概率论与数理统计(22)

D
(n
1)S
2
2
2(n
1)
D(S
2)
2 4
n 1
由切比雪夫不等式， 0
0 P{ S 2 E(S 2 ) } P{ S 2 2 }
21
1
2
D(S 2)
2 4 2 (n 1)
n 0
OK!
JINSW
§７．３区间估计
本科 22
参数的点估计，它是用样本算出的一个值去
估计未知参数。即点估计值仅仅是未知参数的一
n
n i 1
X i )
1 n2
n i 1
D(Xi )
2
n
D( X i ) 2 (i 1,2,, n)
X 较 X i (i 1,2,, n) 更有效。
11
JINSW
＊例４：设总体Ｘ在区间[0, ] 上服从均匀分布本，科 22
X1, X 2,, X n 是取自总体Ｘ的简单随机样本，
X
1 n
n i 1
dD(Z ) da
4
4
2a
n1
1
2(1 a)
n2 1
0
a n1 1 n1 n2 2
17
JINSW
D(Z ) [a2 /(n1 1) (1 a)2 /(n2 1)] 2 4
本科 22
dD(Z ) da
4
4
2a
n1
1
2(1 a)
n2 1
0
a n1 1 n1 n2 2
d
估计量。
5
JINSW
＊例１：设总体 X ~ N (0, 2 ) ， X1, X 2 ,, X n 是本22科
来自这一总体的样本。（１）证明ˆ 2
1 n
n i 1
X
2 i
是
2 的无偏估计；（２）求 D(ˆ 2 ) 。
解：E(ˆ 2 )
1 n
n i 1
E
(
X
2 i
)
1 n
n i 1
D(Xi )
E(ˆ) , 则称ˆ 为 的无偏估计量。
在科学技术中，称 E(ˆ 为用ˆ 估计 而产
生的系统误差。
无偏性是对估计量的一个常见而重要的要 求，其实际意义是指估计量没有系统偏差，只有 随机偏差。
4
JINSW
如：用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法本22科 说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随
无偏性；有效性；相合性（一致性）。
＊注：
评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次
试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量。因
为估计量是样本的函数，是随机变量，由不同的
观测结果，就会求得不同的参数估计值。
3
JINSW
１．无偏性
本科 22
▲定义１：
设 ˆ( X1,, X n ) 是未知参数 的估计量，若
a
b
1
E
(Z
)
E (aS12
bS
2 2
)
16
aE
(
S12
)
bE
(
S
2 2
)
2
JINSW
D(S12 ) 2 4 /(n1 1) D(S22 ) 2 4 /(n2 1本)22科
a b 1 E(Z ) 2－－－－无偏
a
b
1
D(Z
)
D(aS12
bS
2 2
)
[a2 /(n1 1) b2 /(n2 1)] 2 4 [a2 /(n1 1) (1 a)2 /(n2 1)] 2 4
Xi,
X (n)
max(X1,, X n ) 。求常数
a, b, 使ˆ1 aX ,ˆ2 bX (n) 均为 的无偏估计，并
比较其有效性。
X~ 解： 0 x 0
f
(x)
1 / 0
0 x
other
F (x) x / 0 x 1 x
E(X ) / 2 D( X ) 2 /12
12
称ˆ1 较ˆ2 有效。
注：数理统计中常用到最小方差无偏估计：设
X1,, X n 是 取 自 总 体 Ｘ 的 一 个 样 本 ，
ˆ( X1,, X n ) 是未知参数 的一个估计量，若ˆ 满足：E(ˆ) ；D(ˆ) D(ˆ＊), ˆ＊ 是 的任一
10 无偏估计，则称ˆ 为 的最小方差无偏估计。
JINSW
i 1
f(n
E(
)( X
x)
(n)
n[F (x)]n1
)
0
nx n
n
dx
f
( x)
n n 1
nx n 1
0 xn1
n
/
n 0x
other
n
n 1
13 0
f(n)
(x)
nx 0
n 1
/
n
0 x
other
E
(
X
2 (n
