高等数学第七章 习题答案

习题7-1
1. 下列向量的终点各构成什么图形？
（1）空间中一切单位向量归结为共同的始点；
（2）平行于同一平面的一切单位向量归结为共同的始点；
（3）平行于同一直线的所有单位向量归结为同一始点；
（4）平行于同一直线的所有向量归结为同一始点。

答：（1）单位球面 （2）单位圆 （3）两个点 （4）直线。

2． 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量,,,,,,,,OA OB OC OD OE OF AB BC ,,,CD DE EF FA 中，哪些向量是相等的？ 答：,OA EF =,OB FA =,OC AB =,OD BC =,OE CD =.OF DE =
3.平面四边形,ABCD 点,,,K L M N 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，证明：.KL NM =当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式是否仍然成立？
证明：连结AC, 则在∆BAC 中，21AC. 与方向相同；在∆DAC 中，21AC. NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝NM .当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式仍然成立。

4． 解下列各题：
（1）化简()()()()2332;x y x y -+-+-a b a b
（2）已知12312323,322,=+-=-+a e e e b e e e 求,,32+--a b a b a b.
解：（1）()()()()2332x y x y -+-+-a b a b
()()()()23322332x y x y x y x y =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦a b
()()55x y x y --+-=a b;
（2）()()123123123233225;+=+-+-+=++a b e e e e e e e e e
()()12312312323322;-=+---+=-+a b e e e e e e e +e e
()()()()123123123123323232322693644-=+---+=+---+a b e e e e e e e e e e e e 235.=+e e
5．四边形ABCD 中，2,568AB CD =-=+-a c a b c,对角线,AC BD 的中点分别是,,E F 求.EF 解：()()111156823352222
EF CD AB =+=+-+-=+-a b c a c a b c.
6． 设ABC ∆的三条边,,AB BC CA 的中点分别为,,,L M N 另O 为任意一点，证明： .OA OB OC OL OM ON ++=++
证明：（1）如果O 在ABC ∆内部（如图1），则O 把ABC ∆分成三个三角形OAB,OAC,OBC 。

又因为L,M,N 分别是BC ，CA ，AB 的中点，所以
111(),(),(),222OL OB OC OM OC OA ON OA OB =+=+=+所以
111()()()222OL OM ON OB OC OA OC OA OB OA OB OC ++=+++++=++
如果O 在△ABC 外部（如图2），同样有△OAB,△OBC,△OAC,所以
111(),(),(),222OL OB OC OM OC OA ON OA OB =+=+=+
所以.OA OB OC OL OM ON ++=++
如果O 在△ABC 某个边上，不妨设在AB 边上或延长线上（如图3），则
11(),(),22
111()()222OL OB OC OM OC OA ON OA AN OA AB OA OB OA OB OA =
+=+=+=+=+-=+ 所以.OA OB OC OL OM ON ++=++
综上所述，可知命题成立。

图1 图2 图3
7．设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 为任意一点，证明：
4.OA OB OC OD OM +++= 证明：11(),()22ON OA OC OM OB OD =+=+
12()2OM OA OB OC OD ∴=+++
4.OA OB OC OD OM ∴+++=
8． 点O 是平面正多边形
12n A A A 的中心，证明：12n OA OA OA +++=0.
证明： 1322431111121212,
,
,
,
2()()(2)(n n n n n OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA λλλλλλ-+=+=+=+=∴++=++
∴-+
+)0
2,20
n λλ=≠∴-≠ 12n OA OA OA ∴+++=0.
9． 在上题的条件下，设P 是任意一点，证明：
12.n PA PA PA nPO +++= 证明：
21=+++n OA OA OA ()()()21=-++-+-∴PA PA PA n
即
n PA PA PA n =+++ 21 10． 在平行四边形ABCD 中,
(1)设对角线AC BD ==a,b,求
,,,;AB BC CD DA (2)设边,BC CD 的中点为,,M N 且AM AN ==p,q,求,.BC CD
解：（1）()()()()
+-=-=+=--
=21,21,21,21 （2）()()
32122,21-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-= ()p q q q p AC AN CN CD +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-==2121222
11． 在ABC ∆中,设12,.AB AC ==e e
(1)设,D E 是边BC 的三等分点,将向量
,AD AE 分解为12,e e 的线性组合; (2)设AT 是A ∠的平分线(它与BC 交与T 点),试将AT 分解为12,e e 的线性组合.
解：（2）12,BT e e TC =且BT 与TC 的方向相同，
12e BT TC e ∴=, 112221121122
1e e e e e e e e AT e e e e ++∴==++ 12． 在空间直角坐标系{};,,O i j k 下，设点()()2,3,1,,,,P M a b c --分别求这两点关于坐标平面，坐标轴，坐标原点的各个对称点的坐标.
13． 已知向量,,a b c 的坐标如下:
(1)在标架
{}12;,O e e 下, {}{}{}0,1,1,0,1,1;--a =b =c = (2)在标架{}123;,,O e e e 下, {}{}{}0,1,0,1,2,3,2,0,1,-a =b =c =
求向量23-a +b c 的坐标.
解：(1){}{}{}23=01210311-+---，，，
a +
b
c {}{}
=0231203(1)5,4--+⨯-⨯-=-， (2){}{}{}23=01212,3321-+-，-1,，，0,a +b c
{}{}
023212230,023314,3,3=+-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=-，- 14． 证明：()11221122.l n n l l n l n Prj Prj Prj Prj λλλλλλ+++=+++a a a a a a 证明：根据向量射影的性质得：
()11221122l n n l l l n n Prj Prj Prj Prj λλλλλλ+++=++
+a a a a a a 1122.l l n l n Prj Prj Prj λλλ=++
+a a a 习题7-2
1.已知向量,a b 互相垂直，向量c 与,a b 的夹角都是60,且1,2,3,===a b c 计算：
（1）()2;+a b （2）()();+-a b a b （3）()()323;--a b b c （4）()2
2.+-a b c
解：（1）22222()||||145a b a ab b a b +=++=+=+=
（2）()()22143+-=-=-=-a b a b a b
（3）()()23233926--=--+a b b c ab ac b bc
23||||cos 609||||cos 602||6||||cos 6027781822
a b a c b b c =︒-︒-+︒
=--+=-
（4）()22222+-=+a b c a +4ab+4b -2ac -4bc c 222
||10163129
11
=︒︒︒+=++--+=a |+4|a ||b |cos60+4|b |-2|a ||c |cos60-4|b ||c |cos60c | 2． 证明：（1）向量a 垂直于向量()()-ab c ac b;
（2）在平面上如果1m 不平行于2m ，且()1,2,i i a m b m i ⋅=⋅=那么就有;=a b
（3）0.AB CD BC AD CA BD ⋅+⋅+⋅=
证明：（1）[]()()()()()()0a ab c ac b a ab c a ac b ac ab ab ac ⨯-=-=-=
（2）由()1,2,a m b m i i i ⋅=⋅=则()()1,2,a b m i i -⋅==0()()1,2,a b m i i -⊥= ()a b -垂直于()1,2m i i =所决定的平面，但()a b -又在()1,2m i i =所决定的平面上，所以.a b -=0
（3）0.AB CD BC AD CA BD ⋅+⋅+⋅=
3． 计算下列各题：
（1）已知等边三角形ABC 的边长为1，且,,,BC CA AB ===a b c 求
;⋅+⋅+⋅a b b c c a
（2）已知3+a b 与75-a b 垂直，且4-a b 与72-a b 垂直，求,a b 的夹角.
解：（1）|⋅+⋅+⋅︒︒+︒a b b c c a =|a ||b |cos120+|b ||c |cos120c ||a |cos120
11132222
=---=- （2）因为3+a b 与75-a b 垂直，且4-a b 与72-a b 垂直
所以3542+⨯--⨯-(a b)(7a b)=0,(a b)(7a b)=0,
即2222716150(1)73080
(2)
a a
b b a a b b ⎧+⋅-=⎨-⋅+=⎩ 得24623a b b ⋅=
所以22b a b ⋅=代入（1）得,a b a b ==即而1cos (,)2
a b a b a b ⋅∠==⋅ 4.用向量法证明下列各题:
(1)证明三角形的余弦定理
2222cos ;a b c bc A =+- (2)证明内接于半圆且以直径为一边的三角形为直角三角形.
证明：（1）设,,,AB b AB c BC a ===且||,||,||.a a b b c c ===
则,a b c =-222222
()22||||cos a b c b c b c b c b c A =-=+-⋅=+-,即 2222cos ;a b c bc A =+- (2)平行四边形ABCD 为菱形22=AB AD AB AD ⇔⇔=⇔ ()()00AB AD AB AD AC DB +⋅-=⇔+=⇔对角线互相垂直。

