工程流体力学__习题及答案

第1章 绪论
选择题
【1.1】 按连续介质的概念，流体质点是指：（a ）流体的分子；（b ）流体内的固体颗粒；
（c ）几何的点；（d ）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元
体。

解：流体质点是指体积小到可以看作一个几何点，但它又含有大量的分子，且具有
诸如速度、密度及压强等物理量的流体微团。

（d ）
【1.2】 与牛顿内摩擦定律直接相关的因素是：（a ）切应力和压强；（b ）切应力和剪切变
形速度；（c ）切应力和剪切变形；（d ）切应力和流速。

解：牛顿内摩擦定律是d d v y τμ=，而且速度梯度d d v
y 是流体微团的剪切变形速度
d d t γ，故d d t γτμ=。

（b ）
【1.3】 流体运动黏度υ的国际单位是：（a ）m 2/s ；（b ）N/m 2；（c ）kg/m ；（d ）N·s/m 2。

解：流体的运动黏度υ的国际单位是/s m 2。

（a ）
【1.4】 理想流体的特征是：（a ）黏度是常数；（b ）不可压缩；（c ）无黏性；（d ）符合RT p =ρ。

解：不考虑黏性的流体称为理想流体。

（c ） 【1.5】
当水的压强增加一个大气压时，水的密度增大约为：（a ）1/20 000；（b ）1/1 000；（c ）1/4 000；
（d ）1/2 000。

解：当水的压强增加一个大气压时，其密度增大约
95d 1
d 0.51011020 000k p ρ
ρ-==⨯⨯⨯=。

（a ）
【1.6】 从力学的角度分析，一般流体和固体的区别在于流体：（a ）能承受拉力，平衡时
不能承受切应力；（b ）不能承受拉力，平衡时能承受切应力；（c ）不能承受拉力，平衡时不能承受切应力；（d ）能承受拉力，平衡时也能承受切应力。

解：流体的特性是既不能承受拉力，同时具有很大的流动性，即平衡时不能承受切
应力。

（c ） 【1.7】
下列流体哪个属牛顿
流体：（a ）汽油；（b ）纸浆；（c ）血液；（d ）沥青。

解：满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。

（a ）
【1.8】 15C 时空气和水的运动黏度6215.210m /s υ-=⨯空气，
621.14610m /s υ-=⨯水，这说明：在运动中（a ）空气比水的黏性力大；（b ）空气比水的黏性力小；（c ）空气
与水的黏性力接近；（d ）不能直接比较。

解：空气的运动黏度比水大近10倍，但由于水的密度是空气的近800倍，因此水
的黏度反而比空气大近50倍，而黏性力除了同流体的黏度有关，还和速度梯度有
关，因此它们不能直接比较。

（d ）
【1.9】 液体的黏性主要来自于液体：（a ）分子热运动；（b ）分子间内聚力；（c ）易变形
性；（d ）抗拒变形的能力。

解：液体的黏性主要由分子内聚力决定。

（b ）
计算题
【1.10】 黏度μ=3.92×10﹣
2Pa·s 的黏性流体沿壁面流动，距壁面y 处的流速为v=3y+y 2（m/s ），试求壁面的切应力。

解：由牛顿内摩擦定律，壁面的切应力0τ为
22000d (32) 3.9210311.7610Pa
d y y v y y τμ
μ--====+=⨯⨯=⨯ 【1.11】在相距1mm 的两平行平板之间充有某种黏性液体，当其中一板以1.2m/s 的速度相对于另一板作等速移动时，作用于板上的切应力为3 500 Pa 。

试求该液体的黏度。

解：由d d v
y τμ=，
3d 1103 500 2.917Pa s d 1.2y v μτ-⨯==⨯=⋅
【1.12】一圆锥体绕竖直中心轴作等速转动，锥体与固体的外锥体之间的缝隙
δ=1mm ，其间充满μ=0.1Pa·s 的润滑油。

已知锥体顶面半径R =0.3m,锥体
高度H =0.5m,当锥体转速n =150r/min 时，求所需旋转力矩。

解：如图，在离圆锥顶h 处，取一微圆锥体（半
径为r ），其高为d h 。

这里 R r h H = 该处速度()R v h r h H ωω== 剪切应力()v
Rh r H ω
τμμδδ==
习题.121
图
高为d h 一段圆锥体的旋转力矩为
d ()()2M h r τπ=d cos h r r θ
2Rh H ωμπδ=2
d cos h r θ
其中tan r h θ=代入 32tan 2d cos R h h H μωθπδθ=
总旋转力矩 23002tan d ()d cos H
R M M h h h H πμωθHδθ⋅==⎰⎰
34
2tan cos 4πμωθH δθ=
其中 rad/s 7.15602150s,Pa 1.0=⨯=⋅=πωμ
30.3tan 0.6,cos 0.857,0.5m,110m 0.5R H H θθδ-======⨯
代入上式得旋转力矩 34
320.115.70.60.538.83N m 1100.8574M π-⨯⨯⨯=⨯=⋅⨯⨯
【1.13】上下两平行圆盘，直径均为d ，间隙为δ，其间隙间充满黏度为μ的液体。

若下盘固定不动，上盘以角速度ω旋
转时，试写出所需力矩M 的表达式。

解：在圆盘半径为r 处取d r 的圆环，如图。

其上面的切应力()r r ωτμδ= 则所需力矩 ()d 2M r τπ=32d d r rr r r πμωδ=
总力矩
4223002d d 32d d d M M r r πμωπμωδδ===⎰⎰ 【1.14】当压强增量p ∆=5×104N/m 2时，某种液体的密度增长0.02%。

求此液体的体积弹性模量。

习题.131
图
解：液体的弹性模量4
8d d 510 2.510Pa d d 0.0002p p E ρρρρ⨯====⨯
【1.15】一圆筒形盛水容器以等角速度ω绕其中心轴旋
转。

