2023-2024学年上海市静安区八年级(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列事件中，是必然事件的是( )A. 购买一张彩票，中奖
B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D. 任意画一个凸多边形，其外角和是360°
2.一次函数y =2x−1的图象不经过( )A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.下列方程有实数根的是( )A. x 4+2=0
B.
x 2−2=−1
C. x 2+2x−1=0
D. x x−1=1
x−1
4.下列说法中，正确的是( )A. 平行向量的方向相同 B. 方向相反的向量是相反向量C. 平行向量的方向相反
D. 方向相反的向量是平行向量
5.已知四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =90°，如果只添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是( )A. AB =CD B. AC =BD C. AB =AD
D. AC 与BD 互相平分
6.把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为点E ，边EC 交边AD 于点G.联结ED(如图所示).当BC = 2AB 时，下列结论中，不正确的是( )
A. △AEG ≌△CDG
B. ED//AC
C. AG =3GD
D. S △ABC =3S △AEG
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

7.已知函数关系式：y =
x−1，则自变量x 的取值范围是______．
8.直线y =x−1的截距是______．9.方程x 3−8=0的解是______．
10.如果关于x 的方程ax =3有实数解，那么常数a 的取值范围是______．
11.已知方程x 2+4x −4x x 2+4
=2，如果设x 2+4x =y ，那么原方程变形为关于y 的整式方程是______．
12.化简：AB+BC−AC=______．
13.一个多边形的每一个外角都等于36°，那么这个多边形的内角和是______°.
14.在1，2，3这三个数中，随机选取两个数，它们的和是偶数的概率是______．
15.梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=4，AD=2，CD=5，这个梯形的中位线的长度为
______．
16.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，交边DC于点E，BF平分
∠ABC，交边DC于点F，如果BC=3，EF=2，那么DC=______．
17.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，B、C、E三点共线，点G在CD上，
BC=3，CE=1，M是AF的中点，那么CM的长是______．
18.如果一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图象的“等值点”，比如：点(−1,−1)是函数y=2x+1图象上的“等值点”．
已知点A(1,0)，点B是函数y=−x+2图象上的“等值点”，点C是函数y=2x−10图象上的“等值点”，如果四边形ABCD是等腰梯形，那么点D的坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题6分)
解无理方程：3−2x−3=x．
20.(本小题6分)
解方程组：{x+y=6
x2−3xy+2y2=0
21.(本小题6分)
x+6，完成下列问题：
已知一次函数y=2
3
(1)求在这个函数图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围；
(2)求经过点(−2,−4)，且平行于直线y=2
x+6的一次函数的解析式．
3
22.(本小题8分)
某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本y(万元)与销售车辆x(辆)之间的关系如
图所示．
(1)求y关于x的函数解析式；(不写定义域)
(2)如果该店每月的销售收入w(万元)与销售车辆x(辆)之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等．
①求w关于x的函数解析式；(不写定义域)
②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？
(净利润=销售收入−销售成本)
23.(本小题10分)
某工厂接到制作2000件物理实验模型的加工订单，为了尽快完成任务，工厂对原加工计划进行了调整，经测算，如果平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务．
(1)求工厂原计划每天加工物理实验模型的件数；
(2)在生产模型的过程中，检验员会在一段时间内先后对多个批次的模型合格情况进行抽查，目的是估计产品的报废率，及时调整生产数量与进度，满足客户需求.下表是检验员对该物理实验模型产品抽查过程中的数据统计：
抽取模型数累计m(件)50100150200250300400
报废模型数累计n(件)0345568
模型报废的频率n
m
(精确到0.001)00.030.0270.0250.020.020.02
请估计这批物理实验模型成品的报废率约为______(精确到0.01)；结合你的估计帮助工厂计算，至少还需生产______件产品才能完成订单的需求．
24.(本小题8分)
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，过点A作AE//BC，且AE=1
2
BC，联结EC．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)联结BE，如果∠CBE=30°，EC=3，求点A到直线BE的距离．
25.(本小题10分)
问题：已知矩形的长和宽分别为12和2，是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为原矩形的一半？
在学习函数的知识后，小丽发现可利用函数知识，借助图象，成功解决这一问题.过程如下：
第一步：建立函数模型
设新矩形的长和宽分别为x和y，
(1)假如只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是______①，它的定义域是______；