5．已知向量(11
2),,=a ，(010),,=b ，(0,0,1)=c ，求 （1）⋅a b ，⋅a c ，⋅b c ；（2）⨯a a ，⨯a b ，⨯a c ，⨯b c ．
解：（1）1011201a b ⋅=⨯+⨯+⨯=,1010212a c ⋅=⨯+⨯+⨯=
0010010b c ⋅=⨯+⨯+⨯=
(2)0,(2,0,1),(1,1,0),(1,0,0)a a a b a c b c ⨯=⨯=-⨯=-⨯=
6．已知向量(100),,=a ，(221),,=b ，求⋅a b ，⨯a b 及a 与b 的夹角余弦．
解：1202012a b ⋅=⨯+⨯+⨯=，(0,1,2)a b ⨯=-
2cos (,)||||3
a b a b a b ⋅∠=== 7.已知1,5,3,==⋅=a b a b 试求：
（1）;⨯a b （2）()()2;+⨯-⎡⎤⎣⎦a b a b （3）()()222.-⨯-⎡⎤⎣⎦a b b a
解：（1）3cos (,)||||5a b a b a b ⋅∠==，4sin (,)5
a b ∴∠= 4||||||sin (,)53125
a b a b a b ⨯=∠=⨯⨯= （2）[]2
222222()()[][]676a b a b a a b b a b a b +⨯-=-⨯-⨯+=+= （3）[]2
222222(2)()[22][2]a b b a a b a b b a a b a b -⨯-=⨯--+⨯=⨯++ 8．求与向量324=-+a i j k ，2=+-b i j k 都垂直的单位向量．
解：a b ⨯向量与两向量324=-+a i j k ，2=+-b i j k 都垂直，则
a b a b ⨯⨯为所要求的单位向
量。

9．如果非零向量()1,2,3i i =r 满足123231312,,,=⨯=⨯=⨯r r r r r r r r r 那么123,,r r r 是彼此垂直的单位向量，并且按上面的顺序构成右手系.
证明：由向量积的定义知123,,r r r 彼此垂直，且构成右手系. 下面证明123,,r r r 均为单位矢量. 因为 1r ＝2r ⨯3r ，2r ＝3r ⨯1r ,所以 |1|＝|2r ||3r |, |2r |＝|3r ||1|,
所以 |1r |＝|3r |2|1r |.由于 |1|≠0，从而 |3r |2＝1，|3r |＝1.同理可证 |2r |＝1，|1r |＝1。

从而123,,r r r 都是单位矢量.
10.在直角坐标系内已知三点()()()5,1,1,0,4,3,1,3,7,A B C ---试求（
1）三角形ABC 的面积；
（2）三角形ABC 的三条高线的长. 解：{}{}{}=5541,1,4,4,4,8AB BC CA --==-，，，
2222(5)(5)466,(1)
AB BC =-+-+==+=24CA ==(1)12
ABC S AB AC ∆=⨯ {}5542424
24,24,0448
i j k AB AC i j ⨯=--=-+=--- 故
ABC S
∆=
(2)AB 边上的高为
2
=ABC
S AB ∆，BC 边上的高
为
2=
3ABC
S BC ∆，CA 边上的高为2=ABC S CA
∆ 习题7-3
1.一动点移动时，与()4,0,0A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程.
解：设在给定的坐标系下，动点为(),,M x y z ,所求的轨迹为,C
则(),,,M x y z C ∈(,,)M x y z C MA z ∈⇔=
z =22(4)0x y ∴-+=。

2.空间中选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：
（1）到两定点距离之比等于定值的点的轨迹；
（2）到两定点距离之和为常数的点的轨迹方程；
（3）到两定点距离之差为常数的点的轨迹方程；
（4）到一定点和一定平面之比等于常数的点的轨迹.
解：（1）取二定点的连线为x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为m ，二定点的距离为2a ，则二定点的坐标为(,0,0),(,0,0),a a -设动点(,,)M x y z ，所求的轨迹为C ，则
(,,)M x y z C ∈⇔=
即
2222222()[()]
x a y z m x a y z -++=+++2222222(1)()2(1)(1)0m x y z a m x m a ∴-++-++-=
（2）建立坐标系如（1),但设两定点的距离为2c ，距离之和常数为2a 。