试写出图中A(x,y,z)
处质量力的表达式。

解：位于(,,)A x y z 处的流体质点，其质量力有
惯性力
22cos x f r x ωθω==
2sin r y θω= 重力 z f g
=- （Z 轴向上）
故质量力的表达式为
22x y g ωω=+-F i j k
【1.16】图示为一水暖系统，为了防止水温升高时，体积膨胀将水管胀裂，在系统顶部设一
膨胀水箱。

若系统内水的总体积为8m 3，加温前后温差为50℃，在其温度范围内
水的热胀系数α=0.000 5/℃。

求膨胀水箱的最小容积。

解：由液体的热胀系数
1d d V V T α=公式， 据题意， 0.000 5/α=℃，38m V =，d 50T =℃
故膨胀水箱的最小容积
3d d 0.000 58500.2m V V T α==⨯⨯=
【1.17】汽车上路时，轮胎内空气的温度为20℃，绝对压强为395kPa ，行驶后， 轮胎内空气温度上升到50°С，试求这时的压强。

解：由理想气体状态方程，由于轮胎的容积不变，故空气的密度ρ不变， 习题.151图习题.161图
故 00p p T T =，
其中 0395kPa p =，
020273293K T =+=，50273323K T =+=
得 395323435.4kPa 293p ⨯==
【1.18】图示为压力表校正器。

器内充满压缩系数为k =4.75×10﹣10m 2/N 的油液。

器内压强
为105Pa 时，油液的体积为200mL 。

现用手轮丝杆和活塞加压，活塞直径为1cm ，丝杆螺距为2mm ，当压强升高至20MPa 时，问需将手轮摇多少转？
习题.181图
解：由液体压缩系数定义d d k p ρ
ρ
=， 设m V ρ=，d Δm m V V V ρ=-- 因此，d ΔΔV
V V ρ
ρ=-，
其中手轮转n 转后， 体积变化了2Δ4V d Hn π
=（d 为活塞直径，H 为螺距）
即
224d 4d Hn k p V d Hn π
π=
-， 其中 1024.7510m /N k -=⨯，65d (201010)Pa p =⨯-
得 1065d 4.7510(201010)k p -=⨯⨯⨯-
23-3-3230.01210420010100.012104n n
π
π
--⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ 解得
12n =转 【1.19】黏度测量仪有内外两个同心圆筒组成，两筒的间
隙充满油液。

外筒与转轴连接，其 半径为r 2,旋转角速度为ω。

内筒悬挂于一金属丝下，金属丝上所受的力矩M 可以通过扭转角的值确定。

外筒与内筒底面间隙为a ，内筒高H ，如题1.19图所示。

试推出油液黏度μ的计算式。

解：外筒侧面的切应力为 2/r τμωδ=，这里21r r δ=-
故侧面黏性应力对转轴的力矩1M 为
21112r M r Hr ωμπδ= （由于a 是小量，H a H -≈）
对于内筒底面，距转轴r 取宽度为d r 微圆环处的切应力为
/r a τμω= 则该微圆环上黏性力为
2
2d 2d r F r r a πτπμω==
故内筒底面黏性力为转轴的力矩2M 为
13421012d 2r M r r r a a ωωμπμπ==⎰
显然
421212121212()ar H M M M r a r r r ωμπ⎡⎤=+=+⎢⎥-⎣⎦ 即 421212121
2()M ar H r a r r r μωπ=
⎡⎤
+⎢⎥-⎣⎦
第2章 流体静力学
选择题：
习题.191图
【2.1】 相对压强的起算基准是：（a ）绝对真空；（b ）1个标准大气压；（c ）当 地大气压；（d ）液面压强。

解：相对压强是绝对压强和当地大气压之差。

（c ）
【2.2】 金属压力表的读值是：（a ）绝对压强；（b ）相对压强；（c ）绝对压强加
当地大气压；（d ）相对压强加当地大气压。

解：金属压力表的读数值是相对压强。

（b ）
【2.3】 某点的真空压强为65 000Pa ，当地大气压为0.1MPa ，该点的绝对压强为：
（a ）65 000 Pa ；（b ）55 000 Pa ；（c ）35 000 Pa ；（d ）165 000 Pa 。

解：真空压强是当相对压强为负值时它的绝对值。

故该点的绝对压强64ab 0.110 6.51035 000Pa p =⨯-⨯=。

（c ）
【2.4】 绝对压强ab p 与相对压强p 、真空压强v p 、当地大气压a p 之间的关系是：
（a ）ab v p p p =+；（b ）ab a p p p =+；（c ）v ab a p p p =-；（d ）v a p p p +=。

解：绝对压强－当地大气压＝相对压强，当相对压强为负值时，其绝对值即为真空
压强。

即ab a v p p p p -==-，故ab v a p p p =-。

（c ）
【2.5】 在封闭容器上装有U 形水银测压计，其中1、2、3点位于同一水平面上，
其压强关系为：（a ）p 1>p ２> p 3；（b ）p 1=p ２= p 3；（c ）p 1<p ２< p 3；（d ）
p 2<p 1<p 3。

解：设该封闭容器内气体压强为0p ，则20p p =，显然32p p >，而21Hg p h p h γγ+=+气体，显然12p p <。

（c ）
习题.52图 习题.62
图
【2.6】 用Ｕ形水银压差计测量水管内Ａ、Ｂ两点的压强差，水银面高度h p ＝10cm ，
p A -p B 为：（a ）13.33kPa ；（b ）12.35kPa ；（c ）9.8kPa ；（d ）6.4kPa 。

解：由于
222H O H O H O Hg A p B p p h h p h h γγγγ++=++ 故2Hg H O () (13.61)9 8070.112.35kPa
A B p p p h γγ-=-=-⨯⨯=。

