湘教版九年级下册数学 第2章 垂径定理

EO＝ OA2－AE2＝3 cm，OF＝ OC2－CF2＝4 cm，
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②， 作OE⊥AB，垂足为E，延长EO，交CD于F. 连接AO，CO. ∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD. ∵AB＝8 cm，CD＝6 cm，∴AE＝4 cm，CF＝3 cm， ∵OA＝OC＝5 cm， ∴ ∴EF＝OF＋OE＝7 cm. 答：AB和CD之间的距离为1 cm或7 cm.
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】如图，连接AB，过点P作PE⊥BO于点E，并延长EP交⊙P于点D，连接
OD，此时点D到弦OB的距离最大．∵A(8，0)，B(0，6)，∴AO＝8，BO＝6.
∵∠BOA＝90°，∴AB为⊙P的直径，且AB＝
∴⊙P的半径为5.
∵PE⊥BO，∴BE＝EO＝3，∴PE＝
湘教版九年级下
第2章 圆
*2.3 垂径定理
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新知笔记 1 这条弦；两条弧 2
1B 2B 3A
4B
5 2 13
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6D 7C 85 9 见习题 10 B
11 C 12 见习题 13 见习题 14 见习题
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1．垂径定理：垂直于弦的直径平分________，并这且条平弦分弦所对的
如图，设OC交MN于点H，连接OM.
∵OC⊥MN，MN＝5 m，∴MH＝ MN＝2.5 m.
在Rt△OMH中，OH＝
1 ＝6 m，
∵OD＝OC－CD＝6.5－4＝2.5(m)．
2
∴ME＝DH＝OH－OD＝6－2.5＝3.5(m)＜3.6 m，
∴货船不能顺利通过这座拱桥． OM2－MH2
∴ED＝PE＋PD＝9，∴tan ∠BOD＝ ＝3.
82＋62＝10，
【答案】B
52－32＝4，
ED EO
11.【中考·梧州】如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝
13 75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是( )
A．2 B．2 C．2 D．4
6
10
11
【点拨】如图，过点 O 作 OF⊥CD 于点 F，OG⊥AB 于点 G， 连接 OB，OD，OE，则 DF＝CF，AG＝BG＝12AB＝3， ∴EG＝AG－AE＝2，在 Rt△BOG 中，OG＝ OB2－BG2＝2， ∴EG＝OG，∴△EOG 是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°， OE＝ 2OG＝2 2.∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°， ∴OF＝12OE＝ 2，在 Rt△ODF 中， 【答案】C DF＝ OD2－OF2＝ 11，∴CD＝2DF＝2 11.
用锯去锯这块木材，锯口深1寸(ED＝1寸)，锯道长1尺(AB＝1尺＝10寸)， 问这块圆柱形木材的直径是多少？”请根据所学知识计算：圆柱形木材的 直径AC是( ) A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸
C
【点拨】设⊙O的半径为r.在Rt△ADO中，易知AD＝5，OD＝r－1， OA＝r，则有r2＝52＋(r－1)2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸．
6．下列说法正确的是( ) D A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心
7．【中考·乐山】《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表 了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应 用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯 道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中(如图)， 不知其大小，
1 1 在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R－CD＝R－2， 2 2 ∵OC2＋AC2＝OA2，∴(R－2)2＋42＝R2，解得R＝5，
∴OC＝5－2＝3，
∵AC＝BC，AO＝EO，∴BE＝2OC＝6.
∵AE为直径，∴∠ABE＝90°.
在Rt△BCE中，CE＝
【答案】2
13
BC2＋BE2＝ 42＋62＝2 13.
A
C．3cm D．2cm
【点拨】∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8 cm，∴CE＝ CD＝4 cm.在
Rt△OCE中，OC＝5 cm，CE＝4 cm，∴OE＝
1 ∴AE＝AO＋OE＝5＋3＝8(cm)．
2
＝3 cm，
OC中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，
即x2＝(x－4)2＋62，解得x＝6.5，
故这座拱桥所在圆的半径为6.5 m.
(2)现有一艘宽5m，船舱顶部为正方形并高出水面3.6m的货船要经过这里，此时货 船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
解：货船不能顺利通过这座拱桥．理由如下：
AE＝1，则弦CD的长是( )
A. B．2
B
C．6 D．8
7
7
【点拨】连接 OC，由题意得 OE＝OA－AE＝4－1＝3，CE＝ED ＝ OC2－OE2＝ 7，∴CD＝2 7.
3．【中考·张家界】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，
CD＝8cm，则AE的长为( )
A．8cm B．5cm
8．如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB为6m，则桥拱半径OC 为________m. 5
1 【点拨】连接OA，∵OD⊥AB，∴AD＝ AB＝3 m．在Rt△AOD中， 2 OA2＝OD2＋AD2，即OC2＝OA2＝(9－OC)2＋32，解得OC＝5 m.
9．一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一 个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距 离为8mm，求这个孔道的直径AB.
解：如图，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD. ∵钢球的直径是10 mm，∴钢球的半径是5 mm. ∵钢球顶端离孔道外端的距离为8 mm， ∴OD＝3 mm. 在Rt△AOD中，AD＝ ∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．
OA2－OD2＝ 52－32＝4(mm)，
10．【中考·荆州】如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A(8，0)，O(0，0)， B(0，6)，点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的 值是( )
︵ 12．【2021·湖州】如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD
＝30°.
AD
(1)求∠DAB的度数；
解：连接BD. ∵∠ACD＝30°，∴∠B＝∠ACD＝30°. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∴∠DAB＝90°－∠B＝60°.
(2)过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F.若AB＝4，求DF的长．
FO＝ OC2－CF2＝4 cm，OE＝ OA2－AE2＝3 cm，
14．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12m，拱顶高出水面4m. (1)求这座拱桥所在圆的半径；
解：如图，连接OA.根据题意，得CD＝4 m，AB＝12 m，
则AD＝ AB＝6 m，
1 设这座拱桥所在圆的半径为x m， 2 则OA＝OC＝x m，OD＝OC－CD＝(x－4)m，
【点拨】本题的易错点是条件中没有给出具体的图形，解题时容易忽略存 在两种情形：两条弦在圆心的同侧与两条弦在圆心的异侧．
解：①当弦AB和CD在圆心的同侧时，如图①， 作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E. ∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB. ∵AB＝8 cm，CD＝6 cm，∴AE＝4 cm，CF＝3 cm， 连接OA，OC. ∵OA＝OC＝5 cm， ∴ ∴EF＝OF－OE＝1 cm.
________________． 两条弧
2．平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧，平分弧 的直径垂直平分这条弧所对的弦．
1．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，则下列结论中一定正确的是( )
A．AE＝OE
B．CE＝DE
C. D．AO＝CD
B
A︵C＝B︵C
2．【中考·惠州】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，
解：∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝12AB＝2. ∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，∴DE＝AD·sin 60°＝ 3. 又∵AB 是⊙O 的直径，∴DF＝2DE＝2 3.
13. (易错题)已知⊙O的半径为5cm，AB，CD是⊙O的弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝ 6cm，求AB和CD之间的距离．
是( )
A．AC＝AB
B．∠C＝∠BODB
C．∠C＝∠B D．∠A＝∠BOD
1
2
5．【2021·株洲攸县期末】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交 ⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则CE的长为________．
【点拨】连接BE，设⊙O的半径为R.
∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝ AB＝ ×8＝4.