设动点(,,)M x y z ，
要求的轨迹为C ，则(,,)2M x y z C a ∈⇔=
2a =
两边平方且整理后，得：2222222222()()a c x a y a z a a c -++=- 222a c b a c >∴=-令
从而22222222
b x a y a z a b ++=
即22222222b x a y a z a b ++=
（3）建立如（2）的坐标系，设动点(,,)M x y z ,所求轨迹方程为C ，
则(,,)2M x y z C a ∈⇔=± 解得222
2221x y z a b c --=,其中222()b c a c a =-> （4）取定平面为xoy 面，并让定点在z 轴上，从而定点的坐标为(0,0,)c ,再令距离之
比为m 。

设动点(,,)M x y z ,所求的轨迹为C ，则(,,)M x y z C m z ∈⇔
=
化简得：22222(1)20x y m z cz c ++--+=
3.求下列各球面的方程：
（1）球心()2,1,3O -半径4;R =
（2）球心在原点，且经过()3,2,-3点；
（3）一条直径的两个端点是
()2,3,5-与()4,1,3-； （4）通过原点以及
()()()4,0,0,1,3,0,0,0,4.- 解：（1）()()()22221316;x x x -+++-=
（2
）球面半径为R =22222;x y z ∴++=
（2）球心坐标为2431533,1,1,222
a b c +-+-====-==球的半径为
R =所以球面方程为()()()22231121;x x x -+++-=
（3）设出球面方程的一般形式为()()()222
2x a x b x c R -+-+-=，又经过四个点，所以代入方程可得
2222
222222222222(0)(0)(0)(4)(0)(0)(1)(3)(0)(0)(0)(4)a b c R a b c R a b c R a b c R
⎧-+-+-=⎪-+-+-=⎪⎨-+-+-=⎪
⎪-+-+--=⎩ 解得22,1,2,9a b z R ===-=，所以球面方程为()()()222
229.x x x +++=--b 4． 求下列球面的球心和半径：
（1）
222682100;x y z x y z ++-+++= （2）
222363636362472950.x y z x y z ++-+--= 解：（1）原方程可化为222(3)(4)(1)16x y z -++++=故中心在（3，-4，-1），半径为R=4.
（2）原方程可化为22211()()(1)423x y z -+++-=故中心在11(,,1)23
-，半径为R=2.
5． 求下列旋转曲面的方程： （1）1211x y z -==-绕
1112x y z -==-旋转；
（2）空间曲线222,1z x x y ⎧=⎨+=⎩绕z 轴旋转.
解：（1）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过该点的纬圆为：
1222222111
z z x y z x y z =⎧⎨++=++⎩ 又1M 在母线上，所以：
1111133
x y z -==- 消去111,,x y z ，得到：
2229()10690x y z z +---=
此为所求的旋转面方程。

（2）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：
1222222111
z z x y z x y z =⎧⎨++=++⎩ 又1M 在母线上，所以
21122111
z x x y ⎧=⎨+=⎩ 消去111,,x y z ，得到：
221x y +=
211101z z x z ==≤∴≤≤
即旋转面的方程为：22
1(01)x y z +=≤≤。

6.已知柱面的准线为()()()22213225,20,x y z x y z ⎧-+++-=⎪⎨+-+=⎪⎩且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线,,x y z c ==试求这些柱面的方程.
解：（1）从方程
⎩⎨⎧=+-+=-+++-0
225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y
此即为要求的柱面方程。

（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨
⎧==c
z y
x 的直线方程为：
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=-=⇒
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=z z t y y t
x x z
z t y y t x x 0
00000 而0M 在准线上，所以
⎩⎨
⎧=+--+=-++-+--0
2225
)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232
2
2
=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。

7.求过三条平行直线,11x y z x y z ==+==-与112x y z -=+=-的圆柱面的方程.
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为 x + y + z = 0 ：它与已知直线的交点为
114
(0.0.0),(1,0,1),(,,),233--这三点所定的在平面x + y + z = 0 上的圆的圆心为
021113
(,,)151515
M -
-,圆的方程为： 2222111398()()()151515750x y z x y z ⎧
++++-=
⎪⎨⎪++=⎩
此即为欲求的圆柱面的准线。

又过准线上一点1111(,,)M x y z ，且方向为{1, 1, 1}的直线方程为：
111111
x x t x x t
y y t y y t z z t z z t
=+=-⎧⎧⎪⎪
=+⇒=-⎨⎨⎪⎪=+=-⎩⎩ 将此式代入准线方程，并消去 t 得到：
2225()211130x y z xy yz zx x y z ++---++-=
此即为所求的圆柱面的方程。

8． 已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为xOz 面与yOz 面，且过点
()1,2,6和
11,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，，求这个椭圆抛物面的方程.
解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为：
z b
y a x 222
22=+ 令确定a 与b
)6,2,1( 和)1,1,3
1
(-均在该曲面上。

∴有：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=+219112412
22
2b a b a 从而
56
1,536122
==b a
所以要求的椭圆抛物面的方程为：
z y x 25
653622=+即：z y x 531822=+。

9.试求单叶双曲面222
11645x y y +-=与平面230x z -+=的交线对xOy 平面的射影柱
面.
解：题中所设的交线为：
222
1
1645
230x y z x z ⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩
从此方程中消去z ，得到：
2220241160x y x +--=
此即为要求的射影柱面方程。

习题7-4
1.平面x C =与
2220x y x +-=的公共点组成怎样的轨迹？ 解：上述二图形的公共点的坐标满足
22220(2)
x y x y c c x c x c ⎧⎧+-==-⇒⎨
⎨==⎩⎩
从而：（Ⅰ）当0 < c < 2时，公共点的轨迹为：
y y x c x c ⎧⎧==⎪⎪
⎨
⎨
==⎪⎪⎩
⎩
及
即为两条平行轴的直线；
（Ⅱ）当c = 0时，公共点的轨迹为：
y x =⎧⎨
=⎩ 即为Z 轴 （Ⅲ）当c = 2时，公共点的轨迹为：
2
y x =⎧⎨
=⎩ 即过(2,0,0)且平行于z 轴的直线； （Ⅳ）当c > 2或c < 0时，两图形无公共点。