（b ） 【2.7】在液体中潜体所受浮力的大小：（a ）与潜体的密度成正比；（b ）与液体的
密度成正比；（c ）与潜体的淹没深度成正比；（d ）与液体表面的压强成反比。

解：根据阿基米德原理，浮力的大小等于该物体所排开液体的重量，故浮力的大小与液体的密度成正比。

（b ）
【2.8】 静止流场中的压强分布规律：（a ）仅适用于不可压缩流体；（b ）仅适用
于理想流体；（c ）仅适用于粘性流体；（d ）既适用于理想流体，也适用
于粘性流体。

解：由于静止流场均可作为理想流体，因此其压强分布规律既适用于理想流体，也
适用于粘性流体。

（d ）
【2.9】 静水中斜置平面壁的形心淹深C h 与压力中心淹深D h 的关系为C h D h ：
（a ）大于；（b ）等于；（c ）小于；（d ）无规律。

解：由于平壁上的压强随着水深的增加而增加，因此压力中心淹深h D 要比平壁形
心淹深C h 大。

（c ）
【2.10】流体处于平衡状态的必要条件是：（a ）流体无粘性；（b ）流体粘度大；
（c ）质量力有势；（d ）流体正压。

解：流体处于平衡状态的必要条件是质量力有势 （c ）
【2.11】液体在重力场中作加速直线运动时，其自由面与 处处正交：（a ）重
力；（b ）惯性力；（c ）重力和惯性力的合力；（d ）压力。

解：由于流体作加速直线运动时，质量力除了重力外还有惯性力，由于质量力与等
压面是正交的，很显然答案是 （c ） 计算题：
【2.12】试决定图示装置中A 、B 两点间的压强差。

已知h 1=500mm ，h 2=200mm ，
h 3=150mm ，h 4=250mm ，h 5=400mm ，酒精γ1=7 848N/m 3，水银γ2=133 400 N/m 3，水γ3=9 810 N/m 3。

习题.122图B A
1
h 313
2
水
水水银 解：由于
31222A p h p h γγ+=+ 而
321354324()B p p h p h h h γγγ=+=+-+ 因此
25432413()B p p h h h h γγγ=+-+- 即 ()22354241331A B p p h h h h h h γγγγγ-=+-+--
354241331()h h h h h γγγγ=-+--
133 4000.29 810(0.40.25)133 4000.25=⨯+⨯-+⨯
7 8480.159 8100.5-⨯-⨯
55 419.3Pa 55.419kPa ==
【2.13】试对下列两种情况求A 液体中M 点
处的压强（见图）：（1）A 液体是水，B 液体
是水银，y =60cm ，z =30cm ；（2）A 液体是比重为0.8的油，B 液体是比重为1.25的氯化钙溶液，y =80cm ，z =20cm 。

解（1）由于12B p p z γ== 13p p = 而 3M A B A p p y z y γγγ=+=+
134 0000.39 8100.646.086kPa =⨯+⨯=
（2）M B A p z y γγ=+
1.259 8100.20.89 8100.88.731kPa =⨯⨯+⨯⨯=
习题.132图液体液体
y
M
13
【2.14】在斜管微压计中，加压后无水酒精（比重为0.793）的液面较未加压时的
液面变化为y =12cm 。

试求所加的压强p 为多大。

设容器及斜管的断面分
别为A 和a ，1001=A a ，1sin 8α=。

习题.142图
时液面
Δ 解：加压后容器的液面下降Δy h A α
=
则 (sin Δ)(sin )ya p y h y A γαγα=+=+
0.120.120.7939 810()126Pa 8100=⨯⨯+=
【2.15】设U 形管绕通过AB 的垂直轴等速旋转，试求当AB 管的水银恰好下降到
A 点时的转速。

解：U 形管左边流体质点受质量力为
惯性力为2r ω，重力为g - 在(,)r z 坐标系中，等压面d 0p =的方程为 2d d r r g z ω=
两边积分得22
2r z C g ω=+ 根据题意，0=r 时0=z 故0=C
因此等压面方程为g r z 22
2ω=
U 形管左端自由液面坐标为 习题.152
图
80cm r =，6060120cm z =+=
代入上式
22
22229.81 1.236.79s 0.8gz r ω-⨯⨯=
==
故
6.065rad/s ω==
【2.16】在半径为a 的空心球形容器内充满密度为ρ的液体。

当这个容器以匀角速
ω绕垂直轴旋转时，试求球壁上最大压强点的位置。

解：建立坐标系如图，由于球体的轴对称，故仅考虑yOz 平面
球壁上流体任一点M 的质量力为
2y f y ω=；z f g =-
因此
2d (d d )p y y g z ρω=-
两边积分得
22
(
)2
y p gz C
ωρ=-+
在球形容器壁上sin y a θ=；cos z a θ=
代入上式，得壁上任一点的压强为
222sin (
cos )2
a p ag C
ωθ
ρθ=-+
使压强有极值，则22d (sin cos sin )0
d p
a ag ρωθθθθ=+=
即
2cos g a θω=-
由于
2
0g
a ω
>故︒>90θ即最大压强点在球中心的下方。

讨论：当2
1
g
a ω<或者2
g
a
ω
<时，最大压强点在球中心以下2
g
ω的
位置上。

习题.162图
当2
1
g
a ω
>或者2
g
a
ω
>时，最大压强点在
︒=180θ，即球形
容器的最低点。

【2.17】如图所示，底面积为0.2m 0.2m b b ⨯=⨯的方口容器，自重G =40N ，静止
时装水高度h =0.15m ，设容器在荷重W =200N 的作用下沿平面滑动，容器底与平面之间的摩擦因数f =0.3，试求保证水不能溢出的容器最小高度。

