2020届 人教A版__解三角形-单元测试

解三角形
一、单选题
1．在ABC ∆中，B=30︒
，C=45︒， c=1，则最短边长为
（ ）
A C ．
1
2
D
【答案】B
【解析】由题意，易知B C A <<，所以b 最小．由正弦定理，得sin sin c B b C == 2．已知ABC ∆中，2=
a ，3=
b ， 60=B ，那么=∠A （ ）
A ． 45
B ． 90
C ． 135或 45
D ． 150或 30 【答案】A 【解析】
试题分析：利用正弦定理，B b
A a sin sin =
得：2
2
3
60sin 2sin sin 0
=
==b
B a A ，由于b a <，则B A <，于是045=A ，选A. 考点：利用正、余弦定理解三角形.
【易错点评】利用正弦定理求三角形的内角，当求出b a <2
2
sin =
A 时，容易得出045=A 或 135，这时务必要研究角A 的范围，由于，则
B A <，说明角A 为锐角，
所以045=A .
3．已知ABC ∆满足a b >，则下列结论错误的是（ ）
A ．A
B > B ．sin sin A B >
C ．cos cos A B <
D ．sin2sin2A B > 【答案】D
【解析】由大边对大角，可知A B >，所以A 正确； 由正弦定理可知， sin sin A B >，所以B 正确；
由A B >，且cos y x =在()0,π单调递减，可知cos cos A B <，所以C 正确； 当90,30A B ==时， a b >，但sin2sin2A B <，所以D 错误。

故选D 。

点睛：本题考查三角函数与解三角形的应用。

本题中涉及到大边对大角的应用，正弦定
理的应用，三角函数单调性的应用等，需要学生对三角模块的综合掌握，同时结合特殊值法去找反例，提高解题效率。

4．在∆ABC 中，,30,,1
=∠==A x b a 则使∆ABC 有两解的x 的范围是（ ）
A 、)332,
1( B 、),1(+∞ C 、)2,3
3
2( D 、)2,1( 【答案】D 【解析】
试题分析：结合图形可知，三角形有两解的条件为,sin b x a b A a =><，所以
01,sin 301b x x =><，12x <<，故选D 。

考点:三角形解的个数讨论
考点:简单题，利用数形结合思想，建立x 的不等式组。

5．如图，某船在海上航行中遇险发出呼救信号，我海上救生艇在A 处获悉后，立即测出该船在方位角45︒方向，相距10海里的C 处，还测得该船正沿方位角105︒的方向以每小时9海里的速度行驶，救生艇立即以每小时21海里的速度前往营救，则救生艇与呼救船在B 处相遇所需的最短时间为
A ．
15小时 B ．13小时 C ．25小时 D ．2
3
小时 【答案】D 【解析】
6．在ABC ∆中,
3π
=
∠B ，三边长a ，b ，c 成等差数列，且6=ac ，则b 的值是( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ． 【答案】 C
【解析】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+。

而6,3
ac B π
==
，所以
2221cos cos 232a c b B ac π+-===，即22()21
22a c ac b ac +--=，从而有
224121
122
b b --=，解得b =。

因为0b >，所以b = C
7．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且222a c b ab -+=，则角C 等于 （ ） A ．
3π
B ．
4π
或
34
π
C ．23π
D ．6
π
【答案】A
【解析】试题分析：，则角等于，故选A.
考点：余弦定理
8．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，80a =，100b =，30A =︒，则此三角形（ ）
A ．一定是锐角三角形
B ．一定是直角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形 【答案】C 【解析】
试题分析：由正弦定理
5sin sin sin 8a b B A B =∴=<60B <或120B >，当60B <时有90C >，所以三角形是钝角三角形
考点：解三角形
点评：判定三角形形状一般求出三内角或三边长，通过角的大小或边长关系确定，本题中还可由余弦定理求得c 边的长度，，由三边判定其形状 9． 的内角 的对边分别为 ，已知
，则c 边长为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】A
【解析】分析：根据正弦定理求c. 详解：因为
，所以
选A.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
10．边长为5， 7， 8的三角形，边长为7的边所对角的大小是（ ）． A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒ 【答案】B
【解析】由余弦定理可得，边长为7的边所对角为θ，
则2225871cos 2582
θ+-==⨯⨯，
所以60θ=︒． 本题选择B 选项.
11．在ABC ∆中，若00120306===B A a ，，，则△ABC 的面积是= ( )． A ．93 Ｂ．9 Ｃ．183 Ｄ．18 【答案】A 【解析】
试题分析：在ABC ∆中，0
30180,120,30=--=∴==B A C B A ,ABC ∆∴是等腰三角形，
6==a c ，由三角形的面积公式得
392
36621sin 21=⨯⨯⨯==
∆B ac S ABC ． 考点:解三角形．
12．△ABC 中，角A.B.C 所对边分别是a.b.c ，若△ABC 的面积2
2
)(c b a S --=，则2
tan A
等于
A.
21 B. 31 C. 22 D. 4
1
【答案】D 【解析】略
二、填空题
13．在ABC 中, 2,6,60a b B ===，则c =_____.
【答案】1
【解析】2
2
2
2
6222cos6023201c c c c c =+-⨯⨯⇒--=⇒= （舍负）
14．在ABC 中，角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ．若πsin cos 2A B ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
， 3a =， 2c =，则cos C = __________； ABC 的面积为__________．
【答案】
7
9
【解析】∵πsin cos sin 2A B B ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
， 3a =， 2c =， ∴3b a ==， ∴
222994147cos 2233189
a b c C ab +-+-====
⨯⨯，
sin C ===
∴ABC 的面积11sin 3322S ab C ==⨯⨯=． 15．在中,已知
,则
▲ .
【答案】
【解析】由正弦定理可知
，则::2:3:4a b c =，不妨取
2,3,4a m b m c m ===，再根据余弦定理得
22222249161
cos 22234
a b c m m m C ab m m +-+-===-⨯⨯。