2．说明下面的曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？
（1）222
1664;x y z ++=（2）22241664;x y z --= （3）22
910;x y z +=（4）
22910.x y z -= 解：（1）曲面与xoy 面的交线为：
22222166464
00
x y z x y z z ⎧⎧++=+=⇒⎨
⎨==⎩⎩ 此曲线是圆心在原点，半径R = 8且处在xoy 面上的圆。

同理可求出曲面2
2
2
1664x y z ++=与yoz 面(x = 0)及zox 面( y = 0)的交线分别为：
222264
64
00
z y z x x y ⎧⎧+=+=⎨
⎨
==⎩⎩ 它们分别是中心在原点，长轴在y 轴上，且处在yoz 面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在
x 轴上，且处在zox 面上的椭圆； （4）由面2
2
2
41664x y z +-=与xoy 面(z = 0)，yoz 面(x = 0)，zox 面的交线分别为：
222222222
416644166441664
,,000x y z x y z x y z z x y ⎧⎧⎧+-=+-=+-=⎪⎨
⎨⎨===⎪⎩⎩⎩
即222222464416464
,,000x y y z x z z x y ⎧⎧⎧+=-=-=⎨⎨⎨
===⎩⎩⎩
即为中心在原点，长轴在x 轴上，且处在xoy 面上的椭圆；中心在原点，实轴在轴，且处
在yoz 面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在x 轴，且处在zox 面上的双曲线。

（5）曲面2
2
2
41664x y z --=与xoy 面(z = 0)，yoz 面(x = 0)，zox 面的交线分别为：
222222222464644166441664
,,000x y z x y z x y z z x y ⎧⎧⎧--=--=--=⎨
⎨⎨===⎩⎩⎩ 即222222-464-416641664
,,000x y y z x z z x y ⎧⎧⎧=-=-=⎨⎨⎨
===⎩⎩⎩
即为中心在原点，实轴在x 轴，且处在xoy 面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在
x 轴上，且处在zox 面上的双曲线。

（6）曲面22916x y z +=与xoy 面(z = 0)，yoz 面(x = 0)，zox 面(y = 0)的交线分别为：
222222916916916,,000x y z x y z x y z
z x y ⎧⎧⎧+=+=+=⎨
⎨⎨===⎩⎩⎩ 即22229091616,,000
x y y z x z z x y ⎧⎧⎧+===⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ 即为坐标原点，顶点在原点以z 轴为对称轴，且处在yoz 面上的抛物线，以及顶点在原点， 以z 轴为对称轴，且处在zox 面上的抛物线。

3． 把下列曲线的参数方程化为一般方程：
（1）()()2
61,1,;2x t y t t z t =+⎧⎪=+-∞<<+∞⎨⎪=⎩
（2）()3sin ,5sin ,02.4cos x t y t t z t π=⎧⎪
=≤<⎨⎪=⎩
解：（1）由方程的第三式可得：2
z
t =
，代入第一式、第二式可得 2
31
(1)2x z z y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，即231;12
x z z y z =+⎧⎪
⎨=++⎪⎩ （2）由方程的第一式、第二式、第三式，则有：
sin ,sin ,cos ,354
x y z t t t ===
从而有22
2
222
5301,916 1.
19162516
x z x y x z y z ⎧-=⎧+=⎪⎪⎪⎨⎨+=⎪⎪+=⎩⎪⎩或
4． 求空间曲线22
40,
0y z x z ⎧-=⎨+=⎩
的参数方程. 解：令2
2
2
4
,4,,z t y t x t ===-则
所以曲线的参数方程为4422-,-,2,(),-2,().x t x t y t t y t t z t z t ⎧⎧==⎪⎪
=-∞<<+∞=-∞<<+∞⎨⎨⎪⎪==⎩⎩
或
5．分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线
222
222216,0x y z x z y ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩的柱面方程． 答：略
6.求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程：
（1）220,1;x y z z x ⎧+-=⎨=+⎩（2）2232330,
10;x z yz x z y z ⎧+--+-=⎨
-+=⎩
（3）()()2222221,11 1.x y z x y z ⎧++=⎪⎨+-+-=⎪⎩
解：（1）从方程组220
1
x y z z x ⎧+-=⎨=+⎩，分别消去变量x y z 、、，得：
22(1)0z y z -+-=
亦即：2222 310......()
10......() 10......()
z y z I z x II x y x III +-+=--=+--=
（Ⅰ）是原曲线对 yoz 平面的射影柱面方程；
（Ⅱ）是原曲线对zox 平面的射影柱面方程； （Ⅲ）是原曲线对xoy 平面的射影柱面方程。

（2）按照与（1）同样的方法可得原曲线
（Ⅰ）对 yoz 平面的射影柱面方程； 10y z -+=；
（Ⅱ）对zox 平面的射影柱面方程：22
22630x z x z --+-=； （Ⅲ）对xoy 平面的射影柱面方程：2
2
22210x y x y --++=。

（3）原曲线对yoz 平面的射影柱面方程：2720y z +-=； 原曲线对zox 平面的射影柱面方程：30x z --=； 原曲线对xoy 平面的射影柱面方程：72230x y +-=。

（4）原曲线对yoz 平面的射影柱面方程：10y z +-= ； 原曲线对zox 平面的射影柱面方程：22
220x z z +-=； 原曲线对xoy 平面的射影柱面方程：2
2
220x y y +-=。

7．求曲线2220,3
y z x z ⎧+-=⎨
=⎩在xOy 面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线．
答：略
习题7-5
1.证明向量
{}
,,X Y Z =n 平行于平面0Ax By Cz D +++=的充要条件是：
0.AX BY CZ ++=
解：证法一：必要性：设}
{,,v X Y Z =平行于平面0Ax By Cz D +++=，设,M N 两
点都在平面上，且MN
v ，设,M N 的坐标分别为111222(,,),(,,),x y z x y z 则有
212121
x x y y z z X Y Z ---==
且有
1112220,(1)
0,(2)Ax By Cz D Ax By Cz D +++=+++=，由（2）-（1）得到
212121()()()0,(3)
A x x
B y y
C z z -+-+-=
令212121
...(0),x x y y z z t t X Y Z ---===≠则212121,,,
x x tX y y tY z z tZ -=-=-=
代入（3）得到()0,AX BY CZ t ++=所以0AX BY CZ ++=。