习题.172图
解：先求容器的加速度
设绳子的张力为T
则
W
W T a g -=
（a ）
22
()G b h
T G b h f a
g γγ+-+=
（b ）
故解得 22
()
W f G b h a g b h G W γγ-+=++
代入数据得 2
5.589 8m/s a =
在容器中建立坐标如图。

（原点在水面的中心点） 质量力为
x f a =-
z f g =-
由 d (d d )p a x g z ρ=-- 两边积分
p ax gz C ρρ=--+
当 0,0x z ==处 0p = 故 0C =
自由液面方程为
a z x g =-
（c ）
且 当,2b
x z H h
=-=-满足方程
代入（c ）式 得
5.589 80.2
0.150.207m 229.81ab H h g ⨯=+
=+=⨯
【2.18】如图所示，一个有盖的圆柱形容器，底半径R =2m ，容器内充满水，顶盖
上距中心为0r 处开一个小孔通大气。

容器绕其主轴作等角速度旋转。

试问当0r 为多少时，顶盖所受的水的总压力为零。

解：如图坐标系下，当容器在作等角速度旋转时，容
器内流体的压强分布为
)z C
+
当0,0r r z ==时，按题意0p =
故
22
02r C g ωγ
=-
p 分布为2220()2p r r z g ωγ⎡⎤
=--⎢⎥
⎣⎦
在顶盖的下表面，由于0z =，压强为
22201
()2p r r ρω=
-
要使顶盖所受水的总压力为零
2d R
p r r
π⎰
()222001
2d 0
2R r r r r ρωπ=
-=⎰
即
3200
d d 0
R
R
r r r r r -=⎰
⎰
积分上式 42
20042R R r -=
习题.182图
解得
0r =
==
【2.19】 矩形闸门AB 宽为1.0m ，左侧油深h 1=1m ，水深h 2=2m ，油的比重为
0.795，闸门倾角α=60º，试求闸门上的液体总压力及作用点的位置。

解：设油，水在闸门AB 上的分界点为E ，则油和水在闸门上静压力分布如图所示。

现将压力图F 分解成三部分1F ，2F ，3F ，而123F F F F =++，
其中
11 1.155m sin sin 60h AE α=
==︒
22
2.31m sin sin 60h EB α=
==︒
E p γ
=油1
0.7959 81017 799Pa h =⨯⨯=
B E p p γ
=+水
27 7999 810227 419Pa h =⨯⨯=
1E 11
I 7 799 1.155 4 504N 22F p AE =
⨯=⨯⨯=
2E I 7 799 2.3118 016N F p EB =⨯=⨯=
3B E 11
()I (27 4197 799) 2.3122 661N
22F p p EB =-⨯=⨯-⨯=
故总压力123 4 50418 01622 66145.18kN F F F F =++=++=
设总压力F 作用在闸门AB 上的作用点为D ，实质是求水压力图的形状中心离开A 点的距离。

由合力矩定理，
1
23212
()()323F AD F AE F EB AE F EB AE ⋅=++++
故212
4 504 1.15518 016( 2.31 1.155)22 661( 2.31 1.155)
32345 180AD ⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+=
2.35m =
或者 sin 2.35sin60 2.035m D h AD a ==⨯︒=
习题.192图
习题.202图
F 1
【2.20】一平板闸门，高H =1m ，支撑点O 距地面的高度a =0.4m ，问当左侧水深h 增至多
大时，闸门才会绕O 点自动打开。

解：当水深h 增加时，作用在平板闸门上静水压力作用点D 也在提高，当该作用点在转轴中心O 处上方时，才能使闸门打开。

本题就是求当水深h 为多大，水压力作用点恰好位于O 点处。

本题采用两种方法求解 （1）解析法：
由公式
c D c c I y y y A =+
其中 D O y y h a ==-
3311
11212c I bH H =
=⨯⨯
1A bH H H ==⨯=
2c H
y h =-
代入 3
112()2()2H
H h a h H h H -=-+
-
或者
3
11
12
0.4(0.5)(0.5)1h h h ⨯-=-+-⨯
解得 1.33m h = （2）图解法：
设闸门上缘A 点的压强为A p ，下缘B 点的压强为B p ， 则 ()A p h H γ=-
B p h γ=
静水总压力F （作用在单位宽度闸门上）12F F =+ 其中 1()A F F AB h H H γ==-
2
2111()()222B A F p p AB h h H H H γγγγ=-=-+=
F 的作用点在O 处时，对B 点取矩
1
223AB AB
F OB F F ⨯=+
故
2211()()2223H H h H H H a h H H H γγγγ⎡⎤-+=-+⎢⎥⎣⎦ 或者
111
(11)0.4(1)10.51223h h -+⨯⨯=-⨯⨯+⨯⨯
解得 1.33m h =
【2.21】如图所示，箱内充满液体，活动侧壁OA 可以绕O 点自由转动，若要使
活动侧壁恰好能贴紧箱体，U 形管的h 应为多少。

解：测压点B 处的压强B p
B p h γ=-
则A 处的压强A p
()A D B p H H p γ+-= 即 ()A
D p h H H γγ=---
设E 点处0E p =，则E 点的位置在
习题.212图
0A p AE γ+=
故
()D AE h H H =+-
设负压总压力为1F ，正压总压力为2F （单位宽度侧壁）
即 1(F 大小
11
)()()22A D D p AE h H H h H H γ=
=+-+-
211
()()22O D D F p EO H h H h γ=
=--
以上两总压力对O 点力矩之和应等于0,即
1221
()0
33F AE EO F EO -++⨯⨯=
即 22121
1()()()()()
2323D D D D D h H H h H H H h H h H h γγ⎡⎤-+-+-+-+--⎢⎥⎣⎦
0=
展开整理后得
2
3D h H H
=- 【2.22】有一矩形平板闸门，水压力经过闸门的面板传到3条水平梁上，为了使
各横梁的负荷相等，试问应分别将它们置于距自由表面多深的地方。