16．在 中， 、 、 所对边分别为 、 、 ，若
，则 ____________.
【答案】
.
【解析】 【分析】
利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式，再把正切化成弦，整理后可得
，解出 即可. 【详解】
由正弦定理可得
，故
，
通分得到
，
.
因为 ，所以
，故
即
.
因为 ，故 ，填
. 【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.
三、解答题
17．设ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3C π
=
，cos cos a A b B =.
（1）求角B 的大小；
（2）如图，在ABC ∆内取一点P ，使得2PB =，过点P 分别作直线,BA BC 的垂线
,PM PN ，垂足分别是,M N ，设PBA α∠=，求PM PN +的最大值及此时α的值.
【答案】（1）π
3
B =；（2）2 【解析】
试题分析：（1）由cos cos a A b B =及正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，即
sin 2sin 2A B =，又()()00A B ππ∈∈，，，，可得A B =或
2A B π
+＝
，由于
3C π
=
，
即可得出．（2）由题设，得在Rt PMB 中，sin 2sin PM PB PBM α=⋅∠=；在Rt PNB
∆中，同理可得
ππ2sin 033PN αα⎛⎫⎛⎫
=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，于是
π
2sin 3PM PN α⎛⎫=+ ⎝+⎪⎭，．由于π03α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得π2sin 2]3α⎛
⎫+∈ ⎪⎝
⎭，据此即可得出
结果．
试题解析：解：（1）由cos cos a A b B =及正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =， 即sin 2sin 2A B =，又(0π)(0π)A B ∈∈，，， 所以有A B =或π
2
A B +=
，
又因为π3C =
，得2π3A B +=，与π2
A B +=矛盾， 所以A B =，因此π
3
B =
． （2）由题设得，在Rt PMB △中，sin 2sin PM PB PBM α=⋅∠=，
在Rt PNB △中，πππsin sin 2sin 0333PN PB PBN PB PBA αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅∠=⋅-∠=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，
所以π2sin 2sin sin 3PM PN αααα⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭π2sin 3α⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，
因为π03α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ2π333α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，
，从而有πsin 13α⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦
，
即π2sin 2]3α⎛
⎫+∈ ⎪⎝⎭
，于是，当ππ32α+=，即π6α=时，PM PN +取得最大值2．
考点：1.正弦定理；2.三角函数的性质. 18．（本小题满分10分） （Ⅰ）求证：6sin 75=
； （Ⅱ）在△ABC 中，45CBA ∠=，75CAB ∠=，10AB =，求AB 边上高的长度．
【答案】（Ⅰ）略：
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据
然后由两角的和的正弦展开式求得；（Ⅱ）
根据三角形内角和为0
180，可得
tan
2,2x
=，
由正弦定理得，所以AB 边上高由0
sin 45BC 求得
试题解析：（1）
．
（2）∵，
． ∴
．
由正弦定理得：，
∴．
过点C 作AB 的高，垂足为D ，则BD 的长即为所求．
()
533
3
+考点：1．两角的和的正弦展开式；2．正弦定理
19．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2﹣bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若a=
，求b+c 的取值范围．
【答案】（I ）A=
．（II ）
＜b+c≤2
．
【解析】试题分析：
(1)由题意结合余弦定理可得 ，结合特殊角的三角函数值可得
； (2)结合三角形两边之和大于第三边结合余弦定理可得b +c 的取值范围是
.
试题解析：
（I ）由已知得：bc =b 2+c 2﹣a 2， 故cosA ==．
∴A =
．
（II ）解：一方面b +c ＞a =
，
另一方面：a 2=3=b 2+c 2﹣bc =（b +c ）2﹣3bc ≥（b +c ）2﹣（b +c ）2=（b +c ）2，
∴（b +c ）2≤12，b +c ≤2，当且仅当b =c =
时取到等号．
综上：
＜b +c ≤2
．
20．（本小题满分10分）在锐角ABC ∆中，A 、B 、C 三内角所对的边分别为a 、b 、c ，
221
cos sin ,2
A A a +
== （1）若b=3，求c ；
（2）求ABC ∆的面积的最大值。

【答案】
【解析】略
21．(本小题满分12分)已知向量m，n，函数m·n. (1)若，求的值；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】分析：（1）利用两角和差公式和二倍角公式对函数解析式整理，根据求得x的值，代入即可求解，（2）根据正余弦定理和已知等式求得cosA的值，进而求得A，则B的取值范围可得，最后根据B的范围得出结理论.
详解：,
或,所以
（2）由题可知，,又B，C均为锐角，所以，所以
点睛：本题解题关键是首先要能准确求出函数表达式，借助和差公式、二倍角公式化简，代入已知求值即可，对于第二问要特别注意锐角的范围，从而确定值域.本题属于基础题
22．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且．（1）求角C的大小；
（2）若c＝2，△ABC的周长为6，求该三角形的面积．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得2sin A cos C＝sin A，结合sin A≠0，可求cos C＝，根据范围0＜C＜π，可求C的值；（2）由已知可求a+b＝4，由余弦定理可求ab的值，根据三角形面积公式即可计算得解．
【详解】
⑴由正弦定理得：，
即，
即，
由于，
故，
又，
所以，
⑵由于，三角形的周长为6，故，
由余弦定理有，
即，
故，
所以三角形的面积.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．。