题意. 若-1< k v 1,则h (1)> 0, •必存在x0使得x€( 1, X0)时，g( (x)> 0,
•g (乂)在(1 , X0)递增,
•g (x)> g (1) =0恒成立，适合题意.
②当」〉1时，即k v - 1,
2
易知必存在X。

使得h (x)在(1,刈)递增，
•h (x)> h (1) =1 - k>0,
•g( (x)> 0,.°. g (乂)在(1, X0)递增,
•g (x)> g (1) =0恒成立，适合题意.
综上，k的取值范围是(-%, 1).
22. （10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线I 过点（1, 0）,倾斜角为a,以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是
1-cos 2 B
（1）写出直线I 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若—，设直线I 与曲线C 交于A ，B 两点，求△ AOB 的面积.
4
曲线C 的极坐标方程是.八
1-cas °
转化为直角坐标方程为：y 2=8x
代入y 2=8x 得到：‘ 一：-1 • . （t1和t2为A 和B 的参数）， 所以：| . 一一
一，bt 2=- 16.
所以：|,j 一 | I ..-..
O 到AB 的距离为：d=_-_;:_ .: 4 2
则：•.一一 - - - . = ■■'.
23. 设函数 f (x ) =|x+3|，g (x ) =|2x - 1| .
(1) 解不等式 f (x )v g (x )；
(2) 若2f (x ) +g (x )> ax+4对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围.
【解答】解：(1)由已知得|x+3| v |2x - 1|，
即|X +3|2V |2X - 1| 2，
则有 3/— 10x — 8>0，
9 、
x v-或 x >4，
故不等式的解集是(-X,- ')U( 4, +x)；
(2)由已知，设 h (x ) =2f (x ) +g (x ) =2| x+3|+| 2x - 1|
-4x~5, y=C-3
7, -3<x<- 【解答】（1）直线L 的参数方程为： <X=1+
^°SCl (a 为参数).
k y=tsin^
（2）当a 且时，直线I 的参数方程为：• 4 V2
厂 （t 为参
数），
<2
= 2 ,
4x+5f直A*
L £
当x<- 3时，只需-4x-5>ax+4恒成立,
即ax v- 4x- 9,
T x W- 3v 0,
••• a>=22_ =-4—'恒成立，
x x
q
--a>〕，…a>- 1,
K maz
当-3v x v丄时，只需7>ax+4恒成立，
2
即ax— 3v 0恒成立，
-3a^3<0
只需扫<0，.J A
aC6 '
L
.•.- 1 W a w 6，
当x》1时，只需4x+5> ax+4恒成立，
2
即ax v 4x+1，
T x》丄〉0，. a v丫亠=4+ 恒成立，
2M X
T 4+1 >4,且无限趋近于4，
••• a< 4，
综上，a的取值范围是（-1，4].
1-cos* 1 2 8
(1)写出直线I的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若「-二，设直线I与曲线C交于A，B两点，求△ AOB的面积.
4
23. 设函数f (x) =|x+3|，g (x) =|2x- 1| .
(2) 若2f (x) +g (x)> ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围.。