已知闸门高为4m ，宽6m ，水深H =3m 。

解：按题意，解答显然与闸门宽度b 无关，因此在实际计算中只需按单位
宽度计算即可。

作用在闸门上的静水压力呈三角形分布，将此压力图面积均匀地分成三块，而且此三块面积的形心位置恰巧就在这三条水平梁上，那么这就是问题的解。

AOB ∆的面积
2
12S H γ=
EOF ∆的面积 22
1111
362S S H OF γγ===
故
3331312
22=⨯==
H OF
1.732m OF ==
122
1.732 1.155m
33y OF ==⨯=
COD ∆的面积
222211
332S S H OD γγ=
==
故
222
223633OD H =
=⨯=
2.45m OD ==
要求梯形CDFE 的形心位置y 2，可对O 点取矩
2.45
2
3
221 1.7321
()d 3D F
y y y S S y y y γγ-==⎰
故23321
(2.45 1.732)3 2.11m
136y -==⨯
同理梯形ABDC 的形心位置y 3为
3
23
32 2.451
()d 3B
D
y y y S S y y y γγ-==⎰
故3
3321(3 2.45)3 2.73m
136y -==⨯
习题.222图
习题.232
图
【2.23】一直径D =0.4m 的盛水容器悬于直径为D 1=0.2m 的柱塞上。

容器自重
G =490N ，a =0.3m 。

如不计容器与柱塞间的摩擦，试求：（1）为保持容器不致下落，容器内真空压强应为多大。

（2）柱塞浸没深度h 对计算结果有无影响。

解：（1）本题只要考虑盛水容器受力平衡的问题。

设容器内自由液面处的压强为p （实质上为负压），则
柱塞下端的压强1p 为
1p p h γ=+
由于容器上顶被柱塞贯穿，容器周围是大气压，故容器上
顶和下底的压力差为2
1
14
p D π
（方向↑，实际上为吸力）
要求容器不致下落，因此以上吸力必须与容器的自重及水
的重量相平衡
即
2221
11()444p D G D a D h π
ππ
γ=+- 或者
22211()
()
4
4
p h D G D a D h π
π
γγ
+=+-
即 222
2
1
4909 8100.40.3
44
27 377Pa
0.2
4
4
G D a
p D
π
π
γπ
π
++⨯
⨯⨯=
=
=⨯
27.38kPa =（真空压强）
（2）从以上计算中可知，若能保持a 不变，则柱塞浸没
深度h 对计算结果无影响。

若随着h 的增大，导致a 的增大，则从公
式可知容器内的真空压强p 也将增大。

【2.24】如图所示一储水容器，容器壁上装有3个直径为d =0.5m 的半球形盖，设
h =2.0m ，H =2.5m ，试求作用在每个球盖上的静水压力。

习题.242图
解：对于a 盖，其压力体体积
p a
V 为
23
p 11
()2426a h V H d d ππ=--⨯
2331
(2.5 1.0)0.50.50.262m 4
12π
π=-⨯
⨯-
⨯=
p 9 8100.262 2.57kN
za a F V γ==⨯=（方向↑）
对于b 盖，其压力体体积为
p b
V
23
p 1
()2412b h V H d d ππ=++
2331
(2.5 1.0)0.50.50.720m 4
12π
π=+⨯
⨯+
⨯=
p 9 8100.7207.063kN
zb b F V γ==⨯=（方向↓）
对于c 盖，静水压力可分解成水平及铅重两个分力，其中
水平方向分力
229 810 2.50.5 4.813kN
4
4
xc F H
d π
π
γ==⨯⨯
⨯=（方向←）
铅重方向分力
3p 9 8100.50.321kN
12
zc c F V π
γ==⨯
⨯=（方向↓）
【2.25】在图示铸框中铸造半径R =50cm ，长L =120cm 及厚b =2cm 的半圆柱形铸
件。

设铸模浇口中的铁水（γFe =70 630N/m 3）面高H =90cm ，浇口尺寸为d 1=10cm ，d 2=3cm ，h =8cm ，铸框连同砂土的重量G 0=4.0t ，试问为克服铁水液压力的作用铸框上还需加多大重量G 。

解：在铸框上所需加压铁的重量和铸框连同砂土的重量之和
应等于铁水对铸模铅垂方向的压力。

铁水对铸模的作用力（铅垂方向）为z F V γ=其中V 为
22
2212()()()2
4
4
V R b LH R b L d H h R b d h
π
π
π
=+-
+-
----
22(0.50.02)0.90.52 1.22π⎡⎤
=⨯+⨯-⨯⨯-
⎢⎥⎣⎦
220.3(0.90.080.52)0.10.08
4
4
π
π
⨯⨯---
⨯⨯
30.593m =
70 6300.59341.88kN z F V γ==⨯=（方向↑）
需加压铁重量
041.8849.81 2.64kN z G F G =-=-⨯=
习题.252图
习题.262图
【2.26】容器底部圆孔用一锥形塞子塞住，如图H =4r ，h =3r ，若将重度为γ1的锥
形塞提起需力多大（容器内液体的重度为γ）。

解：塞子上顶所受静水压力1F
223
1()(4 1.5) 2.52h
F H r r r r r γπγππγ=-=-=（方向↓）
塞子侧面所受铅垂方向压力2F
2F V γ=
其中 22
222
111()()()42324242h h r h V r r H r rr r ππππ=--+++-
3
2.375r π=
32 2.375F r πγ=（方向↑）
塞子自重
2311
3
G r h r π
γπγ=
=（方向↓）
故若要提起塞子，所需的力F 为
333
1212.5 2.375F F G F r r r πγπγπγ=+-=+-
3
1(0.125)r πγγ=+
注. 圆台体积
)
(3
22Rr r R h V ++=
π
，
其中h 一圆台高，r , R —上下底半径。