充分性：设0AX BY CZ ++= 任一平行于
}
{,,v X Y Z =的直线方程均可写成如下形式：
000000,
,x x Xt y y Yt x y z z z Zt
=+⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩其中（，，）为直线上的一点，t 为参数，则 000000
()Ax By Cz Ax By Cz AX BY CZ t Ax By Cz ++=+++++=++，
即
000()0
Ax By Cz Ax By Cz ++-++=
所以任一平行于
}
{,,v X Y Z =的直线方程均在形式如下的平面上
0,()AX BY CZ λλ+++=为参数，
而0AX BY CZ λ+++=与平面0Ax By Cz D +++=平行， 所以v 平行于平面0Ax By Cz D +++=。

证法二：此题如果在直角坐标系是十分容易的，因为这时
{}
,,A B C =n 为平面π的一
个法向量，所以向量v 平行于平面π（就是平面0Ax By Cz D +++=）的充要条件是v n ⊥，这就是0Ax By Cz D +++=。

但是在仿射坐标系下就不能如此证明了，而此时v 平行于平面π的充要条件为v 与平面π的两个方位向量共面，为此先化平面π的一般式为参数式。

因为,,A B C 不全为零，故不妨设0A ≠，所以可设平面π的参考式为：
,,
(,)D B C x u v A A A y u u v z v ⎧=---⎪⎪
=-∞<<+∞⎨⎪=⎪⎩，就得到平面的两方位向量
,1,0,,0,1,
B C a b A A ⎧⎧⎫⎫=-=-⎨⎬⎨⎬⎭⎭⎩⎩所以向量v 平行于平面π的充要条件为(,,)0v a b =，所以10001
X Y
Z B A C A
-=-,即0Ax By Cz ++=
2.求以下平面的一般方程： （1）通过点
()
12,1,1M -和
()
23,2,1M -且分别平行于三坐标轴的三个平面；
（2）与平面5230x y z +-+=垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面； （3）已知两点()()
123,1,2,4,2,1M M ---，通过
1
M 且垂直于
12
M M 的平面；
（4）过点
()13,5,1M -和
()
24,1,2M 且垂直于平面8310x y z -+-=的平面.
解：（1）设分别平行于x 轴，y 轴，z 轴的三个平面分别为：
111122223333:0,...(1):0,...(2):0,...(3)b y c z d a y c z d a y b z d πππ++=++=++=
将点
12(2,1,1),(3,2,1),
M M ---分别代入（1）（2）（3）得
111111
......(4)20b c d b c d -++=⎧⎨
-++=⎩ 22222220,
......(5)30a c d a c d ++=⎧⎨
++=⎩
23323320,
......(6)320
a b d a b d -+=⎧⎨
++=⎩
分别解（4）（5）（6）得：
111222333::0:1:(1)::0:1:(1)::1:1:(1)b c d a c d a c d =-=-=-
所以
123,,πππ的方程分别为10,10,10z z x y -=-=+-=。

设所求的通过x 轴，y 轴，z 轴的三个平面分别
123,,πππ，它们的方程为
111222333:0,:0,
:0,b y c z a x c z a y b z πππ+=+=+=，因为平面5230x y z +-+=的法向量}{5,1,2n =-，而所求平面垂直
于平面5230x y z +-+=，所以也就与n 平行，从而有
11223320,520,50,b c a c a b +=-=+=
所以
112233:2:1,:2:5,:(1):5,
b c a c a d ===-所以所求的平面方程为
123:20,:250,:50.y z x z x y πππ+=+=-+=
因为
}
{121,1,3M M =--垂直于所求平面，所以所求平面的一个法向量为
}{1,1,3,
n =--又因为平面π经过点
1(3,1,2),
M =-因此所求平面的点法式方程为：
(3)(1)3(2)0,x y z --+--=化简后得所求平面方程：
320x y z --+=
解法一：设所求平面的一般方程为0Ax By Cz D +++=，因为所求平面与平面
8310x y z -+-=垂直，所以830......(1)A B C -+=，又因为所求平面过12(3,5,1)(4,1,2)
M M -和，所以有
350......(2)420......(3)A B C D A B C D -++=⎧⎨
+++=⎩
联立（1）（2）（3）解得:::13:1:7:37A B C D =-,所以所求平面的方程为：
137370x y z -+++=
解法二：因为平面8310x y z -+-=的法向量}{11,8,3,
v =-因此平面与所求平面垂
直，所以
1v 与所求平面平行，又因为所求平面过12(3,5,1)(4,1,2)M M -和，所以所求平面
平行于
}
{121,6,1M M =，故由点位式得所求平面的方程为351
1830161
x y z -+--=，即
137370x y z -+++=。

3．求过点(001),,且与平面3421x y z ++=平行的平面方程． 解：与平面3421x y z ++=平行的平面可设为：342x y z λ++= 再将点（0,0,1）代入平面方程得：2λ= 所求平面的方程为：3422x y z ++=。

4．求通过x 轴和点(4,3,1)--的平面的方程。

解：过x 轴的平面方程可以设为y+Cz=0把点（4,-3,-1）代入解得C=-3,所以过x 轴和点（1，-1，2）的平面方程是y-3z=0.
5．求过点(111),,，且垂直于平面7x y z -+=和321250x y z +-+=的平面方程． 解：因为所求平面与两个已知平面都垂直，所以已知平面的交线的方向向量就是所求平面的法向量。

由7x y z -+=和321250x y z +-+=的交线的方向向量（10，15，5），列点法式方程得：10（x-1）+15（y-1)+5(z-1)=0整理得2x+3y+z-6=0即为所求平面方程。

6.将下列平面的一般方程化为法式方程：
（1）2530;x y z -+-=（2）10;x y -+=（3）20;x +=（4）4470.x y z -+= 解：（1）因为,03,5,2,1<-==-==D C B A 所以取法式化因子
,30
112
22=
++=
C B A λ 所以法式方程为
,030
330530230=-+-z y x
即
;010
3063015303030=-+-z y x （2）因为,01,0,1,1>==-==D C B A 所以取法式化因子
,2
2
12
22-
=++-
=C B A λ 所以平面的法式方程为
;02
22222=-+-
y x （3）因为,02,0,1>====D C B A 所以取法式化因子
,112
2
2
-=++-
=C
B A λ
所以平面的法式方程为
;02=--x
（4）因为,0,7,4,1==-==D C B A 所以取法式化因子
,91-1,911
2
22222=++-==++=
C B A C B A λλ或
所以平面的法式方程为
.09
7
94940979494=-+-=+-z y x z y x 或 7．求平行于6650x y z +++=而与3个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程． 解：因为平行于6650x y z +++=，所以法向量N=（6；1；6）
设：6（x-x0）+（y-y0）+6（z-z0）=0；跟坐标轴的交点（a ，0，0）、（0，b ，0）、（0，0，c ）。