)
)
nxn1 dx n 2
0 n
n2
D( X (n) )
(n
n 2
＊例３：设
X
1
,
X
2
,,
X
n
为来自总体Ｘ的样本本，科 22
X ， X i (i 1,2,, n) 均为总体均值 E( X ) 的无
偏估计量，问哪一个估计量有效？
解：E( X ) E( X i ) (i 1,2,, n)
X ， X i 均为总体均值 的无偏估计量；
D( X ) D(1
2)
2
3n
D (ˆ1 )
a
2, b
n 1 n
时，ˆ1
aX
,ˆ2
bX (n)
均为
的无偏估计，ˆ2 bX (n) 较ˆ1 aX 有效。
15
JINSW
＊例５：设分别自总体 N (1, 2 ) 和 N (2 , 2 ) 中本22科
抽取容量为 n1, n2 的两独立样本。其样本方差分别
为 S12 , S22 。 试 证 ， 对 于 任 意 常 数
包含 的真值。
２．置信区间 ( , ) 也是对未知参数 的一种估
计，区间的长度意味着误差，故区间估计与点估 计是互补的两种参数估计。
３．置信度与估计精度是一对矛盾。置信度1 越 大，置信区间 ( , ) 包含 的真值的概率就越大，
但区间 ( , ) 的长度就越大，对未知参数 的估计
精度就越差。一般准则是：在保证置信度的条件下
的估计显然更有实用价值。
22
JINSW
一．区间估计问题
本科 22
▲定义：
设 为总体分布的未知参数，X1, X 2 ,, X n
是取自总体Ｘ的一个样本，对给定的数
1 (0 1) ， 若 存 在 统 计 量
( X1, X 2 ,, X n ), ( X1, X 2 ,, X n ), 使得 P{ } 1 , 则称随机区间 ( , )
2)(n
1) 2
E (ˆ2
)
bE (
X
(n)
)
b n
n 1
E(ˆ2 )
b
n 1 n
JINSW
E(X(n))
n本22科
n 1
14
JINSW
D(X (n) )
(n
n 2
2)(n
1) 2
b n1 n
本科 22
D(ˆ2 )
b2D(X (n)
)
n 12 n
(n
n 2
2)(n
1) 2
2
n(n
尽可能提高估计精度。
25
JINSW
＊例１：设总体
X
~
N (, 2 ), 2
为已知，
为本未科 22
知，设 X1, X 2 ,, X n 是来自Ｘ的样本，求 的置信
水平为1 的置信区间。
解：X / n
~ N (0,1)
P
X
/
n
u / 2 1
PX
(i 1, n)
且相互独立，则
n
i 1
X
2 i
2
~
2 (n)
D(ˆ 2 ) D 1
n
n i 1
X
2 i
4
n2
D
n i 1
X
2 i
2
4
n2
2n
2
n
4
7
JINSW
＊例２：设 X1, X 2 ,, X n 是总体 N (, 2 ) 的一个本简 22科
nn
单随机样本。求 k 使ˆ k | X i X j | 为 的无 i 1 j 1
JINSW 本科 22
立信会计学院
数数统统系系
1
JINSW 本科 22
概率论与 数理统计
２２
Jinsw 2
JINSW
§７．２估计量的评选标准
本科 22
＊述：
参数点估计的概念相当宽松，对同一参数，
可用不同的方法来估计，因而得到不同的估计
量，故有必要建立一些评价估计量好坏的标准。
估计量的评价一般有三条标准：
为 的1 双侧置信区间，称1 为置信度，
又分别称 与 为 的双侧置信下限与双侧置信
上限。
23
JINSW
＊注：
本科 22
１．置信度1 的含义：在随机抽样中，若重复
抽样多次，得到样本 X1, X 2 ,, X n 的多个样本值
(x1, x2 ,, xn ) ，对应每个样本值都确定了一个置
信区间 ( , ) ，每个这样的区间要么包含了 的真
j)
k
2n(n 1)
n
E(ˆ ) k
i 1
n
E( Xi
j 1
Xj
) kn(n 1)
2
当 k
2n(n 1)
时，ˆ
n
k
i 1
n
|
j 1
Xi
X
j
|
是
的无偏估计。
9
JINSW
２．有效性
本科
22
▲定义２：
设ˆ1 ˆ1( X1,, X n ) 和ˆ2 ˆ2 ( X1,, X n )
都是参数 的无偏估计量，若 D(ˆ1) D(ˆ2 ) ，则
机地在０的周围波动，对同一统计问题大量
