2020高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.1 构成空间几何体的基本元素练习(含解析)2

1．1．1 构成空间几何体的基本元素
知识点一平面的概念
1．下列有关平面的说法正确的是( ）
A．平行四边形是一个平面
B．任何一个平面图形都是一个平面
C．平静的太平洋面就是一个平面
D．圆和平行四边形都可以表示平面
答案D
解析我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面,故A错误；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B错误；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C错误；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D正确．
2．下列说法正确的是（)
A．水平放置的平面是大小确定的平行四边形
B．平面ABCD即平行四边形ABCD的四条边围起来的部分
C．一条直线和一个平面一定会有公共点
D．平面是光滑的，可向四周无限延展
答案D
解析平面可以用平行四边形来表示，但平行四边形只是平面的一部分，不能理解为平面,A错误；平面是一个抽象的概念,是无限延展的,没有大小、厚薄之分,B错误；直线和平面可以没有公共点，此时直线和平面平行,C错误．故选D．
知识点二
构成几何体的基本元素
3．试指出下图中各几何体的基本元素．
解（1）中几何体有6个顶点，12条棱和8个面;
（2)中几何体有12个顶点，18条棱和8个面；
（3)中几何体有6个顶点，10条棱和6个面；
(4）中几何体没有顶点和棱，有3个面．
知识点三
空间中点、线、面的位置关系
4．如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是线段C1D1，A1D1,BD1，BC的中点，给出下面四个说法：
①MN∥平面APC;
②B1Q∥平面ADD1A1；
③A，P，M三点共线；
④平面MNQ∥平面ABCD．
其中正确的序号为（)
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
答案A
解析平面APC即为平面ACC1A1，很容易看出MN与平面ACC1A1无公共点，即MN∥平面ACC1A1；同理B1Q与平面ADD1A1也没有公共点,故B1Q∥平面ADD1A1；A1，P,M三点不共线;平面MNQ 与平面ABCD是相交的，故选A．
5．把棱长为1 cm的正方体表面展开要剪开________条棱，展开成的平面图形周长为________ cm．
答案7 14
解析正方体共有12条棱，展开图中6个面相连，有5条棱相连,所以要剪开7条棱．由于正方体6个面对应的正方形的周长之和为4×6＝24（cm)，展开图中相连的棱有5条，所以展开成的平面图形周长为24－2×5＝14（cm）．
对应学生用书P1
一、选择题
1．下列说法：
①任何一个几何体都必须有点、棱和面；
②一个几何体可以没有顶点；
③一个几何体可以没有棱；
④一个几何体可以没有面．
其中正确的个数是( ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案B
解析球只有一个曲面围成,故①错误,②③正确,由于几何体是空间图形,故一定有面，④错误．
2．下列空间图形的画法中错误的是( )
答案D
解析被遮住的地方应该画成虚线（或不画）．
3．一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个空间几何图形是（）
答案C
解析正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点．故选C．
4．下图是一个正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（）
答案B
解析∵在这个正方体的展开图中与有圆的面相邻的三个面中都有一条直线，当变成正方体后,这三条直线应该互相平行,∴选B．5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱A1A既不平行也不相交的棱有( )
A．1条B．2条C．3条D．4条
答案D
解析与棱A1A平行的棱有3条，相交的有4条,故既不平行也不相交的有4条．
二、填空题
6．如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列说法正确的有________（填序号）．
①长方体的顶点一共有8个;
②线段AA1所在的直线是长方体的一条棱;
③矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面；
④长方体由六个平面围成．
答案①
解析长方体一共有8个顶点,故①正确；长方体的一条棱为线段AA1，故②错误；矩形ABCD为长方体的一个面,故③错误；长方体由六个矩形（包括它的内部）围成，故④错误．
7．一个平面将空间分成______部分，两个平面将空间分成
________部分，三个平面将空间分成________部分．
答案 2 3或4 4或6或7或8
解析
一个平面将空间分成2部分．两个平面平行时将空间分成3部分；相交时分成4部分．三个平面平行时，如图所示,将平面分成4部分；三个平面相交于同一条交线时,将空间分成6部分；当两个平面平行,第三个平面与它们相交时将空间分成6部分；当三个平面两两相交且有三条交线时,将空间分成7部分;当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，将空间分成8部分．
8．下列说法正确的是________．
(1）长方体是由六个平面围成的几何体；
(2)长方体两底面之间的棱互相平行且等长；
（3)长方体一个面上任一点到对面的距离相等；
(4）点运动的轨迹是线，一条线运动的轨迹可以是面．
答案(2）(3)（4）
解析(1）错误．因为长方体是由六个矩形(包括它的内部）围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别．(2）正确．（3）正确．（4)正确．
三、解答题
9．在下列图中添加辅助线，使它们产生立体感．
解
10．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4 cm,BC＝3 cm，BB1＝5 cm,有一只蚂蚁从A点出发沿表面爬行至C1点，它的最短行程是多少？
解欲求最短行程,必须找出蚂蚁的各种爬行路线，每条路线均需经过长方体的两个面，共有六条路线．
路线1:沿面AB1和面A1C1，如图(1);路线2：沿面AC和面DC1，
如图(2);路线3:沿面AD1和面DC1，如图（3）；路线4:沿面AB1和面BC1，如图(4）;路线5：沿面AD1和面A1C1,如图(5）；路线6：沿面AC和面BC1，如图(6）．
由长方体的性质知，路线1、路线2长度相等，为d1＝错误!＝错误!（cm）；路线3、路线4长度相等，为d2＝错误!＝错误!(cm）；路线5、路线6长度相等,为d3＝错误!＝错误!（cm)．经比较，沿路线3和路线4可得最短行程为错误!cm．。