(2)假如只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是______②，它的定义域是______；
第二步：画出函数图象
(3)在所给的直角坐标平面内画出符合题意的函数①和函数②的大致图
象．
第三步；同时考虑新矩形的面积和周长都为原矩形的一半，观察图象，解决问题．
(4)这两个函数图象在第一象限内有______个公共点；请解释公共点的意义．
(5)如果存在这样的新矩形，直接写出新矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．
26.(本小题12分)
在等腰△ABC中，AB=AC=25，BC=4，直线l垂直平分AB，交AB于点O，点D、E在直线l上，且点
D与点E关于点O对称，联结AD、DB、BE、EA．
(1)如图1，求证：四边形ADBE是菱形；
(2)如图1，当AD平分∠BAC时，求菱形ADBE的周长；
(3)当四边形ADBE为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形ADBE，再联结CD，求CD的长．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.D
5.C
6.D
7.x≥1
8.−1
9.x=2
10.a≠0
11.y2−2y−4=0
12.0
13.1440
14.1
3
15.7
2
16.4
17.5
18.(11,10)
19.解：3−2x−3=x，
移项，得3−x=2x−3，
方程两边平方，得(3−x)2=2x−3，
整理，得x2−8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6，
经检验：x=2是原方程的解，x=6不是原方程的解，
所以原方程的解是x=2．
20.解：将方程x 2−3xy +2y 2=0 的左边因式分解，得x−2y =0或x−y =0，
原方程组可以化为{x +y =6x−2y =0或{
x +y =6
x−y =0，
解这两个方程组得{
x =4y =2或{
x =3
y =3，所以原方程组的解是{
x 1=4y 1=2,{
x 2=3
y 2
=3． 21.解：(1)当y =0时，2
3x +6=0，解得x =−9，
∵当k =2
3>0，y 随x 的增大而增大，
∴在这个函数的图象上且位于x 轴上方的所有点的横坐标的取值范围为x >−9．(2)设所求的一次函数的解析式为y =kx +b ，∵平行于直线y =2
3x +6，∴k =2
3，∴y =23x +b ，∵经过点(−2,−4)，∴2
3×(−2)+b =−4，解得b =−8
3，
∴该一次函数的解析式为y =2
3x−8
3．
22.解：(1)设y =kx +30，
则：30k +30=60，解得：k =1，
∴y 关于x 的函数解析式为y =x +30；(2)①设w =ax ，则：10a =10+30，解得：a =4，
∴w 关于x 的函数解析式为：w =4x ；②由题意得：4x−(x +30)≥13，解得：x ≥141
3，
∴x 的最小整数解为15，
答：想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售15辆车．
23.(1)设工厂原计划每天加工物理实验模型x 件，根据题意得：
2000x
−2000
x +20=5，整理，得x 2+20x−8000=0，
解得x 1=80，x 2=−100(不符合题意，舍去)，经检验，x =80是原方程的解，
答：工厂原计划每天加工物理实验模型80件；(2)0.02，41．
24.(1)证明：∵AB =AC ，AD 为BC 边上的中线，
∴AD ⊥BC ，BD =CD =12
BC ，∴∠ADC =90°，∵AE =1
2
BC ，∴AE =CD ，∵AE//BC ，
∴四边形ADCE 是平行四边形，又∵∠ADC =90°，∴平行四边形ADCE 为矩形；
(2)解：过点A 作AH ⊥BE 于H ，设AD ，BE 相交于O ，由(1)知，四边形ADCE 是矩形，DB =CD ，
∴AE =CD ，AD =EC = 3，∠EAD =∠BDA =90°，∴AE =DB ，
在△AOE 和△DOB 中，
{
∠EAD =∠BDA ∠AOE =∠DOB AE =DB
，∴△AOE ≌△DOB(AAS)，∴AO =DO =
3
2
，EO =BO ，
在Rt △BOD 中，∠CBE =30°，
∴EO =BO =2DO = 3，
∴BD = BO 2−DO 2=3
2
，
∴AE =32
，
∵S △AOE =12AO ⋅AE =12
EO ⋅AH ，
∴AH =
32
×32
3
=34
，
∴点A 到直线BE 的距离为34
．
25.(1)y =7−x ，0<x <7；
(2)y =12
x ，x >0；(3)列表：x …2346…y =7−x …5431…y =
12x
…
6
4
3
2
…
描点，连线，如图所示：
观察图象可知：当新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为4，宽为3时，新矩形的周长是原来的一半，面积是原来的一半．(4)两；
(5)存在；新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为3，宽为4．
26.(1)证明：如图1，
∵直线l垂直平分AB，
∴DA=DB，EA=EB，
∵点D与点E关于点O对称，
∴AD=AE，
∴AD=AE=BE=BD，
∴四边形AEBD为菱形；
(2)解：如图2，延长AD交BC于F，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AF⊥BC，BF=CF，
∵BC=4，
∴BF=2，
∵AB=25，
∴AF=AB2−BF2=4，
∴DF=4−AD，
在Rt△BDF中，BF2+DF2=BD2，∵AD=BD，
∴22+(4−AD)2=AD2，
第11页，共11页∴AD =52
，
∴菱形ADBE 的周长为4×52=10；
(3)如图3，四边形ADBE 为正方形，作CM ⊥AB 于M ，作CN ⊥l 于N ，
∴四边形OMCN 为矩形，
由△ABC 的等面积得，BC ⋅AF =AB ⋅CM ，即4×4=2 5×CM ，∴CM =8 5
5，
∴ON =CM =8 55，∵四边形ADBE 为正方形，∴OD =OA = 5，
∴DN =ON−OD =3
55，
∵AC =2 5，
∴AM = AC 2−CM 2=6 55
，∴OM =AM−OA =
55，∴CN =OM = 55
，∴CD = DN 2+CN 2
= 2．。