根据截距式：x/a+y/b+z/c=1 因为体积为一个单位：1/3*abc=1 所以abc=3；（式子一）
根据向量处理：向量ab=（-a ；b ；0）；向量ac=（-a ；0；c ） 所以：ac=6；ab=1；（式子二） 联立可得：a=2；b=1/2；c=3； 所以：6（x-0）+（y-0）+6（z-3）=0；
解得：6x+y+6z-18=0；因此所求的平面方程：6x+y+6Z-18=0。

8．分别在下列条件下确定,,l m n 的值，使得 （1）(3)(1)(3)80l x m y n z -+++-+=
和(3)(9)(3)160m x n y l z ++-+--=表示同一平面；
（2）2350x my z ++-=与6620lx y z --+=表示两个平行平面； （3）310lx y z +-+=与720x y z +-=表示两个互相垂直的平面． 解：（1） 依题意，有
,16
8339133-=--=-+=+-l n n m m l
所以有
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=--=+--=-l n n m m l 362,9223
62 解方程组得 ;937,913,97===
n m l （2） 依题意，有
,6
3
62-=-=m l 所以 ;3,4=-=m l
（3） 依题意，有
,0327=+-l
所以 .7
1-=l
9．求下列平面之间的夹角： （1）110,380;x y x +-=+=
（2）236120,2270.x y z x y z -+-=++-=
解：（1）因为}{
}{,0,0,3,0,1,121==n n 所以 ,223
23cos 2121±=⋅±=⋅⋅±
=n n n n α
所以 ，
或παπ
α4
3
4==
所以两平面的夹角为
.4
3
4ππ
或 （2）因为}{}{
,2,2,1,6,3,221=-=n n 所以 ,21
8
378cos 2121±=⋅±=⋅⋅±
=n n n n α
所以 ，
或21
8
arccos 218arccos
-==παα 所以两平面的夹角为.21
8
arccos 218arccos
-==παα或 10．求点(2,1,1)到平面2240x y z +-+=的距离． 解：依题意，由点到平面的距离公式得
.3)
1(2241112222
2
2
=-+++⨯-⨯+⨯=
d
习题7-6
1.求下列直线的方程： （1）通过点
()
3,0,1A -和
()
2,5,1B -的直线方程；
（2）通过点()1,0,2M -且与两直线11111x y z -+==-和11
110x y z -+==-垂直的直线；
（3）通过点()
2,3,5M --且与平面63520x y z --+=垂直的直线.
解：（1）由
31
2350
x y z +-==+- 31550x y z +-∴
==-，即31150
x y z +-==- （2）直线的方向矢量为：{}{}{}1,1,11,1,01,1,2,-⨯-=--- 所以，直线方程为：
12112
x y z -+== （3）直线的方向矢量为：{}6,3,5-- 所以直线方程为：
235635
x y z --+==-- 2.求下列各点的坐标：
（1）在直线
188
213x y z ---==上，且与原点相距25个单位的点； （2）关于直线4120,2230x y z x y z --+=⎧⎨
+-+=⎩
与点()2,0,1P -对称的点.
解：（1）设所求的点为M (x , y , z )，则：
12883x t y t z t =+⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩
又2
2
2
2
25x y z ++=即2222
(12)(8)(83)25t t t +++++=解得62
4-7
t =或所以要求的点的坐标为：1176130
(9,12,20),(,,)777
-
-- (2)已知直线的方向矢量为：
{}{}{}1,1,42,1,-2=6,-6,3--⨯，或为{}2,-2,1,
∴过P 垂直与已知直线的平面为：2(2)2(1)0.x y z --++=
即2230,x y z -+-=该平面与已知直线的交点为()1,1,3,所以若令P ′(x , y , z )为P 的对称点，则：2011,1,3222
x y z
++-+=
==
0,2,7,x y z ∴===即(0,2,7)P '. 3．一直线与三坐标轴间的角分别为,,,αβγ证明
222
sin sin sin 2.αβγ++= 证明：依题意可知γβαcos ,cos ,cos 为该直线的方向余弦，所以有
1cos cos cos 2
2
2
=++γβα.
因为 )cos 1()cos 1()cos 1(sin sin sin 2
2
2
2
2
2
γβαγβα-+-+-=++
.
213)
cos cos (cos 3222=-=++-=γβα
4.直线方程111122220,
A x
B y
C z
D A x B y C z D +++=⎧⎨
+++=⎩的系数满足什么条件时，有（1）直线与x 轴相
交；（2）直线与x 轴平行；（3）直线与x 轴重合.
解：（1）所给直线与x 轴相交⇔ 0∃使
1
1
1012021222
000(,0)A D A x D A x D A A A D +=+=⇔
=且不全 （2）∵x 轴与平面11110A x B y C z D +++=平行
11111+0+0=0=0A B C A ∴⋅⋅⋅⇒
又 x 轴与平面22220A x B y C z D +++=平行，
12221+0+0=0=0A B C A ∴⋅⋅⋅⇒
即 120A A ==，但直线不与x 轴重合 ∴12,D D 不全为0。