重要使用不会产生系统偏差。
▲定理１：
设 X1,, X n 为取自总体Ｘ的样本，总体Ｘ的
均值为 ，方差为 2 。则
（１）样本均值 X 是 的无偏估计量；
（２）样本方差 S 2 是 2 的无偏估计量；
（３）样本二阶中心矩 1 n
n i1
(Xi
X )2
是 2
的有偏
JINSW
X
~
f
(x)
1 / 0
0 x
other
E( X ) / 2 本科 22
D( X ) 2 /12
E(ˆ1) aE( X ) a / 2 E(ˆ1) a 2
D(ˆ1) D(2 X ) 4D( X ) 4 2 /(12n) 2 /(3n) n
F(n) (x) P{X (n) x} P{X i x} [F (x)]n
2 D(Z ) da 2
2
4
2 n1 1
2 n2
1
0
极小
Z
(n1
1)S12
(n2
1)S
2 2
n1 n2 2
Def
S
2 w
是
2 的最
佳无偏估计。
18
JINSW
３．相合性（一致性）
本科
22
一般不仅希望一个估计量是无偏的，并且具
有较小的方差，还希望当样本容量无限增大时，
估计量能在某种意义下任意接近未知参数的真
值，由此引入相合性（一致性）的评价标准。
▲定义３：
设 ˆ ˆ( X1,, X n ) 为 未 知 参 数 的 估 计 量，若 ˆ 依概率收敛于 ，即对任意 0 ，有
lim P{|ˆ | } 1, 或 lim P{|ˆ | } 0,
n
n
19 则称ˆ 为 的（弱）相合（一致）估计量。
JINSW
值，要么不包含 的真值。
根据伯努利大数定理，当抽样次数充分大时，
这些区间中包含 的真值的频率接近于置信度（即
概率）1 ，即在这些区间中包含 的真值的区
间大约有100(1 )% 个，不包含 的真值的区间
大约有100 % 个。
24
JINSW
如：令1 0.95 ，重复抽样１００次，则其中本2大2科 约有９５个区间包含 的真值，大约有５个区间不
偏估计。
解： X i X j ~ N (0,2 2 ) (i j)
E( X i X j )
x
1
x2
e 4 2 dx
2 2 2
2
x
e
x2
4 2
dx
2
x2
e 4 2
2
2 0
0
8
JINSW
X i X j ~ N (0,2 2 ) (i j)
本科 22
E(
Xi
X
j
)
2
E( X i X j ) 0 (i
＊例６：设
X1,,
X
n
是取自总体Ｘ的样本，且本科 22
D( X k ) 存在，k
1,2,, n. 则
1 n
n i1
X
k i
为 E(X k ) 的
相合估计量， k 1,2,, n 。
解：令
Y Xk
Yi
X
k i
Y
1 n
n
Yi
i 1
1 n
n i 1
X
k i
E(Yi ) E(Y ) E( X k )
1 n 2 2
n
ˆ 2
1 n
n i 1
X
2 i
是 2 的无偏估计；
6
JINSW
＊例１：设总体 X ~ N (0, 2 ) ， x1, x2 ,, xn 是来本自22科
这一总体的样本。（１）证明 ˆ
2
1 n
n i 1
xi2
是
2
的
无偏估计；（２）求 D(ˆ 2 ) 。
解： X i
~ N (0,1)
由辛钦大数定律
1 lim P{ n n
n
Yi E(Y )
i 1
}
20
1 lim P{ n n
n i 1
X
k i
E(X k )
}1
OK!
JINSW
＊例７：设总体
X
~
N(, 2) ，
X1,, Xn
为其样本科 22
本。试证样本方差 S 2 是 2 的相合估计量。
解：E(S 2 ) 2 (n 1)S 2 / 2 ~ 2 (n 1)
个近似值，它没有给出这个近似值的误差范围。
如：在估计某湖泊中鱼的数量的问题中，若根据 一个实际样本，利用最大似然估计法估计出鱼的 数量为５００００条，这种估计结果使用起来把 握不大。实际上，鱼的数量的真值可能大于５０ ０００条，也可能小于５００００条。
若能给出一个估计区间，让我们能较大把握
地相信鱼的数量的真值被含在这个区间内，这样
a, b(a b 1), Z aS12 bS22 都是 2 的无偏估
计，并确定常数 a,b 使 D(Z ) 达到最小。
解：E(S12 ) 2 (n1 1)S12 / 2 ~ 2 (n1 1)