【2.27】如图所示，一个漏斗倒扣在桌面上，已知h =120mm ，d =140mm ，自重
G =20N 。

试求充水高度H 为多少时，水压力将把漏斗举起而引起水从漏斗口与桌面的间隙泄出。

解：当漏斗受到水压力和重力相等时，此时为临
界状态。

习题.272图
水压力（向上）
2
1()43d F H h πγ
=-
故
2
1()43d G F H h πγ
==-
代入数据 23.140.141209 810(0.12)
43H ⨯=⨯-⨯
解得
0.172 5m H = 【2.28】一长为20m ，宽10m ，深5m 的平底船，当它浮在淡水上时的吃水为3m ，
又其重心在对称轴上距船底0.2m 的高度处。

试求该船的初稳心高及横倾 8º时的复原力矩。

习题.282
图
解：设船之长，宽，吃水分别为L,B,T
则水线面惯性矩
31
12I LB =
（取小值）
排水体积 V LBT =
13
0.20.2 1.3m
22GC T =-=-=
由公式初稳心高
3
21
12 1.312LB I B GM MC GC GC GC V LBT T =+=+=+=+
210 1.3 4.078m 123=+=⨯ （浮心在重心之上）
复原力矩
sin 9 81020103 4.078sin8M LBT GM γθ=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯︒
3 340.587kN m =⋅
【2.29】密度为ρ1的圆锥体，其轴线铅垂方向，顶点向下，试研究它浮在液面上
时的稳定性（设圆锥体中心角为2θ）。

解：圆锥体重量
2100
(tan )3W g
h h π
ρθ=
3
210tan 3
gh π
ρθ
=
)(↓
流体浮力
32b 2()
3
F g
h tg π
ρθ
=↑
当圆锥正浮时 b W F = 即
32301h h ρρ=
（a ）
圆锥体重心为G ，则
03
4OG h =
浮心为C ，则34OC h =
稳心为M 圆锥水线面惯性矩 4441tan 44I r h π
πθ==
初稳性高度 I
GM CM CG CG
V =-=-
44033
tan 3
4
()
4tan 3h h h h π
θ
πθ=--
2
03tan ()4h h h θ⎡⎤=
--⎣⎦
圆锥体能保持稳定平衡的条件是0>h
故须有20tan h h h θ>-，20(1tan )h h θ+>，
02
sec h h >θ 或者
θ2
0cos h h >
（b ）
将（a ）式代入（b ）式得
1cos 23
11
2<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θρρ
或者
3
1
122cos ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛<ρρθ
因此 当
3
1122cos ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛<ρρθ时 圆锥体是稳定平衡
当
31
122cos ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=ρρθ时 圆锥体是随偶平衡
当
3
1
122cos ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛>ρρθ时 圆锥体是不稳定平衡
【2.30】某空载船由内河出海时，吃水减少了20cm ，接着在港口装了一些货物，
习题.292图
吃水增加了15cm 。

设最初船的空载排水量为1 000t ，问该船在港口装了多少货物。

设吃水线附近船的侧面为直壁，设海水的密度为ρ=1 026kg/m 3。

解：由于船的最初排水量为1 000t ，即它的排水体积为3
1 000m ，
它未装货时，在海水中的排水体积为
3
1 000
974.66m 1.026V =
=，
按题意，在吃水线附近穿的侧壁为直壁，则吃水线附近的水
线面积为 2
1 000974.66
126.7m 0.20S -=
=
因此载货量 126.70.15 1 02619.50t 191.3W =⨯⨯==kN
【2.31】一个均质圆柱体，高H ，底半径R ,圆柱体的材料密度为600kg/m 3。

（1）将圆柱体直立地浮于水面，当R/H 大于多少时，浮体才是稳定的？
（2）将圆柱体横浮于水面，当R/H 小于多少时，浮体是稳定的？
习题.312图
解：（1）当圆柱直立时，浸没在水中的高度设为h ，如图（a ）所示
则
22
m g R h g R H ρπρπ= 即
m
h H ρρ=
式中ρ为水的密度，m ρ为圆柱体的密度
m 11()122CG H h H
ρρ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 式中G 为圆柱体重心，C 浮心，C 在G 下方 初稳心半径CM 为
I CM V =
其中
2,V R h π=
441
644I d R π
π=
=（即圆面积对某直径的惯性矩）
得 24R CM h =
当
0CM CG ->，浮体是稳定的
即
2m 1142R H h ρρ⎛⎫>- ⎪⎝⎭
整理得
0.692 8R H >==
（2）当圆柱体横浮于水面时，设被淹的圆柱截面积为A ，
深度为h ，如图（b ）所示。

则
2m gAH g R H ρρπ=
即 2
m
A R ρπρ= （a ）
或者
22
1
sin cos
222A R R θθθ=- （b ）
将（a ）（b ）代入数据得
sin 1.2θθπ=+
应用迭代法（见附录）解得 3.457 406 397θ=
该圆截面的圆心就是圆柱体的重心G ，浮心C 位置为
3cos 22d (sin )32R
c R Ay y R θθ==⎰
式中 2
2m
0.6A R R ρππρ==， 3.458 388 1198.25θ==
得 0.340 56c y R = 故
0.340 56c CG y R ==
由于浮面有两条对称轴，，面积惯性矩分别为
31112I BH =
，321
12I BH =
式中
2sin
2B R θ
=
因而初稳心半径分别为1r 及2r
其中
3
2211sin
20.087 312 3.6I BH H H r V AH R R θ
π====
3
3
22sin 20.340 56120.9I HB r R R V AH θ
π=
===
当浮体稳定时，应满足
1,r CG > 20.087 30.340 56H R R > 得 1.975
H
R >
2,r CG >
0.340 560.340 56R R ≥ 不等式恒满足
因此使圆柱体横浮时稳定应满足
1.975H R >，或者0.506R H <
第3章流体运动学
选择题：
【3.1】 用欧拉法表示流体质点的加速度a 等于：（a ）22
d d t r ；（b ）v
t ∂∂；（c ）()v v ⋅∇；
（d ）()t ∂+⋅∇∂v
v v。