（3）参照（2）有120A A ==，且120D D == 5.求下列每对直线的夹角：
（1）125362x y z -++==与31
;296x y z -+==
（2）3420,220x y z x y z --=⎧⎨+-=⎩与4620,320.x y z y z +--=⎧⎨-+=⎩
解：（1） ;77
72
692263629623cos 2
22222±
=++⋅++⨯+⨯+⨯±
=θ (3)因为直线⎩⎨
⎧=-+=--0220
243z y x z y x 的方向为
,11:2:101
24
3:2232:2124::111=------=
Z Y X
直线⎩⎨
⎧=+-=--+0
230
264z y z y x 的方向为
,4:12:31
01
4:0346:3161::222=----=
Z Y X
所以 .195
98412311210411122310cos 2
22222±=++⋅++⨯+⨯+⨯±
=θ 6.求一直线过点()2,1,0P 且与直线
525
322x y z -+==-垂直相交的直线. 解：设所求直线方程为
,12Z
z Y y X x =-=- 依题意，有
,0223=-+Z Y X ①
,022325
00152=-+--=
∆Z
Y
X
即 ,096952=+-Z Y X ② 联立①，②得
69
522
3:
52932:96922
::----=Z Y X 311,:131:120 =
所以所求直线方程为
.311
13111202z
y x =-=- 7．判别下列各对直线的位置关系，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦．
（1）2203260x y z ,x y -+=⎧⎨+-=⎩与2110,
2140 ;
x y z x z +--=⎧⎨+-=⎩
（2）
212x t,
y t ,z t =⎧⎪
=+⎨⎪=--⎩
与
142
475x y z --+==-． 解： （1）直线⎩
⎨⎧=-+=+-06230
22y x z y x 的方向为
8:6:)4(2
321:3012:0222::111-=--=Z Y X
,4:3:)2(-=
令0=x 则有,3,3==z y 故)3,3,0(),,(111=z y x 是直线上的一点，而直线
⎩⎨
⎧=-+=--+0
1420
112z x z y x 的方向为 ),4(:)3(:20
22
1:2111:1012::222--=--=
Z Y X
令0=z ，则,2,7==y x 所以)0,2,7(),,(222=z y x 为此直线上的点.
,04
3
2
432
30327=-----=∆
且)(:)(:)(::::121212222111z z y y x x Z Y X Z Y X ---≠=所以两直线平行.
可设所求平面方程为.0)3()3(=-+-+z C y B AX 因为点)0,2,7(在所求平面上，且
}{111,,Z Y X 与所求平面平行，所以有
⎩⎨⎧=++-=--0
432,
037C B A C B A )2()1(
联立（1），（2）解得
,19:)22(:5::-=C B A
所以所求平面方程为 ,0)3(19)3(225=-+--z y x
即 .0919225=++-z y x
（2） 直线⎪⎩
⎪
⎨⎧--=+==2
12t z t y t
x 的标准方程为,12211-+=-=z y x
所以 ),5(:7:4::),1(:2:1::222111-=-=Z Y X Z Y X ),2,4,1(),,(),2,1,0(),,(222111-=-=z y x z y x
所以 ,05
741210
3
1=--=∆
而且222111::::Z Y X Z Y X ≠ 所以两直线相交.
所求平面的坐标式参数方程为
⎪⎩
⎪
⎨⎧---=++=+=v u z v u y v
u x 52,7214 )3()2()1( )3()2(3)1(+-⨯得
,33-=+-z y x 所以所求平面方程为
.033=++-z y x
8.判断下列直线与平面的位置关系：
（1）
34273x y z
-+==--与4223;x y z --= （2）53250,210
x y z x y z -+-=⎧⎨
---=⎩与43770x y z -+-=；
解：(1)
(2)4(7)(2)3(2)0,-⨯+-⨯-+⨯-=
而43-2(4)203170,⨯⨯--⨯-=≠ 所以，直线与平面平行。

（3）直线的方向矢量为：{}{}{}5,3,22,1,15,9,1,-⨯--=
4539710,⨯-⨯+⨯=
而点M (−2,−5,0)在直线上，又4× (−2) − 3× (−5) − 7 = 0， 所以，直线在平面上。

9．设直线与三坐标平面的交角为,,,λμυ证明：
222
cos cos cos 2.λμυ++=
证明：依题意可知υμλcos ,cos ,cos 为该直线的方向余弦，所以有
1cos cos cos 2
2
2
=++υμλ.
因为)cos 1()cos 1()cos 1(sin sin sin 2
2
2
2
2
2
υμλυμλ-+-+-=++
.
213)
cos cos (cos 3222=-=++-=υμλ
10．求点(2,3,1)p -到直线2230322170x y z ,x y z -++=⎧⎨
-++=⎩的距离．
解：直线的标准方程为：
1125
212
x y z -+==
- 所以，p 到直线的距离为：
45
153
d =
=
==。

11．设0M 是直线L 外一点，M 是直线L 上一点，且直线的方向向量为s ，试证：点0
M 到直线L 的距离为
0|M M |
d ||−−→
⨯=
s s ．
证明：在空间直角坐标系下，给定空间一点),,(0000z y x M 与直线 L ：
.1
11Z
z z Y y y X x x -=-=- 这里已知),,(z y x M 为直线L 上的一点，
}{Z Y X s ,,=为直线L 上的方向向量.我们考虑以s 和向量0MM
为两边构成平行四边形，这个平行四边形的面积等于
s ,显然点0M 到
L 的距离d 就是这平行四边形的对应于以s 为底的高，因此我们有
d =
12．试验证直线l ：11
112x y z --==
-与平面230x y z +--=相交，并求出它的交点和夹角．
解：
2(1)111230⨯-+⨯-⨯=-≠
∴直线与平面相交。

又直线的坐标式参数方程为：
112x t y t z t =-⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩
设交点处对应的参数为0t ，
0002()(1)(12)30t t t ∴⨯-++-+-= 01t ∴=-
从而交点为（1，0，-1）。