解：用欧拉法表示的流体质点的加速度为
()
d d t t
∂=
=+∇∂v v
a v v （d ） 【3.2】 恒定流是：（a ）流动随时间按一定规律变化；（
b ）各空间点上的运动要
素不随时间变化；（c ）各过流断面的速度分布相同；（d ）迁移加速度为零。

解：恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间点若 流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动.
（b ）
【3.3】 一元流动限于：（a ）流线是直线；（b ）速度分布按直线变化；（c ）运
动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；（d ）运动参数不随时间变化的流动。

解：一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。

（c ）
【3.4】 均匀流是：（a ）当地加速度为零；（b ）迁移加速度为零；（c ）向心加
速度为零；（d ）合加速度为零。

解：按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度（亦称迁移加速度）这两部分组成，若变位加速度等于零，称为均匀流动 （b ）
【3.5】 无旋运动限于：（a ）流线是直线的流动；（b ）迹线是直线的流动；（c ）
微团无旋转的流动；（d ）恒定流动。

解：无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流动，或旋度等于零的流动。

（d ） 【3.6】 变直径管，直径
1320mm d =，2160mm d =，流速1 1.5m/s V =。

2V 为：
（a ）
3m/s ；（b ）4m/s ；（c ）6m/s ；（d ）9m/s 。

解：按连续性方程，
221
12
2
4
4
V d V d π
π
=，故
2
2
12123201.56m/s
160d V V d ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（c ）
【3.7】 平面流动具有流函数的条件是：（a ）理想流体；（b ）无旋流动；（c ）
具有流速势；（d ）满足连续性。

解：平面流动只要满足连续方程，则流函数是存在的。

（d ）
【3.8】恒定流动中，流体质点的加速度：（a ）等于零；（b ）等于常数；（c ）随
时间变化而变化；（d ）与时间无关。

解：所谓恒定流动（定常流动）是用欧拉法来描述的，指任意一空间点观察流体质点的物理量均不随时间而变化，但要注意的是这并不表示流体质点无加速度。

（d ）
【3.9】 在 流动中，流线和迹线重合：（a ）无旋；（b ）有旋；（c ）恒定；
（d ）非恒定。

解：对于恒定流动，流线和迹线在形式上是重合的。

（c ）
【3.10】流体微团的运动与刚体运动相比，多了一项 运动：（a ）平移；（b ）
旋转；（c ）变形；（d ）加速。

解：流体微团的运动由以下三种运动：平移、旋转、变形迭加而成。

而刚体是不变形的物体。

（c ）
【3.11】一维流动的连续性方程VA =C 成立的必要条件是：（a ）理想流体；（b ）
粘性流体；（c ）可压缩流体；（d ）不可压缩流体。

解：一维流动的连续方程VA C =成立的条件是不可压缩流体，倘若是可
ρ=（d）压缩流体，则连续方程为VA C
【3.12】流线与流线，在通常情况下：（a）能相交，也能相切；（b）仅能相交，但不能相切；（c）仅能相切，但不能相交；（d）既不能相交，也不能相
切。

解：流线和流线在通常情况下是不能相交的，除非相交点该处的速度为
零（称为驻点），但通常情况下两条流线可以相切。

（c）【3.13】欧拉法描述流体质点的运动：（a）直接；（b）间接；（c）不能；
（d）只在恒定时能。

解：欧拉法也称空间点法，它是占据某一个空间点去观察经过这一空间
点上的流体质点的物理量，因而是间接的。

而拉格朗日法（质点法）是
直接跟随质点运动观察它的物理量（b）【3.14】非恒定流动中，流线与迹线：（a）一定重合；（b）一定不重合；（c）特殊情况下可能重合；（d）一定正交。

解：对于恒定流动，流线和迹线在形式上一定重合，但对于非恒定流动，
在某些特殊情况下也可能重合，举一个简单例子，如果流体质点作直线
运动，尽管是非恒定的，但流线和迹线可能是重合。

（c）【3.15】一维流动中，“截面积大处速度小，截面积小处速度大”成立的必要条件是：（a）理想流体；（b）粘性流体；（c）可压缩流体；（d）不可压
缩流体。

解：这道题的解释同3.11题一样的。

（d）【3.16】速度势函数存在于流动中：（a）不可压缩流体；（b）平面连续；
（c）所有无旋；（d）任意平面。

解：速度势函数（速度势）存在的条件是势流（无旋流动）（c）【3.17】流体作无旋运动的特征是：（a）所有流线都是直线；（b）所有迹线都是直线；（c）任意流体元的角变形为零；（d）任意一点的涡量都为零。

解：流体作无旋运动特征是任意一点的涡量都为零。

（d）
【3.18】速度势函数和流函数同时存在的前提条件是：（a ）两维不可压缩连续运
动；（b ）两维不可压缩连续且无旋运动；（c ）三维不可压缩连续运动；（d ）三维不可压缩连续运动。

解：流函数存在条件是不可压缩流体平面流动，而速度势存在条件是无旋流动，即流动是平面势流。

（b ）
计算题
【3.19】设流体质点的轨迹方程为
123
e 1e 1t t x C t y C t z C ⎫
=--⎪
=+-⎬
⎪=⎭
其中C 1、C 2、C 3为常数。

试求（1）t=0时位于a x =，b y =，c z =处的流体质点的轨迹方程；（2）求任意流体质点的速度；（3）用Euler 法表示上面流动的速度场；（4）用Euler 法直接求加速度场和用Lagrange 法求得质点的加速度后再换算成Euler 法的加速度场，两者结果是否相同。

解：（1）以0t =， x a =，y b =，z c =代入轨迹方程，得
12311a c b c c c
=-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
故得12311c a c b c c
=+⎧⎪
=+⎨⎪=⎩
当0t =时位于(,,)a b c 流体质点的轨迹方程为
(1)e 1
(1)e 1t t
x a t y b t z c ⎧=+--⎪=++-⎨⎪=⎩
（a ）
（2）求任意质点的速度12e 1e 10t t x u c t y v c t w ∂⎧==-⎪∂⎪
∂⎪
==+⎨∂⎪
=⎪⎪
⎩
（b ）
（3）若用Euler 法表示该速度场
由（a ）式解出,,a b c ；
即 ()()111e 111e t t a x t b y t c z ⎧
=++-⎪⎪
⎪=-+-⎨⎪=⎪⎪⎩
（c ）
（a ）式对t 求导并将（c ）式代入得
(1)e 1(1)e 120t
t x u a x t t y v b y t t z w t ∂⎧==+-=+⎪∂⎪
∂⎪
==++=-+⎨∂⎪
∂⎪==⎪∂⎩ （d ）
（4）用Euler 法求加速度场
x u u u u
a u v w t x y z ∂∂∂∂=
+++∂∂∂∂
1()1x t x t =++=++
y v v v v a u v w t x y z ∂∂∂∂=
+++∂∂∂∂
1(2)1y t y t =-+-+=-+
0z w w w w a u v w t x y z ∂∂∂∂=
+++=∂∂∂∂
由（a ）式Lagrange 法求加速度场为
222222(1)e (1)e
t x t
y z x a a t y a b t z a t ⎧∂==+⎪∂⎪
∂⎪==+⎨∂⎪⎪∂==⎪∂⎩
（e ）
将（c ）式代入（e ）式 得
⎪
⎩⎪
⎨⎧=+-=++=011z y x a t y a t x a
两种结果完全相同
【3.20】已知流场中的速度分布为
u yz t v xz t w xy =+⎫
⎪
=-⎬⎪=⎭
（1）试问此流动是否恒定。

（2）求流体质点在通过场中（1,1,1）点时的
加速度。

解：
（1）由于速度场与时间t 有关，该流动为非恒定流动。

（2）
x u u u u a u v w t x y z ∂∂∂∂=
+++∂∂∂∂
)()(1xy y t xz z +-+=
y v v v v a u v w t x y z ∂∂∂∂=
+++∂∂∂∂
)()(1xy x t yz z +++-=
z w w w w a u v w t x y z ∂∂∂∂=
+++∂∂∂∂
)()(t xz x t yz y -++=
将 1,1,1x y z ===代入上式，得
⎪
⎩⎪
⎨⎧=+=-=213z y x a t a t a
【3.21】一流动的速度场为
22(1)(2)v i j x t y t =+++
试确定在t=1时通过（2,1）点的轨迹线方程和流线方程。

解：迹线微分方程为
d d d x y t u v ==
即
2d (1)d x
u x t t ==+
2d (2)d y
v y t t ==+
以上两式积分得 1
331
)1ln(c t x +=+
2
331
)2ln(c t y +=+
两式相减得 1
ln
ln 2x c y +=+
即
)21+=+c(y x
将 2=x ,1=y 代入得 1=c
故过（2,1）点的轨迹方程为 1=-y x
流线的微分方程为
d d x y u v = 即
2
2d d (1)(2)x y x t
y t =++
消去t ,两边积分得
c y x ln )2ln()1ln(++=+
或者 )21+=+c(y x 以
2=x ,1=y 代入得积分常数
1=c
故在1=t ,通过（2，1）点的流线方程为
1=-y x
【3.22】已知流动的速度分布为
2222()()u ay y x v ax y x ⎫
=-⎬
=-⎭
其中a 为常数。

（1）试求流线方程，并绘制流线图；（2）判断流动是否有旋，若无旋，则求速度势ϕ并绘制等势线。

解：对于二维流动的流线微分方程为
d d x y u v =
即
2222
d d ()()x y ay y x ax y x =--
消去 2
2
()a y x - 得 d d x x y y =
积分 得 22
1122x y c =+
或者
22x y c -=
若c 取一系列不同的数值，可得到流线族—双曲线族，它们的渐近
线为x y =如图
有关流线的指向，可由流速分布来确定。

22
22()()u ay y x v ax y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩
习题.223图
对于 0y >, 当||||y x >时，0u > 当||||y x <时，0u <
对于 0y <, 当|||y x >时，0u <
当||||y x <时，0u >
据此可画出流线的方向
判别流动是否有旋，只要判别rot v 是否为零，
2222[()][()]v u ax y x ay y x x y x y ∂∂∂∂-=---∂∂∂∂
2
2
2
2
2
2
()2()2a y x ax a y x ay =----+
2
2
220ax ay =-+≠
所以流动是有旋的，不存在速度势。

【3.23】一二维流动的速度分布为
u Ax By v Cx Dy =+⎫
⎬
=+⎭
其中A 、B 、C 、D 为常数。

（1）A 、B 、C 、D 间呈何种关系时流动才无旋；
（2）求此时流动的速度势。

解：（1）该流动要成为实际流动时，须满足div 0=v ，
即 0
u v x y ∂∂+=∂∂
或者 0,A D +=得A D =-
该流动无旋时，须满足rot 0=v ，
即 0v u
x y ∂∂-=∂∂
或者0C B -=，得C B =。