又设直线 l 与平面π 的交角为θ
，则：
1
sin ,2
θ=
=
6
π
θ∴=
13．求直线1010
x y z x y z +--=⎧⎨
-++=⎩，在平面0x y z ++=上的投影直线的方程．
解：略
14．请用异于本章第五节例7的方法来推导点到平面的距离公式. 解：略
复习题A
1．在平行四边形A B C D 中，设AB AD ==a,b 试用a 和b 表示向量
,,,,M A M B M C M D 其中
M 是平行四边形对角线的交点．
解：如图：
()()11
,,22
MA MB =-+=-a b a b ()()11,.22
MC MD =
+=--a b a b 2．求与向量()1,5,6a =，模为10的向量b 的坐标表达式． 解：()0
11,5,6,a =
a ())101,5,61,5,6.±=±
b =a 3．已知向量6410,349,=-+=+-a i j k b i j k 试求： （1）2;+a b （2）32-a b. 解：略
4．已知两点(
)
(),3,0,4,A B 求向量AB 的模、方向余弦和方向角．
解：由两点坐标知{}
1,1AB =-，则12AB =+=；
方向余弦11cos ,cos ;222
αβγ==-=- 方向角32,,.3
43
π
ππ
αβγ=
=
= 5．已知3点()()()1,0,0,3,1,1,2,0,1,A B C 求：
（1）BC 与CA 及其模；（2）BC 的方向余弦、方向角；（3）与BC 同向的单位向量． 解：略
6．一个向量AB 的终点坐标为()2,1,4,B --它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为3，-3和8，求这向量起点A 的坐标．
答：略
7．已知向量()()()1,1,2,0,1,0,0,0,1===a b c 求：（1）⋅a b ，⋅a c ，⋅b c ；（2）⨯a a ，
⨯a b ，⨯a c ，⨯b c ．
解：略
8．已知
π
5,2,(,)3∧
===
a b a b ，求23a b -．
9．证明下列问题：
（1）证明向量(101),,=a 与向量(-111)
,,=b 垂直； （2）证明向量c 与向量()()a c b b c a ⋅-⋅垂直．
10．已知向量23,3=-+=-+a i j k b i j k 和2=-c i j ，计算下列各式：
（1）()()⋅-⋅a b c a c b ； （2）()()+⨯+a b b c ； （3）()⨯⋅a b c ； （4）⨯⨯a b c ． 11．已知(1,2,3)A ，(2,1,4)B -，求线段AB 的垂直平分面的方程．
12．一动点移动时，与(4,0,0)A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程． 13．求下列各球面的方程：
（1）圆心(2,1,3)-，半径为6R =； （2）圆心在原点，且经过点(6,2,3)-； （3）一条直径的两端点是(23,5)-与(4,1,3)-； （4）通过原点与(4,0,0)，(1,3,0)，(0,0,4)-．
14．将y O z 坐标面上的抛物线2
2y z =绕z 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．15．画
出下列曲线在第一卦限内的图形
（1）
1,
2 ;
x y =⎧⎨
=⎩ （2
）0 ;z x y ⎧⎪⎨-=⎪⎩ （3）2222
22,
.x y a x z a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
16．分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线
222
222216,0x y z x z y ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩的柱面方程． 17．求螺旋线
cos ,
sin ,x a y a z b θθθ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
在3个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程．
18．指出下列方程所表示的曲线.
（1）22225,3;x y z x ⎧++=⎨=⎩（2）2224930,1;x y z z ⎧++=⎨=⎩
（3）222425,3;x y z x ⎧-+=⎨=-⎩
（4）2
2
480,4;y z x y ⎧+-+=⎨=⎩ （5）221,94
20.
y z x ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩
19．写出过点0(1,2,3)M 且以(2,2,1)=n 为法线向量的平面方程． 20．求过三点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C 的平面方程． 解：略
21．求过点(001),,且与平面3421x y z ++=平行的平面方程． 解：略
22．求通过x 轴和点(4,3,1)--的平面的方程．
23．求过点(111),,，且垂直于平面7x y z -+=和321250x y z +-+=的平面方程． 24．分别在下列条件下确定,,l m n 的值，使得 （1）(3)(1)(3)80l x m y n z -+++-+=
和(3)(9)(3)160m x n y l z ++-+--=表示同一平面；
（2）2350x my z ++-=与6620lx y z --+=表示两个平行平面； （3）310lx y z +-+=与720x y z +-=表示两个互相垂直的平面． 25．求下列各直线的方程：
（1）过点(1,1,1)且与直线
123
234x y z ---==平行的直线； （2）通过点(1,5,3)M -且与x,y,z 3轴分别成6045120,,︒︒︒
的直线；
（3）一直线过点(2,3,4)A -，且和y 轴垂直相交，求其方程；
26．判别下列各对直线的位置关系，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦．
（1）2203260x y z ,x y -+=⎧⎨+-=⎩与2110,2140 ;x y z x z +--=⎧⎨+-=⎩
（2）212x t,y t ,
z t =⎧⎪=+⎨⎪=--⎩与
142475x y z --+==-． 27．确定l,m 的值，使：
（1）直线
12431x y z -+==与平面3510lx y z +-+=平行； （2）直线224531x t ,y t ,
z t =+⎧⎪=--⎨⎪=-⎩与平面670lx my z ++-=垂直．
28．求下列各平面的方程：
（1）通过点(2,0,1)p -，且又通过直线
12213x y z +-==-的平面； （2）通过直线2311
51x y z -++==--且与直线230250x y z ,x y z ---=⎧⎨+--=⎩平行的平面； （3）通过直线
122232x y z -+-==-且与平面3250x y z +--=垂直的平面； （4）求过点(2,1,0)M 与直线23,35,
x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩垂直的平面方程．
复习题B
1．求起点为(1,2,1)A ，终点为(19,18,1)B --的向量AB −−→与12AB -的坐标表达式． 2．已知点(,,)A a b c ，求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）．
3．求点(2,5,4)P -到原点、各坐标轴和各坐标面的距离．
4．求证以1(4,3,1)M 、2(7,1,2)M 、3(5,2,3)M 3点为顶点的三角形是一个等腰三角形．
5．在yOz 坐标面上，求与三个点(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)A B C --等距离的点的坐标．
6．z 轴上，求与点(4,1,7)-A ，点(3,5,2)-B 等距离的点．
7．设23=++m i j k ，23=+-n i j k ，34=-+p i j k ，求向量23=+-a m n p 在x 轴上的投影和在y 轴上的分向量．
8．设有三个力12=-F i k ，2234=-+F i j k ，3=+F j k 作用于同一质点，求合力的大小和方向角．
9．求与=++a i j k 平行且满足1⋅=a x 的向量x ．
10．求与向量324=-+a i j k ，2=+-b i j k 都垂直的单位向量．
11．在顶点为(1,-1,2)A 、(5,-6,2)B 和(1,3,-1)C 的三角形中，求三角形ABC 的面积以及AC 边上的高BD ．
12．已知向量2222, , ||||||().≠≠⨯=-⋅00证明a b a b a b a b
13．证明：如果++=0a b c ，那么⨯=⨯=⨯b c c a a b ，并说明它的几何意义．
14． 由椭球面222
2221x y y a b c ++=的中心，引三条两两互相垂直的射线，分别交曲面于
点123,,,P P P 设112233,,,OP r OP r OP r ===求证：
222222123111111.r r r a b c ++=++
15．将zOx 坐标面上的双曲线22
221x z a c -=分别绕x 轴和z 轴旋转一周，求所生成的旋转
曲面的方程．
16．指出下列曲面的名称，并作图：
（1）22
149x z +=； （2）22y z =； （3）221x z += ；
（4）22220x y z x ++-=；（5）222y x z +=；（6）22441x y z -+=；
（7）22
1916x y z ++=； （8）222149x y z -+=-；
（9）2221433x y z ++=；
（10）2222213x y z +=+． 17．说明下列旋转曲面是怎样形成的？
（1）222
1499x y z ++=；
（2）222 1 ;4y x z -+= （3）2221x y z --=； （4）222()z a x y -=+.
18．画出下列各曲面所围立体的图形：。